动量守恒有妙用　求解难题变轻松

2016-03-11华峰

高中数理化 2016年1期

动量守恒有妙用求解难题变轻松

◇安徽华峰

1条件性

在使用动量守恒定律时,首先要注意题目是否符合定律的使用条件: 1) 系统不受外力或所受外力之和等于0(不是系统内每个物体所受的合力为0),在实际问题中,这个条件常常难以满足; 2) 系统所受外力虽然不等于0,但远小于系统的内力,如碰撞问题中的摩擦力、爆炸过程中的重力等外力比相互作用的内力小得多,可以忽略不计; 3) 系统所受外力之和虽不为0,但在某一方向上的合力为0,则在该方向上动量守恒．

2普适性

动量守恒定律是自然界普遍适用的规律之一,它不仅适用于2个物体组成的系统,也适用于多个物体组成的系统;不仅适用于宏观物体组成的系统,对于微观粒子之间的相互作用或接近于光速的粒子也同样适用．

例1云室处在磁感应强度为B的匀强磁场中,一静止的质量为m0的原子核在云室中发生一次α衰变,α粒子的质量为m,电荷量为Q,其运动轨迹在与磁场垂直的平面内．现测得粒子运动的轨道半径为R,求在衰变过程中的质量亏损．(注:涉及动量问题时,亏损的质量可以忽略不计)．

由于核衰变过程遵循动量守恒定律,衰变过程中质量亏损很小,亏损的质量可以忽略不计,据此得

0=mv-(m0-m)v′．

又知衰变过程中粒子和剩余核的动能都来自质量亏损,即

联立以上3式可解得

3系统性

应用动量守恒定律时,应明确研究的对象是整个系统,这个系统的初、末状态质量应保持不变．

例2一辆装沙的小车总质量为m0,正在光滑的水平面上以速度v匀速前进．突然车底漏了,不断有沙子漏到地上．求当漏出的沙子的质量为m时,小车的速度是多少?

漏掉的沙子在离开小车后,其速度与小车相同,则据动量守恒定律得m0v=mv+(m0-m)v1,解得v1=v,即在漏出质量为m的沙子后,小车的速度不变．

求解此题的关键在于理解动量守恒定律的系统性.动量守恒定律的研究对象是:在一个相互作用过程中初、末状态质量保持不变的物体系统.要正确地求解此题,须考虑漏掉的沙子．

4矢量性

动量守恒定律方程是一个矢量方程,对于作用前后物体的运动方向都在同一条直线上的问题,应选取统一的正方向,凡是与选取的正方向相同的动量为正,相反的则为负．若方向未知,可认为其与正方向相同,列出动量守恒方程,通过解得结果的正负来判断未知量的方向．

例3质量m0=100kg的小船静止在水面上,船头站着质量为m1=40kg的甲,船尾站着质量为m2=60kg的乙,船头在左方．若甲、乙在同一水平线上,甲向左、乙向右同时以3m·s-1的速率跳入水中,则船的速度是多少?

选向左的方向为正．设甲、乙跳入水中后小船的速度为v,则由动量守恒定律得

m1v0-m2v0+m0v=0,

代入已知数据解得v=0.6m·s-1．

因为船速与选取的方向一致,所以小船向左运动．

5相对性

由于选取的参照物不同,物体的速度不同,所以应用动量守恒定律解题时,需注意表达式中所有的速度必须是相对于同一参照物的速度．

例4在平静的水面上,有一条以速度v0匀速前进的载人小船,船的质量为m0,人的质量为m．开始时人相对于船静止,当人相对于船以速度v1向船运动的反方向奔跑时,船的速度v2是多大?

人奔跑时,人相对于地的速度为v0-v1,根据动量守恒定律可得方程为

(m0+m)v0=m(v0-v1)+m0v2,

解得

v2=(m0v0+mv1)/m0.

求解这类题目的关键在于正确应用速度的相对性原则,题目中人奔跑的速度不是相对地的,而是相对于船的,因此必须把它转化为相对于地的速度．

6同时性(或瞬时性)

当系统满足动量守恒的条件时,系统中物体相互作用的过程中,任一时刻的总动量保持不变，所以表达式中的速度是对于同一时刻来说的．

例5质量为m0的火箭,原来以相对于某星体的速度v0在太空中飞行,现在突然向后喷出一股质量为m的气体,喷出的气体相对于火箭的速度为v,则喷出气体后火箭的速度是多少?

设喷出气体后火箭的速度为v1,那么喷出的气体对某星体的速度为v2=v-v1,而不是v-v0,则根据动量守恒定律可得

m0v0=(m0-m)v1-mv2,

解得

v1=v0+mv/m0．

7独立性

动量守恒定律蕴藏着力的独立性原理,如果系统所受的合力不等于0,外力也不远小于内力(或作用时间不是极短),此时系统的动量是不守恒的．但是,只要在某一方向上不受外力或在该方向合力的分量等于0,或者某一方向上的外力远小于内力,则在这一方向上系统的动量是近似守恒的．这就是动量守恒定律的独立性原理．

图1

例6放在光滑水平面上的质量为m0的滑块,其上表面是光滑曲面．质量为m的物体以水平速度v0进入滑块的上表面,如图1所示．物体并未从滑块上端飞出．求:(1) 物体上升的最大高度;(2) 物体滑下与滑块脱离时的速度．

物体冲上曲面后,物体与曲面组成的系统在竖直方向上受到重力和地面对系统的支持力的作用．支持力与重力不平衡,因此物体在上升的过程中,系统在竖直方向上的动量不守恒．由类似的分析可知,物体返回过程中系统在竖直方向上动量也不守恒,因此系统的总动量也就不可能守恒．但是,由于整个系统在水平方向上不受任何外力的作用,则根据动量守恒的独立性原理可知,整个过程中系统在水平方向上的动量是守恒的．

(1) 设物体上升的最大高度为H,二者的共同速度为v,则有

mv0=(m0+m)v,