从一道瑕积分题引发的思考

崔菊连 刘大莲

【摘 要】本文从一道例题出发，从多个角度阐述间断点、无穷间断点和瑕点的区别。

【关键词】间断点;无穷间断点;瑕点

引言

在瑕积分的教学过程中，一道例题lnxdx的出现，引发了学生们的争论。

由于讲瑕积分之前，我先讲了瑕点的定义，并对照无穷间断点的特征，得出了结论：无穷间断点一定是瑕点。

在给出这个积分时，我先让他们判断这个积分是定积分还是瑕积分，得到异口同声的答复：瑕积分。原因：x=0是瑕点。理由：f（x）=-∞。

但当我给出下面这道选择题时，教室里开始沉默。

题：x=0是被积函数y=lnx的（   ）

A.无穷间断点;B.瑕点;C.既是瑕点又是无穷间断点;D.都不是

绝大部分同学选C，有个别同学选了B。

选B的学生提出来一个问题，x=0不是被积函数y=lnx的间断点，怎么可能是无穷间断点呢？

选C的同学立刻反对。怎么不是间断点呢？函数y=lnx在点x=0有定义吗？没有吧。所以x=0就是间断点。又因f（x）=-∞，所以x=0是被积函数y=lnx的无穷间断点。

为了解决这些问题，本文将针对间断点、无穷间断点、瑕点这几个概念，从定义，图形、例题等方面进行阐述。本文使用的定义以同济大学数学系出版的《高等数学》（第六版上册）为蓝本。

一、间断点的理解

1.间断点的定义

函数f（x）在x0的某去心邻域内有定义。如果函数f（x）有下列三种情形之一：

（1）在x=x0处没有定义;（2）在x=x0处有定义，但f（x）不存在;（3）在x=x0处有定义，且f（x）存在，但f（x）≠f（x）

则函数f（x）在点x=x0处不连续，而x0称为函数f（x）的间断点，也称不连续点。

书上将间断点分为四种类型：可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点和震荡间断点。

从定义的前提看，f（x）在x0的左右两边应该都有定义。所以对于间断点x0来说，是双边定义。没有函数在x0处左间断或右间断之说。

2.间断点在图形上的体现

连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。那么间断点就是使非连续函数的图形中断的点。即若x0为函数f（x）的不连续点，那么函数图形势必在点x0处断开。因而在x0的左右两边各有一段曲线。由间断点的定义，可以画出间断点的基本图形。如图1和图2

二、无穷间断点的理解

无穷间断点的定义：函数f（x）在x0的某去心邻域内有定义，且左右极限至少有一个是∞，即f（x）=∞或f（x）=∞或f（x）=∞至少有一个成立，则称x=x0为f（x）的无穷间断点。

三、无界间断点（即瑕点）的理解

1.无界间断点的定义

若函数f（x）在x0的任何邻域内无界，则称x0为函数f（x）的无界间断点，也称瑕点。本文后面都只说瑕点。

显然，若函数f（x）在x0的某个邻域内无界，那么f（x）在包含此邻域的更大邻域内无界。

2.瑕点的构成

成为瑕点的前提是函数要在此点的任何邻域内无界，因而很容易知道，可去间断点和跳跃间断点不会是瑕点。那么，哪些点可能是瑕点呢？

情形1 从定义上可知，无穷间断点一定是瑕点。因为若x0是无穷间断点，由定义，存在x0的某个去心邻域，函数f（x）在这个区域内无界，从而f（x）会在x0的任何邻域内无界，这说明x0为瑕点。

如函数y=ln|x|，因x=0为无穷间断点，因而为瑕点。

但是瑕点不一定只有无穷间断点。

情形2 如前面的函数y=lnx，x=0不是函数间断点，但由于lnx=-∞，可知函数在右邻域（0，δ）内无界，从而在x=0的任何邻域内无界，于是x=0是函数的瑕点。

综上所述，判断某点是否为给定函数的瑕点的方法还是根据定义来判断函数是否在此点的任何邻域内有无界来定。

不过，如果某点x0满足f（x）=∞或f（x）=∞，那么x0一定是函数的瑕点。（注意x0不一定是函数的间断点）。

四、结论

回到最开始的积分lnxdx，可知x=0是被积函数lnx的瑕点，不是无穷间断点。因而选B的同学是对的。

我们要求学生学好数学，不是要他们只会做老师讲过的题，得高分，而是希望他们能真正理解数学，从而更好的应用数学。

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（第六版上册）[M].高等教育出版社，2011

[2]吴赣昌.高等数学（上册，理工类第四版）[M].中国人民大学出版社，2014

【作者简介】

崔菊连（1972-），女，硕士，籍贯：湖南宁乡，讲师，研究方向：偏微分方程。