高阶非线性泛涵差分方程的强迫振动性

2016-02-27张锋于祥武徐润

泰山学院学报 2016年3期

关键词：张锋曲阜常数

张锋，于祥武，徐润

(1.曲阜师范大学学报编辑部，山东曲阜273165;2.青岛市黄岛区实验中学，山东青岛266400; 3.曲阜师范大学数学科学学院，山东曲阜273165)

高阶非线性泛涵差分方程的强迫振动性

张锋1，于祥武2，徐润3

(1.曲阜师范大学学报编辑部，山东曲阜273165;2.青岛市黄岛区实验中学，山东青岛266400; 3.曲阜师范大学数学科学学院，山东曲阜273165)

泛函差分方程;非线性;强迫振动项

1 引言

文献［1］究了高阶非线性差分方程

的振动性.其中m≥1，τ≥0是整数.

本文应用［1］中相似的方法，我们研究下面的方程的振动性

其中m≥1且τi≥0是整数，△是向前差分算子，定义为△xn=xn+1－xn，△ixn=△(△i－1xn)，其中2≤i≤m，xf(x)＞0(x≠0)，qi(n)和cn是定义在N0={0，1，2，…}上的实数序列.

设实值序列{xn}是方程(1)的解.如果对每一个n0＞0，都存在一个n≥n0，使得xnxn+1≤0，那么这个解{xn}是振动的，否则，方程(1)不具有振动性，如果方程(1)的所有解是振动的，那么方程(1)就是振动的.

很多作者研究了当cn≡0时方程(1)的振动性，见文献［2－18］，但是，当cn≠0时，除了［9，10］外很少有人研究.在［9］中，作者假设存在一个实值序列gn，并且gn是变号的，△mgn=cn，当n→∞时，gn→0.

在本文中，我们没有对强迫项限制条件，为了方便，我们定义

并且

那么我们很容易得到

并且

其中n0≥0，i=1，2，…，m.

2 主要结论

引理1［6］令F(x)=ax－bxλ，其中x＞0.如果a≥0，b＞0并且λ＞1，那么F(x)得到它的极大值

如果a＞0，b≥0，0＜λ＜1，那么F(x)获得它的极小值

定理1令qi(n)≥0，其中n≥0，i=1，2，…，n.如果

并且

其中n0≥0，那么方程(1)的每一个解都是振动的.

证明令xn是方程(1)的一个非振动解.不失一般性，我们假设xn＞0，x(n－τ)＞0，其中n≥n0≥0.方程(1)的两边同时乘以φ(n，s)，并且对其从n0到n+m－1求和，我们有

由于

由(2)－(4)我们有

注意到φ(n，s)≥0其中n0≤s≤n－m+1.将(11)代入(9)中，方程两边同时除以φ(n+1，n0)，我们得到

根据条件(5)我们得到上述结论和(8)是相矛盾的.从而定理1得证.

定理2假设qi(n)＜0，其中n≥0，存在r＞0和λ＞1使得|f(x)|≥r|x|λ.如果

且

其中n0＞0，

那么方程(1)的每个解在τ=0的情况下满足lim supn→∞|xn|/φ(n+1，n0)＜∞时，是振动的.

证明当τ=0时，令xn是满方程(1)的一个非振动性解，满足条件

不失一般性，我们假设xn＞0且xn≤rφ(n+1，n0).其中n≥n0≥0，r＞0是一个常数.方程(1)两边同时乘以φ(n，s)，从n0到n+m－1求和.证明过程和定理1类似，我们有

注意到φ(n，s)=0且s=n，n+1，…，n+m－1，我们有

应用关于f(x)的假设，存在一个常数M＞0，从而有

因而，由(15)，我们得到

以上的结论和(14)相矛盾，从而定理2得证.

定理3假设存在两个正常数r＞0，0＜λ＜1，使得|f(x)|≤r|x|λ，如果

且

其中n0＞0，当

证明当τ=0时，令xn是满方程(1)的一个非振动性解.不失一般性，我们假设xn＞0且n≥n0≥0.证明过程和定理2相似，我们得到

那么，由(18)我们有

根据(5)，上述结论和(17)是相矛盾的，从而定理3得证.为了说明本文的结论，考虑以下几个例子.

例1考虑下面的微分方程

其中m≥1，q1(n)，q2(n)≥0且α＞0.根据定理1，我们很容易证得方程(19)是振动的，其中α＞m－1.

例2考虑下面的微分方程

其中m≥1.α，β是常数.令k=m，那么我们有

例3考虑下面的微分方程

其中m≥1.α≥0是常数.令k=m，那么我们有

由定理3，我们有方程(21)是振动的，其中α＞m－1.

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Forced Oscillation of Higher－order Nonlinear Functional Difference Equations

ZHANG Feng1，YU Xiang－wu2，XU Run3
(1.Journal Editorial Department，Qufu Normal University，Qufu，273165;
2.Huangdao Experimental Middle School，Qingdao，266400;
3.School of Mathematical Sciences，Qufu Normal University，Qufu，273165，China)