泊松过程的两种定义及其等价性证明

王小芹,尚晶,王欣梅,李华慧

（安阳学院数学教研室,河南安阳455000）

泊松过程的两种定义及其等价性证明

王小芹,尚晶,王欣梅,李华慧

（安阳学院数学教研室,河南安阳455000）

泊松过程在概率论及随机过程教材中常见的定义有两种,但往往没有给出其严格的等价性证明.借助一阶线性微分方程的求解和泰勒级数展开公式,并利用数学归纳法证明,给出了这两种定义等价性的详细证明过程.

泊松过程；两种定义；一阶线性微分方程；等价性证明

许多随机现象可以用Poisson过程来描述,并且自然界中的许多物理过程也可以用Poisson来刻画.理论上,Poisson过程是最重要的一类更新计数过程,同时也是一种最简单的连续时间纯间断马氏链,因此有必要对其深入研究,但常见的资料中往往只给出两种定义,没有给出其严格的等价性证明[1-3],或者只给出简单思路[4].本文中给出这两种定义等价性的详细证明过程.

1 预备知识

计数过程定义：

图1中的t1,t2,...是“质点”依次出现的时刻.

一阶线性微分方程求解[5]

定义1（Poisson过程Ⅰ）

（1）在不相重叠的区间上的增量具有独立性；

（2）对于充分小的∆t

其中常数λ>0,称为过程N(t)的强度,ο(∆t)是当∆t→0关于∆t的高阶无穷小；

（3）对于充分小的∆t

（4）N(0)=0.

定义2（Poisson过程Ⅱ）

若计数过程{N( t), t≥0}满足以下3个条件：

（i）它是平稳独立增量过程；

（ii）对任意的t>t0≥0,增量N( t)−N( t0)~(λ(t−t0))；

（iii）N(0)=0.

那么称{N( t), t≥0}是一强度为λ的泊松过程.

2 主要结果及证明（等价性证明）

证明：定义Ⅰ⇒定义Ⅱ

显然,条件（i）（,iii）成立,只需证明N(t0,t)服从参数为λ(t−t0)的泊松分布,且只与时间差t−t0有关,即条件（ii）.

移项

两边同时除以∆t得

令∆t→0得

又N(t0,t0)=0,故P0(t0,t0)=1.

求解满足初始条件的一阶线性微分方程

由初始条件P0(t0,t0)=1,及一阶线性微分方程情形1,

步骤2：计算Pk(t0,t ),k≥1

由和概率事件公式和条件1可得

因为

所以

由条件2和（1）式得

移项

两边同时除以∆t得

令∆t→0得

又N(t0,t0)=0,故Pk(t0,t0)=0,k≥1

求解满足初始条件的递归线性微分方程

步骤3：k=1时

如此重复,依次令k=2,3,...,可计算出

假设k-1时结论成立,则

条件3得证.

条件4得证.

综上所述,泊松过程常见的两种定义是等价的.

[1]盛骤.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社,2001：328-340.

[2]王梓坤.随机过程通论[M].北京：北京师范大学出版社.2010.

[3]杨广宇.随机过程[M].郑州：郑州大学出版社,2012：31-35.

[4]陈立强.泊松过程两种定义等价性证明[J].安康学院学报.2014,26（4）：98-100.

[5]王鸿业.常微分方程[M].郑州：郑州大学出版社,2010：21-26.

[6]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社,2001：51-53.

（责任编辑：卢奇）

Two kinds of definition from Poisson process and equivalence proof

WANG Xiaoqin,SHANG Jing,WANG Xinmei,LI Huahui
（Math StaffRoom,AnyangUniversity,Anyang455000,China）

There are two kinds of common definition about Poisson process in respect to the theory of probability and stochastic process,but its strict equivalence are not be proven.Therefore,the detailed proof of equivalence was given based on linear first-order differential equation and Taylor series and by using mathematical induction in this paper.

Poisson process；two kinds of definition；linear first-order differential equation；equivalence proof

O211.62

A

1008-7516（2016）05-0048-04

10.3969/j.issn.1008-7516.2016.05.010

2016-08-31

王小芹（1990—）,女,河南新乡人,硕士,讲师.主要从事马氏过程分析研究.