静电场中电场强度和电位关系式应用探讨

刘 鑫， 张文祥， 赵志信， 冯进玫

(黑龙江科技大学 电子与信息工程学院， 黑龙江 哈尔滨 150022)

静电场中电场强度和电位关系式应用探讨

刘 鑫， 张文祥， 赵志信， 冯进玫

(黑龙江科技大学 电子与信息工程学院， 黑龙江 哈尔滨 150022)

电场强度；电位；应用条件

0 引言

静电场是电磁理论的重要组成部分。静电场的基本性质是无旋性，即

而任意标量场的梯度的旋度恒等于零，即

▽×▽Φ=0

所以可以认为对于静电场来说一定存在标量函数Φ，它与电场强度的关系式为

(1)

下面以图1中的线电荷为例，推导电位表达式。

线电荷的电场强度积分表达式为

(2)

图1 线电荷

令

(3)

1 问题的引入

式(1)提供了一种由电位函数求电场强度的方法，但文献[1-6]中都没有强调它的应用条件。笔者在教学过程中发现学生采用此方法求解两个例题时出现了矛盾和错误。为什么会出现这种结果呢？下面针对这两个例题分别采用两种方法进行求解来给予说明，解法一采用电场强度积分表达式(即式(2))，解法二是先由公式(3)求电位函数，再由式(1)求出电场强度。

例1 一个半径为a、线密度为ρ的均匀带电圆环，如图2所示，求轴线上的电场强度。

图2 均匀带电圆环

[分析]由于带电圆环的对称性，其轴线上的电场只有z方向分量。

解2：由式(3)得

(4)

在圆柱坐标系中，

(5)

例2 将例1中带电圆环改为半圆环，如图3所示，求轴线上的电场强度。

[分析]由于半圆环关于x轴对称，所以中轴线上的电场强度矢量包含z方向分量和x方向分量。此题采用式(2)和式(3)求解电场强度和电位函数时与例1区别在于积分区间的不同。

图3 均匀带电半圆环

解1：

解2：由式(3)

(6)

2 问题分析

从两个例题的电位函数结果表达式(4)和表达式(6)可以看出，轴线上的电位函数只与坐标z有关。若Φ=Φ(z)，则式(5)化为

(刘 鑫等文)

即电场强度只有z方向分量。所以无论对于整圆环和半圆环来说，先求轴线的电位函数进而对其求负梯度得到的仅仅是电场强度的z方向分量，所以半圆环轴线上的电场结果缺少z方向以外的其它方向分量(x方向分量)。巧合的是，整圆环轴线上的电场只有z方向分量，所以对其求负梯度得到的结果是正确的。

在求解例题1时采用式(1)，虽然结果正确但容易给学生错误的引导，使其认为只要求出电位再求负梯度即可得到电场强度。需要指出的是：利用式(1)求电场强度时要注意此时的电位函数Φ是适用于每一个场点的。而在例题2中所求的电位函数表达式是轴线上的，不适用于每一个场点，再按式(1)求解会得到不正确的结果。教师在讲授公式(1)时必须要强调其适用条件。

3 结语

[1] 徐立勤,曹伟.电磁场与电磁波理论(第二版)[M]. 北京：科学出版社，2010.7

[2] 沈熙宁.电磁场与电磁波[M]. 北京：科学出版社，2006.10

[3] 路宏敏, 赵永久, 朱满座.电磁场与电磁波基础[M] 北京：科学出版社，2006.9

[4] 刘岚, 黄秋元, 程莉等.电磁场与电磁波[M]. 北京：电子工业出版社，2010

[5] 郭辉萍，刘学观. 电磁场与电磁波[M]. 西安：西安电子科技大学出版社，2003

[6] 马海武，毛力.电磁场与电磁波[M]. 北京：人民邮电出版社，2009

The Discussion of Application of the Relationship Equation between Electric Intensity and Electric Potential in Static Field

LIU Xin, ZHANG Wen-xiang, ZHAO Zhi-xin, FENG Jin-me

(CollegeofElectricalandInformationEngineering,HeilongjiangUniversityofScienceandTechnology,Harbin150022,China)

The minus gradient of electric potential can obtain electric intensity in static field. The application condition of the relationship equation is usually ignored in present teaching materials, which makes students have wrong comprehension about it. Two solutions are applied in two examples, which are the integral formula of electric intensity and the minus gradient of electric potential. The reasons for wrong application of the latter solution are analyzed. The application condition of minus gradient of electric potential is emphasized to be a teaching reference.

electric intensity; electric potential; application condition

2015-11-05;

2016-01-28 基金项目：黑龙江省教育厅规划课题(GBC1214061)；黑龙江科技大学教学研究项目(JY14-45)

刘 鑫(1980-)，女，硕士，讲师，主要从事电磁场与电磁波、无线通信教学和研究工作，E-mail：liu_xin1128@163.com

TM151

A

1008-0686(2016)05-0044-03