关于莫利秩2的连通群的性质探讨

杨年西

（淮北师范大学 信息学院，安徽 淮北 235000）

关于莫利秩2的连通群的性质探讨

杨年西

（淮北师范大学 信息学院，安徽 淮北 235000）

有限莫利秩的无限群类似于在代数闭域上的线性代数群，已知有限莫利秩的无限群具有降链条件，利用降链条件，证明莫利秩2的连通的非可解群包含两个连通的莫利秩1的交换群且两子群交是1；通过对2个群的乘积的莫利秩计算，证明莫利秩2的连通群是可解群.

可解群；有限莫利秩群；连通群；无限群

0 引言

莫利秩是1965年由莫利（Morley）定义的，此后数学家Cherlin和Zil′ber研究有限莫利秩的代数结构并做出很大贡献，提出无限单群代数猜想（Cherlin-Zil′ber猜想），是指有限莫利秩的无限单群是在代数闭域上的线性代数群［1-2］.在模型论研究领域，有限莫利秩的群研究的思想和方法部分来源于有限群，但是有限群的Sylowy理论不能很好在无限群中应用，因为无限阶的元素往往是丰富的，通常不能通过元素阶无限来分析群的结构；Borovik在最近15年研究无限单群代数猜想，采用有限群的方法把有限莫利秩的群分成4种类型，分别是奇型、偶型、混合型、退化型，并取得很多成果［3-4］.本文主要研究莫利秩2的连通群的可解性和幂零性.

1 预备知识

本文采用的符号和术语都是标准的，主要参见文献［1-2］.依据文献［1］，有限莫利秩的群G是指TH(G)是ω-稳定的且RM(G)＜ω（TH(G)表示群G所确定完全的理论，RM(G)表示群G的莫利秩）.有限莫利秩的无限子群具有降链条件，也就是指没有无限确定子群满足降链G＞G1＞G2＞….依据文献［1］，类似在代数几何中的代数群，群G连通部分（用G0表示）是指群G中最小确定有限指数的子群.依据文献［1-2］，莫利给出几个事实，有限莫利秩的无限群有无限确定交换子群.有限莫利秩的无限群且RM(G)=1，则群G0是无限交换群.文献［5］证明,有限莫利秩的群的导群是连通的幂零群.

定义1.1莫利秩（Morley Rank）的定义 假设M是L语言的模型，是LM的公式，RMM(φ)表示公式在模型M中的莫利秩.归纳定义莫利秩数量［1］:

1）RMM(φ)≥0当且仅当φ(M)不是空集；

2）假设α是极限序数，RMM(φ)≥α当且仅当对任意序数β＜α，满足RMM(φ)≥β；

3）对任意序数α，RMM(φ)≥α+1当且仅当存在无限多个公式满足ψ1(M),ψ2(M)…是两两不交的无限多个φ(M)的子集且任意下标i，都有ψi(M)≥α.假如φ(M)是空集，规定RMM(φ)=-1；假如RMM(φ)≥α且RMM(φ)＜α+1，规定RMM(φ)=α；对任意序数α都有RMM(φ)≥α，规定RMM(φ)=∞.

引理1 设N⊲G,N和G N均可解，则G可解.

证明 已知G N可解的，依据文献［6］定理4.12，那么存在一个整数n，(G/N)(n)=1=G(n)N/N，可推出G(n)⊂N，由于N可解，同理存在整数m，(N)(m)=1=G(n+m)=1，即G可解.

引理2 假设莫利秩2的连通群G包含两个莫利秩1的确定的连通子群，两个子群分别是子群A和子群B且A⋂B=1，则G=AB.

证明 A和B都是连通的莫利秩1的群，现在建立映射 f(a×b)=ab，即 f(A×B)=AB,AB⊂G，因为AB是确定的集.假设a1,a2∈A，b1,b2∈B,a1b1=a2b2，经过变化得：，因为A⋂B=1，推得，结果a1=a2和b1=b2，所以映射 f(a×b)=ab是单射，由文献［2］中引理4.18，莫利秩计算公式RM(A×B)=RM(A)+RM(B)，群A×B的莫利秩是2，推出AB的莫利秩是2，由连通的群G的莫利秩是2，根据文献［1］中引理7.2.7，推出G=A·B.

2 主要结论

定理1 假设非可解群G是莫利秩2的连通群，且中心C(G)=1，如果子群A⊂G是莫利秩1的确定的连通交换群，设N=N(A)，那么Ag⋂Ah=1或gh-1∈N.

证明 因为A是连通的莫利秩1的交换群，那么可以推出Ag和Ah也是连通莫利秩1的交换群，假设a≠1∈Ag⋂Ah，那么Ag∈C(a)和Ah∈C(a).讨论C(a)的莫利秩，1）、设C(a)的莫利秩是2，因为C(a)⊂G，G是莫利秩2的连通群，得到C(a)=G，a≠1属于G的中心，与前提条件群G的中心是1矛盾；2）、群C(a)的莫利秩是1，因为Ag∈C(a)和Ah∈C(a)都是莫利秩1的连通群，那么是有限指数，由于连通部分是唯一的，即Ag=Ah，gh-1∈N.

