紧一致空间中函数的逼近定理

马 婷, 张 彦， 韩 婵

(西安建筑科技大学 华清学院,西安 710043)

紧一致空间中函数的逼近定理

马 婷, 张 彦， 韩 婵

(西安建筑科技大学 华清学院,西安 710043)

一致空间作为一种特殊的拓扑空间，它与拓扑空间和度量空间存在着密切的联系.通过利用非标准分析的方法对紧一致空间进行了非标准刻画，得到了紧一致空间中函数收敛与连续之间的关系；同时，利用U-微连续的定义证明了一致空间上函数的逼近定理.

一致空间;转换原理；逼近定理

拓扑学作为数学领域的一门学科，其作用是非常重要的.而一致空间作为其中的重要部分，自引进以来，定义了很多一致性质的结论.非标准分析[1-2]作为分析学的一个重要分支，其在分析学[3]、概率论、代数数论、拓扑学[4]、流体力学、量子力学、理论物理和数理经济等方面得到了广泛的应用，本文通过对紧一致空间的非标准刻画，证明了紧一致空间中函数收敛与连续之间的关系，并给出了一致空间中函数的逼近定理.

文中(X,u)、(Y,v)、(*X,*u)、(*Y,*v)均为一致空间，P是一致结构u的格集，Q是一致结构v的格集.其中p∈P，q∈Q.

定义1[5]设u是X×X的非空子集族，如果u满足以下条件：

(1)对一切的U∈u，Δ⊂U；

(2)如果U∈u，有U-∈u；

(3)如果U∈u，有V∈u，使得V°V⊂U；

(4)如果对一切的U,V∈u，有U∩V∈u；

(5)如果U∈u且U⊂V⊂X×X，则V∈u，

则称u为集X上的一致结构，(X,u)为一致空间.

定义2[5]设P为X的伪度量族，如果存在一致结构u，恰好使得P是一切在X×X上由u得出的乘积一致结构为一致连续的伪度量族，称P是u的格集，即u是P的一致结构.

定理1[5]若f是(X,u)到(Y,v)的映射，如果映射f关于一致结构u和v为一致连续函数当且仅当对于一切的q∈Q、s∈R+，存在p∈P，r∈R+，使得当p(x,y)

定义3[6]设对于任一s∈R+，存在m∈N+，使得对任一x∈X，当n>m时有q(fn(x),f(x))

定理2 若f是(X,u)到(Y,v)的映射，则称f关于一致结构u和v是一致连续函数当且仅当对任一(x,y)∈*X×*X，如果(x,y)∈μ(u)，有(f(x),f(y))∈μ(v).

定义4 若f是(*X,*u)到(*Y,*v)的映射，对任一(x,y)∈*X×*X，如果(x,y)∈μu，有(f(x),f(y))∈μv，则称f关于一致结构*u和*v是U-微连续函数.

定义5 设对任一fn是(X,u)到(Y,v)中的映射，如果对任一q∈Q，s∈R+，存在p∈P，r∈R+，使得对任一(x,y)∈X×X与一切的n∈N+，

当p(x,y)

q(fn(x),fn(y))

则称{fn|n∈N+}为U-等度连续序列.

定理3 一致空间(X,u)是紧的当且仅当对任一x∈*X，存在y∈X，使得对任一p∈P，p(x,y)≈0.

证明 “⟹”.由于一致空间(X,u)是紧的，因此对任一x∈*X，存在y∈X，使得x∈μu(y)，又

μu(y)= {z∈*X|(z,y)∈μu}=

{z∈*X|∀p∈P,p(z,y)≈0}.

故对任一p∈P，p(x,y)≈0.

“⟸”.显然成立.

定理4 如果映射f在紧一致空间X上关于一致结构u和v是连续函数，则映射f是一致连续函数.

证明 设x,y∈*X，且p(x,y)≈0.

由于X为紧一致空间，因此存在z∈X，有p(z,x)≈0，即

p(z,y)≤p(z,x)+p(x,y)≈0.

又由于映射f在紧一致空间X上是连续函数，因此q(f(z),f(x))≈0且q(f(z),f(y))≈0.故

q(f(x),f(y))≤q(f(x),f(z))+q(f(z),f(y))≈0.

即结论得证.

定理5 对紧一致空间X，如果对任一x∈X，设fn(x)收敛于f(x).对任一n∈N+，如果映射fn在X上是连续函数.称fn⟹f当且仅当序列{fn|n∈N+}是U-等度连续函数.

证明 “⟹”对一致空间X，因为fn⟹f，所以f在X上为连续函数.

又由于一致空间X是紧的，因此f与一切的fn，n∈N+，在一致空间X为一致连续函数.故f与一切的fn，n∈*N+在*X上是U-微连续函数.

