例谈中职数学中数形结合思想的渗透——等差数列前项和公式的推导

◆杨 薇

(丽水市职业高级中学)

例谈中职数学中数形结合思想的渗透
——等差数列前项和公式的推导

◆杨 薇

(丽水市职业高级中学)

针对中职生数学学习现状，结合教材，提出数形结合借助图形，推导等差数列前N项和求和公式以及结合中职学生思维的依赖性，迟缓性，被动性等特点，用数形结合的方法类比面积公式记忆求和公式。通过以形助数培养学生的数形结合思想，激发学习兴趣、激励学习信心。

数形结合 思想方法 中职生 等差数列前N项和公式 应用

数形结合是一种数学研究、数学思考、数学应用的思想方法，其本质就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题，因此数形结合是提高中职学生数形转化能力和迁移思维能力的非常有效的途径。

下面以《等差数列前N项和公式推导》教学为例说明数形结合思想如何在教学中进行渗透。

环节一：创设易于“数形结合”的情境

欣赏一段视频——泰姬陵，泰姬陵是全部用白色大理石建成的宫殿式陵园，传说她的陵寝中有面大理石墙壁，墙壁上有一个等边三角形的图案，用了相同大小的圆宝石镶嵌而成的(如图)，一共有100层，那么你能计算出这100层一共有多少颗宝石吗？

创设“数形结合”的情境是激活学生学习的内驱力，从而激发学生的学习热情，是调动学生积极学习的有效方法。学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用“首尾配对”的方法来求和

1+2+3+4+…+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=5050

虽然可以求出答案，但是他们对这种“首尾配对”方法的认识仅仅还是处于模仿、记忆的阶段，不能灵活的运用。为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了问题一。

环节二：等差数列求和公式的推导

1.问题一：这个全等三角形的图案中，第1层到第15层一共有多少颗宝石？

这是一个求奇数项和的问题，如果只是简单的使用“首尾配对”将不能直接给出答案，而要将奇数项问题转化为偶数项求解，进而引申出一个问题：求若干个前自然数之和是不是需要看其项数的奇偶呢？即求1+2+3+……+n需讨论n的奇偶呢？而对于这种需要分类讨论的问题中职生们往往望而却步，不知从何下手，进而引导学生思考是否还有更简捷的做法？

利用多媒体课件的进行直观演示：把全等的一个三角形倒置，与原图补成平行四边形，启发诱导学生观察思考。

回忆初中学过的三角形面积公式的推导，补上一个全等的三角形就变成了平行四边形，那每层的个数都相等(1+15=16)，共有15层，非常直观，容易的得出算法。这种借助几何图形的直观特点，引导学生使用熟悉的几何方法：把“全等三角形”倒置，与原图补成一个平行四边形，从而求出答案。这正是数形结合思想方法的最好渗透，具体、直观，体现的恰到好处。

2.问题二：图案中从第1层到第n层(1

从求确定具体的的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，目的在于让学生领会从特殊到一般的研究方法。

问题三：在公差为d的等差数列中，定义前n项和为，如何求？

联想到练习题中堆木料的例子，从直观的图像出发，把等差数列“看成”一个梯形，引导学生实现从一个数列“配对”的方法发展到两个数列的“配对”，为“倒序相加方法”做一个铺垫。

如图所示：

几何图形能非常直观地启发学生的推导思路，帮助理解知识，因此作为中职的数学老师在平时的教学中，更要鼓励学生借助几何直观进行思考，渗透了数形结合的数学思想，培养数形结合的学习意识，学会用图来帮助理解数，真正的学活起来。

本环节从数形结合的角度设计一系列的问题，目的也就是引导学生从“形”出发探究等差数列求和公式，避免了用首尾相加的方法要讨论的项数的奇偶问题，更直观形象的推导出求和公式，也为后面公式的记忆奠定了基础。

环节三：类比梯形面积公式记忆求和公式，体会数形结合的魅力

教师可做适当的提示引导联想到将两个公式与梯形面积公式建立联系。将求和公式1与梯形面积公式建立联系，其实初中所学的梯形面积公式的推导也正是利用了倒置的思想。

公式2与梯形面积的另一种推导方法相类比。用“割”的方法，把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形，所求梯形面积就是这两部分面积之和。

借助图形的辅助，充分利用图形直观形象的特点，类比着记忆数学公式，不仅可以激发中职生的学习兴趣，还能更有效地提高学习效率。这种采用形状记忆法的好处就是图形和公式互相印证，互相提醒。用这种方法记忆数学公式，学生不仅便于理解，而且记忆特别深刻。同时，有了图形的介入，学生不需要死记硬背，对公式的理解加深了，学习数学兴趣也得到了提高，公式的记忆自然也就更高效了。

环节四：变式练习，进一步渗透数形结合的思想

一个笔架，最下面一层放10支笔，往上每一层都比它下面

一层多放5支，最上面一层放90支．这个笔架上共放着多少支笔？

学生独立完成变式训练题，提高了学生将实际问题转化为等差数列模型的能力，也强化数形结合的意识，渗透等差数列前n项和公式与梯形面积公式结构的类比记忆达到了对求和公式的辨析应用效果，进一步加深了数形结合这一思想方法的印象。

本课例“润雨细无声式”的渗透了数形结合的思想方法，使学生对数形结合这一基本数学思想有了更深刻的理解和认识，充分的体会到了数形结合所带来的魅力。利用数与形的转换，绕过一些学习障碍，使得许多学生不易理解的问题变得明了了。通过以形助数培养学生的数形结合思想；借助于几何直观类比记忆公式，真正掌握公式。

纵观整个中职数学教学，大部分都是在数形结合的思想指引下展开的，只有灵活、有效的用好数形结合这个工具，才能真正理解、掌握、运用数学知识和数学方法，从而提高学生的数学分析思维能力和解决数学问题的能力，以及学生的逻辑思维能力和形象思维能力。相信长此以往一定能树立起中等职业学校学生学习数学的信心。

[1]韦中庆.数形结合思想在解题中的应用.中学教学参考，2011.

[2]王佳灯．数形结合解题中要注意的几个问题．数学教学，2005，(5)．

[3]张宏良.浅谈数学教学中的数形结合思想.衡水学院学报，2005，(3)：24.

[4]康小玲.数形结合法.数学教学通讯，2002，(5)：46.