引理3 假设非可解群G是莫利秩2的连通群，且中心C(G)=1，那么存在确定的莫利秩1的连通交换子群A⊂G，B⊂G且A⋂B=1.

证明 I、因为任意点a∈G且a≠1，首先讨论确定的群C(a)的莫利秩，1）假设C(a)是有限的，那么a的共轭类是确定的子集序数等于指数[G :C(a)]，因为C(a)是有限的，即a的共轭类所确定的子集的莫利秩是2，因为群G是莫利秩2的连通的群，根据文献［1］中引理7.2.5，群G的莫利秩是1，可推出C(a)=1，显然不可能，所以有C(a)是无限群；2）假设C(a)是莫利秩2的无限群，因为G是莫利秩2的连通的群，所以C(a)等于G；a≠1属于G的中心，与前提条件G的中心是1矛盾，即C(a)的莫利秩只能是1.

II、讨论存在 A=C(a),B=C(b)，满足 A⋂B是有限的，根据有限莫利秩的群具有降链条件，C(G)=1,C(G)=⋂{C(a)|a∈G}，存在有限个a1,a2,…,an∈G，满足C(a1)⋂C(a2)⋂…⋂C(an)=C(G)=1.不妨假设C(a1)⋂C(a2)是无限的确定的群，C(a1)⋂C(a2)群的莫利秩是1，由连通部分的定义，3个群具有共同的连通部分，即C0(a1)=C0(a2)=[C(a1)⋂C(a2)]0，莫利秩1的连通部分是交换群.所以存在a1,ak∈{a1,a2,…,an}且i≠k，满足C(ai)⋂C(ak)是有限的.

III、证明C0(ai)=C0(ak)=1,C(ai)⋂C(ak)是有限的.显然C(ai)⋂C(ak)是有限的，C(ai),C(ak)是交换群，假设b≠1，b∈C0(ai)⋂C0(ak)，那么C0(ai)⊂C(b)，C0(ak)⊂C(b)，可得C0(b)⊂(C(ak)⋂C(b))，C0(b)⊂(C(ai)⋂C(b))，C0(b)⊂(C(ak)⋂C(ai))是无限的，得到矛盾，假设 不成立，b≠1即 C0(ai)⋂C0(ak)=1.取 A=C0(ai), B=C0(ak).

定理2 假设无限群G是莫利秩2的连通群且中心C(G)=1，则群G是可解的.

证明 假设群G是不可解，根据引理3，可以得到群G存在两个确定的莫利秩1的子群A,B⊂G且A⋂B=1；再根据引理2，AB的莫利秩是2，由连通的群G的莫利秩是2，根据文献［1］中引理7.2.7，可推出AB=G，同理G=BA，即BA=AB=G，可推出BAB-1=A.可得群A是群G的正规子群.商群G A是莫利秩1的连通群，商群G A是交换群，商群G A和群A都是可解的，根据引理1，所以群G是可解的.

定理3 假设无限群G是莫利秩2的连通群，则群G是可解的.

1）如果C(G)是无限的，假设C(G)的莫利秩是2，因群G是连通的，则C(G)=G，C(G)是交换群，必然G是可解的.假设C(G)的莫利秩是1，则C(G)和G/C(G)都是交换群且可解的，依据引理1，可推出群G是可解的.

2）如果C(G)是有限的，那么G/C(G)都是连通的商群且莫利秩是2.根据文献［5］引理1，可知C(C/(G))=1.再根据引理3，G/C(G)是可解的 ，由于C(G)是交换群，根据引理1，则莫利秩2的连通群G是可解的.

［1］MARKER D.模型论引论［M］.北京：科学出版社，2007：1-342.

［2］BOROVIK A，NESINA.Groups of finite Morley rank［M］.New York：The Clarendon Press Oxford University Press，1994：1-409.

［3］BURDGES J.Simple groups of finite Morley rank of odd and degenerate type［D］.New Jersey New Brunswick：Rutgers University，2004.

［4］ALTINELl T，BURDGES J，FRECON O.On weyl groups in minima simple groups of finite Morley rank［J］.Israel Journal of Mathematics，2013,197（1）：377-407.

［5］NESIN A.Solvable groups of finite Morley rank［J］.Journal of Algebra，1989,121（1）：26-39.

［6］徐明曜.有限群论（上）［M］.北京：科学出版社，2001：1-255.

Study on Properties of the Connected Groups of Morley Rank 2

YANG Nianxi
（School of Information,Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China）

An infinite group of finite Morley rank is analogous to a linear algebraic group in an algebraically closed field.It is known that any infinite group of finite Morley rank satisfies the descending chain condition. According to the descending chain condition，a nonsolvable connected group of Morley rank 2 contains two connected commutative subgroups of Morley rank 1，and their intersection is 1.By calculating Morley rank of the product of two groups，it is proved that a connected group of Morley rank 2 is solvable.

solvable group；group of finite Morley rank；connected group；infinite group

O 142

A

2095-0691（2016）04-0012-03

2016-09-09

安徽高校自然科学研究重点资助项目（KJ2016A646）

杨年西（1972- ），男，安徽芜湖人，硕士，讲师，研究方向为模型论.