设ν∈*N-N，若x,y∈*X且p(x,y)≈0.则

q(fν(x),fν(y))≤q(fν(x),f(x))+q(f(x),f(y))+q(f(y),fν(y))≈0.

因此对于n∈*N-N，fn是U-微连续函数.

又因为n∈N+，fn是U-微连续函数，因此{fn|n∈N+}是U-等度连续函数.

“⟸”由于{fn|n∈N+}是U-等度连续函数，因此对一致空间*X，如果对任一n∈*N+，fn是U-微连续函数.

任取x∈*X，ν∈*N-N.由于一致空间X是紧的，因此有y∈X，使得

p(x,y)≈0且q(fν(x),fν(y))≈0.

又因为fn(y)收敛到f(y)，即q(fn(y),f(y))≈0，所以q(fν(y),f(y))≈0.故

q(fν(x),f(y))≤q(fν(x),fν(y))+q(fν(y),f(y))≈0.

又由于f在一致空间X上是连续函数，p(x,y)≈0，故q(f(x),f(y))≈0.进而

q(fν(x),f(x))≤q(fν(x),fν(y))+q(fν(y),f(y))+q(f(y),f(x))≈0.

故fn⟹f.

定义6 对一致空间(X,u)，x∈*X.如果有y∈X，使得p(x,y)≈0，则称点x为U-近似标准；反之，称x为U-遥远的.

定义7 若y∈X且p(x,y)有限，称点x∈*X有限.

推论1 对(X,u)中的任一点x若为U-近似标准，则其也有限.

定义8 如果对任一U-近似标准点x，x∈*X，°x是唯一的y∈X，使得p(x,y)≈0，°x称作x的标准部分.

定理6(逼近定理) 一致空间(X,u)是紧的，如果映射f在(*X,*u)上是U-微连续函数，且映射f是内映射，则对任一x∈X，f(x)为U-近似标准，设x∈X，令F(x)=οf(x)，则称F在(X,u)上为一致连续函数，且对任一x∈*X，(F(x),f(x))∈μv.

证明 任意给定x∈X，由于映射f在(*X,*u)上是U-微连续函数，并且其是内映射，因此f也是rs-连续的.即对任一s∈R+，存在r∈R+，使得对任一y∈*X，当p(x,y)

q(f(x),f(y))

取y∈X且p(x,y)

又F(x)=οf(x)，所以q(F(x),f(x))≈0，q(F(y),f(y))≈0.故

q(F(x),f(y))≤q(F(x),f(x))+q(f(x),f(y))+q(f(y),f(y))

即F在点x处为一致连续函数，因为x是任取的，所以F在(X,u)上为一致连续函数.

令x∈*X，由于一致空间(X,u)是紧的，因此对任一p∈P，p(x,y)≈0，y∈X.

又f是U-微连续函数，因此q(f(x),f(y))≈0且F在(X,u)上为一致连续函数，即q(F(x),f(y))≈0，由于q(F(y),f(y))≈0，故

q(F(x),f(x))≤q(F(x),F(y))+q(F(y),f(y))+q(f(y),f(x))≈0.

因此结论得证.

[1] ROBINSON A.Nonstandard analysis,Studies in logic and the foundations of mathematics[M].North-Holland,1966:5-12.

[2] DAVIS M.Applied nonstandard analysis[M].New York:Wiley,1977:96-97.

[3] LI B H,LI YQ.Defining new generalized functions by nonstandard discrete functions and difference quotients[J].应用泛函分析学报,2004,6(4):322-346.

[4] WANG R D.The equivalence of two convergent sequence of bounde sequences in normed space[J].Journal of Mathematical Research & Exposition,2009,29(3):568-570.

[5] KELLY J L.General topology[M].New York:Springer-verlag,1975:175-200.

[6] KELLY J L.一般拓扑学[M].吴从忻,吴让泉译.北京:科学出版社，1982:161-176.

[责任编辑 王新奇]

The Approximation Theorem in Compact Uniform Space

MA Ting, ZHANG Yan, HAN Chan

(Huaqing College, Xi’an University of Architecture and Technology, Xi’an 710043, China)

As a special topological space, uniform space has close contact with topological space and metric space. In this paper, the compact uniform space is nonstandard characterized by the methods of nonstandard analysis. The relationship between convergent and continuity of function are obtained; And the approximation theorem of function in uniform space are proved by the concept ofU-microcontinuity.

uniform space; transfer principle; approximation theorem

1008-5564(2016)06-0001-03

2016-05-28

陕西省教育厅专项科研基金(15JK2052)；西安建筑科技大学华清学院科研项目(201503)

马 婷(1986—), 女, 陕西西安人, 西安建筑科技大学华清学院助教，硕士，主要从事非标准分析研究.

O141.41

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