“和型”不等式的几种求解策略



“和型”不等式的几种求解策略

许雪芬李建潮

(浙江省湖州市双林中学，313012)

有关数列前n项和不等式的试题是当下高考的一大热点,今介绍几种常用的应对策略．

策略1待定系数法放缩通项

例1(2014年全国高考题)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.

策略2待定系数法“裂”通项

裂通项求和是数列求和的一种行之有效的通法．这一策略可触类旁通地应用到“和型”不等式中来，如例1(2)的下列证法：

即α·3n≥3n+1-1，

(α-3)3n≥-1,n∈N*恒成立，

∴α-3≥0.

取α的最小值3,知对任意n∈N*,有

由此,立得

策略3改证“有(上)界”为“往后有(上)界”

例2(2004年全国高考题) 已知数列{an}的前项n和Sn满足Sn=2an+(-1)n.

(1)写出数列{an}的前3项a1,a2,a3;

(2)求数列{an}的通项公式;

(3)证明:对任意的整数m>4,均有

分析(1)略.

(*)

计算可得

这就是为什么本期写《童年的色彩》的小作者漆依芸说她的童年有那么多种色彩、写《玩具考古》的小作者吕兆恩有那么多“现代化”的玩具。小朋友们今天的幸福生活，跟小朋友们的爸爸妈妈小的时候相比，简直是有天壤之别，不信就看看本期的《童年的味道》和《远去的童年时光》吧。

当n≥6时

因此,当n≥6 时(*)式成立,即原不等式成立，得证.

评注以上第(3)小题也可以就m的奇偶性分类讨论证明,但明显繁琐.

策略4改证反向不等式

(*)

容易验证: 当n=1、2时(*)式成立.

当n≥3时,有

=(*)式的右边.

综上,对任意n∈N*,(*)式成立,原不等式获证.

策略5用增数列构造减数列

例4求证:

>0.

(*)

可见,{an}是增数列,但对正增数列求上界无济于事，为此设法通过(*)式构造出一个与之相关的减数列来.

事实上,由(*)式,可有