走进笛卡儿的解析几何世界

陆芹华

近代数学本质上可以说是变量数学。从初等数学发展到近代数学，解析几何的发明是变量数学的第一个里程碑。正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。”

讲到解析几何，就要从其创始人笛卡儿谈起。

笛卡儿1596年生于法国土伦省莱耳市的一个贵族之家，父亲是地方议会的议员，笛卡儿无忧无虑地度过了童年。他幼年体弱多病，母亲病故后就一直由一位保姆照看。他对周围的事物充满了好奇，被父亲称为“小哲学家”。在笛卡儿八岁时，父亲便将他送入拉弗莱什的教会学校学习，接受古典教育。校方为照顾他孱弱的身体，特许他可以不受校规的约束，早晨不必到学校上课，可以在床上读书，因此他从小养成了喜欢安静，善于思考的习惯。

1616年笛卡儿结束学业后，便背离家庭的职业传统，开始探索人生之路。他弃笔从戎，想借机游历欧洲，开阔眼界。这和东方教育中的“读万卷书，行万里路”在本质上是相通的。在此期间有几次经历对他产生了重大的影响。一次，笛卡儿在街上散步，偶然间看到了一张数学题悬赏的启事。两天后，笛卡儿竟然把那个问题解答出来了，引起了著名学者皮克曼的注意。皮克曼向笛卡儿介绍了数学的最新发展，给了他许多有待研究的问题。

回国后，由于经常不分白天黑夜地研究数学，笛卡儿病到了。人躺在床上，那些可爱而又折磨着他的数学问题又来了：“直观、形象是几何图形的特征，而代数方程虽十分抽象，但便于运算，要是能将两者结合起来，用几何图形表示方程，或者用代数的方法解决几何学问题，那该多好啊！”他已找到了解决问题的关键，即只要把组成几何图形的“点”与满足方程的每一组“数”挂上钩，其他问题就都迎刃而解了。传说某一天，他看见蜘蛛正忙着在墙角落上结网。这精彩的“杂技”牢牢地把笛卡儿吸引住了。这一有趣的现象，使笛卡儿受到启发。

他在纸上画出三条相互垂直的直线，分别表示两墙的交线和墙与天花板的交线，并在空间点出一个P点代表蜘蛛，P到两墙的距离分别用x和y表示，到天花板的距离则用x表示。这样，只要x，y，z有了准确的数值，P点的位置就完全可以确定了。就这样，笛卡儿把以往对立的两个研究对象“数”与“形”统一起来了，并在数学中引入了变量的思想，从而完成了数学史上一项划时代的变革，用代数方法代替传统的几何方法，解析几何的许多思想都是笛卡儿首创的。

据说，笛卡儿曾在一个晚上做了三个奇特的梦。第一个梦是笛卡儿被风暴吹到一个风力吹不到的地方；第二个梦是他得到了打开自然宝库的钥匙；第三个梦是他开辟了通向真正知识的道路。这三个奇特的梦增强了他创立新学说的信心。这一天是笛卡儿思想上的一个转折点，有些学者也把这一天定为解析几何的诞生日。

纵观数学发展史，许多数学名家并非一开始就是从事数学研究的，很多人由偶然的机会而对数学产生了兴趣，才走上专业化发展道路的。解析几何的创始人笛卡儿就是很好的范例。

或许我们的同学在学习了解析几何后，也会对数学产生兴趣，喜欢上数学，我们期待着。

解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，它沟通了代数与几何之间的联系，体现了数形结合的重要数学思想。基本思想是：首先需要把图形问题转化成代数形式；然后，用代数方法算出结果；最后，把算出来的结果再转化成几何形式。这两次转化的桥梁就是笛卡儿提出的两个基本观点：用坐标表示点；用方程表示曲线。解析几何主要有两大任务：（1）根据曲线的几何条件，把它的代数形式表示出来；（2）通过曲线的方程来讨论它的几何性质。

为了更进一步说明笛卡儿的解析几何思想，我们将其方法运用于如图2所示的圆。

假设该圆的半径为5。设P是曲线上的任意一点，x和y是其坐标。再根据欧式几何中的毕达哥拉斯定理：一个直角三角形中，两直角边的平方和等于其斜边的平方，这就告诉我们有x²+y²=25（*）。这个关系适用于圆上的每一个点；也就是，每一个点的x和y都满足x²+y²=25。例如，坐标为（3，4）的点，因为3²+4²=25，所以该点位于圆上。但是（3，2）就不是圆上的点的坐标，因为3²+2²不等于25。如果将一个点的横坐标值x和纵坐标值y代入（*）式，使其左边等于右边，则我们就说该点的坐标满足方程（*）。圆上的点的坐标满足这个方程；不在圆上的点的坐标不满足这个方程。

解析几何把代数和几何结合起来，把数学造成一个双面的工具。伟大的数学家拉格朗日说：“只要代数和几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但当这两门科学结成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，就以快速走向完善。”17世纪以来数学的巨大发展，在很大程度上应归功于笛卡儿和他的解析几何，可以说，如果没有解析几何的预先发展，现代数学中极为重要的微分学和积分学也是不可能出现的。