多孔介质中迂曲度和渗透率的关系

吴金随，胡德志，郭均中，常浩宇

(华北科技学院煤炭地下气化实验室，北京东燕郊 101601)

多孔介质中迂曲度和渗透率的关系

吴金随，胡德志，郭均中，常浩宇

(华北科技学院煤炭地下气化实验室，北京东燕郊 101601)

迂曲度是描述渗流通道的一个重要参数,迂曲度经常通过实验方法和数值模拟方法确定，迂曲度的表达式均只有迂曲度和孔隙度的关系，都没有涉及迂曲度和渗透率的关系。本文通过流体平均水力半径模型建立了迂曲度与孔隙率、渗透率、平均粒径间的函数关系，揭示出更多的迂曲度的影响因素。

迂曲度；渗透率；孔隙率；平均水力半径

0 引言

有多种多孔介质比如土壤、砂岩、生物组织、器官、纤维、海洋、地壳、颗粒床和绝缘材料等，因此在多孔介质中的流动在许多领域被关注，例如水文地质中的渗透率、土壤科学、石油开采、地球物理、聚合体的合成、化学和传热工程等。这些宏观的传输问题经常涉及到多孔介质的微观结构，迂曲度是一个微观参数，但它不仅是多孔介质微观结构的特征。弯曲管道的迂曲度通过广义的哈根方程经常涉及到渗透率。

孔道迂曲度(tortuosity)是描述渗流通道的一个重要参数。迂曲度定义为渗流通道的实际长度与穿过渗流介质的视长度(宏观距离)的比值(如图1所示)，即渗流流体质点穿越介质单位距离时，质点在孔道中运动轨迹的真实长度。

迂曲度常被定义为[1]

(1)

式中：Lt是弯曲直线的长度；Lo是介质直线长度；

然而，众所周知，通过传输介质的弯曲孔道的微观结构是非常复杂的如图2所示，图2是采用带有染色剂的流体流过多孔介质时观测到的弯曲流线图，流动路径具有随机性和不规则的特征。显然，弯曲路径微观结构是很复杂的[2]。准确测量迂曲度非常困难。

图1 流体通过多孔介质时毛细管的示意图

图2 流体通过颗粒球表面时的弯曲流线

1 研究现状

Comiti,J.等通过实验得出流体通过填充床的迂曲度和流体通过板状颗粒多孔介质的迂曲[3-4]。

流体通过填充床的迂曲度

τ=1+Cln(1/φ)

(2)

球形颗粒，C=0.41；立方体颗粒，C=0.63。其中：φ是孔隙率

流体通过板状颗粒多孔介质的迂曲度

τ=1+0.58exp(0.18a/e)ln(1/φ)

(3)

a和 e 分别为板的长度和厚度。

Boundreau,B.P.通过实验总结出流体通过细颗粒沉积物时迂曲度和孔隙率的关系[5]

(4)

Sen,P.N.通过实验总结出流体通过球形颗粒填充床时迂曲度和孔隙率的关系[6]

(5)

Koponen等[7]应用自动格子气(LG)方法，在数值上计算了牛顿不可压缩流体在二维多孔介质中的缓慢流动，此二维多孔介质模型是由相同尺寸的可自由重叠和自由放置的矩形格子组成。他们通过数值模拟计算获得了如下的弯曲流线迂曲度与孔隙率之间的经验关系式：

τ=0.8(1-φ)+1

(6)

该式表明当孔隙率为1时，迂曲度为1。当孔隙率为0时，迂曲度为有限值1.8。在以后模拟中，Koponen等人认为系统的逾渗阈值φc应是0.33，他们重复了以前的工作，模拟计算得到了孔隙率在0.4-0.9之间的经验关系式为[8]

(7)

其中φ>φc，a(=0.65)和m(=0.19)是经验常数。

流体在多孔介质的孔隙中流动时，其流动的通道可能是弯弯曲曲的，Wheatcraft 和Tyler(1988)[9]得到多孔介质中迂曲流管特性的分形标度关系，其标度关系可表述为：

(8)

(9)

式中：λmin为测量单位或孔隙(毛细管)的最小尺度，DT为迂曲度分形维数，1

式中λmin是一个有限值，所以Lt/L也是一个有限值而不是无限大。

对于传统的几何结构，Westthuizen和Pless 推导了有关迂曲度的分析解：

(10)

该模型是基于单元中流体的总体积除以最小流动横截面积得到的。该模型在低孔隙率时，迂曲度的数值偏低。

Yu和 Li(2004)[10-11,1]推出了多孔介质中弯曲流管迂曲度的模型，其平均迂曲度可表述为：

(11)

综上所述，迂曲度经常通过实验方法和数值模拟方法确定，又因为在多孔介质中的弯曲管道遵循分形行为，也有用理论计算，通过确定迂曲度的分形维数来确定迂曲度。实验方法经常涉及到一个或多个经验常数，而用分形维数确定迂曲度，又不容易被实验验证。并且以上所有迂曲度的表达式均只有迂曲度和孔隙度的关系，都没有涉及迂曲度和渗透率的关系。本文通过流体平均水力半径模型建立了迂曲度和孔隙率、渗透率、平均粒径间的关系

2 迂曲度和渗透率的关系

渗透模型是一种测量流体传导性的一种模型，传导性描述的是流体通过多孔介质的水力学行为，并且渗透率体现了迂曲度在流体阻力中的作用。迂曲度越大通过多孔介质的阻力就越大，因此渗透率就越低，从此就可以看出迂曲度和渗透率相互影响[12]。

现在研究单相饱和流体在多孔介质中的流动。假想在满足分形分布的多孔介质内的孔隙为一束弯曲的孔道，孔道的半径满足分形分布。根据广义的Hagen-Poiseulle方程[12-13]，通过单位体积内的流量是

(12)

根据达西定律

(13)

K是渗透率，孔隙率φ是孔隙体积和多孔介质的比值

(14)

由公式(12-14)得到

(15)

Rh=S/Z

(16)

其中S是流体流过的总的截面面积，Z是总的润湿周长，也就是粒子的总周长

(17)

将方程(17)代入公式(15)中

(18)

从公式18可以看出迂曲度不仅是孔隙率的函数，还与颗粒的平均粒径以及渗透率有关，迂曲度转化为渗透率、孔隙率、粒径等的函数，这些物理量都可用实验测得，从而实现通过实验来测定迂曲度。

3 结论

本文根据结合广义的Hagen-Poiseulle方程，达西定律，平均水力半径，建立了一种新的测量迂曲度的方法，迂曲度不仅是孔隙率的函数，还与渗透率、平均粒径有关，揭示了更多的迂曲度的影响因素。

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Study on the relationship between tortuosity and permeability in porous media

WU Jin-sui，HU De-zhi，GUO Jun-zhong,CHANG Hao-yu

(UndergroundCoalGasificationLab.，NorthChinaInstituteofScienceandTechnology，Yanjiao，101601，China)

Tortuosity is an important factor for describing fluid seepage，it is conventionally determined by experiments and numerical modeling，its function is only about its relationship with porosity in previous studies，there is no relationship with permeability.Based on fluid average hydraulic radius models，this paper establishes the function relation between tortuosity，porosity，permeability and average diameter，and reveals the influence factors of tortuosity.

tortuosity;permeability;porosity;average hydraulic radius

2016-05-05

中央高校基本科研业务费资助基金(3142015092)

吴金随(1982-)，女，河北衡水人，博士，华北科技学院煤炭地下气化实验室讲师，研究方向：渗流力学。E-mail:jinsui_wu@126.com

TE312

A

1672-7169(2016)04-0056-04