基于Plücker直线的LiDAR点云配准法

盛庆红,陈姝文,柳建锋，王惠南

南京航空航天大学航天学院，江苏 南京 210016

LiDAR Point Cloud Registration Based on Plücker Line

SHENG Qinghong,CHEN Shuwen,LIU Jianfeng,WANG Huinan

College of Astronautics,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China



基于Plücker直线的LiDAR点云配准法

盛庆红,陈姝文,柳建锋，王惠南

南京航空航天大学航天学院，江苏 南京 210016

Foundation support： The National Natural Science Foundation of China (Nos.41101441;41471381)

摘要：高精度的LiDAR点云配准是实现点云数据整体性和保证空间目标三维表面拓扑重建的关键，本文提出了基于Plücker直线的LiDAR点云配准模型,利用Plücker直线表示LiDAR待配准点云与基准点云间的同名直线，根据同名Plücker直线重合的几何拓扑关系，建立Plücker直线共线条件方程，再用最小二乘法确定待配准LiDAR点云与基准点云间的相对位姿参数。结果表明，Plücker直线共线条件配准模型几何约束性较强，配准精度较高。

关键词：LiDAR；点云配准；直线特征；Plücker直线

LiDAR是城市空间信息获取的重要手段[1-3]，由于城市空间目标复杂度较高，LiDAR系统数据采集通常需要从不同视角对空间目标进行扫描，再利用配准算法将相邻测站数据进行拼接，从而实现对空间目标的完整表达。根据配准基元的不同，配准算法主要是利用LiDAR点云之间的同名点、同名线和同名面特征。基于点特征的点云配准算法[4-9]，其主要为迭代最近点算法，实际上待配准的点云间不存在完全对应的同名点特征，这使得同名点特征配准算法的精度难以得到保证。选择平面作为特征则具有更好的准确性和稳健性[10-11]，基于面特征的点云配准算法便于确定同名平面特征，但是匹配算法对平面的拓扑关系以及数量有限制。一般情况，直线是遥感数据中高级的几何特征描述符号，相对于点，直线具有更强的几何拓扑性和几何约束性，可获得更高的配准精度。根据配准模型的不同，配准算法主要分为旋转矩阵与四元数，前者可用直线的单位向量代替直线求解旋转矩阵，然后采用两条相交直线的交点坐标求解平移矩阵[12]；后者用四元数法来表达旋转矩阵，用两条相交直线来求解平移矩阵，角度的配准精度可以达到0.025°[13]。

然而，上述方法没有充分考虑空间直线的几何拓扑关系，配准模型的几何约束强度弱。唯一确定一条空间直线所需的最少参数是4个，然而这4维参数空间是一个4维流形，它不是4维欧几里德空间[14]，因此采用何种数学方法描述和表达三维空间中的任意直线，才能充分发挥直线的几何拓扑性和几何约束性，增加配准模型区域网的几何强度，是提高LiDAR点云配准精度的关键。

Plücker直线坐标由直线相对于空间坐标系原点的矩矢量和直线方向矢量组成，其几何意义更加明确，形式上更加简洁，利用螺旋的Plücker坐标进行空间直线变换表示更加有效、快捷[15-19]。本文研究利用Plücker直线构建的点云配准模型，实现LiDAR点云的高精度配准。

1Plücker直线

1.1Plücker直线概念

设一空间直线上的两个点分别为P1(x1，y1，z1)T与P2(x2，y2，z2)T，那么这条直线的方向矢量w和矩矢量v分别为

(1)

如果将w和v的分量表示成5维射影空间上的6个齐次坐标，那么用非零标量乘以所有的齐次坐标后仍然表示同一个点，因此每条直线确定了该空间上的唯一点，这6个齐次坐标被称作直线的Plücker坐标[20]，即

(2)

若对w进行归一化处理，则Plücker坐标满足条件

L2+M2+N2=1

(3)

根据式(1)，可知w×v=0，因此可得到Plücker坐标满足的另外一个条件为

LL0+MM0+NN0=0

(4)

1.2Plücker直线空间螺旋运动

(5)

式中，ε为对偶单位，满足ε2=0，ε≠0;i、j、k为虚数单位，满足i2=j2=k2=ijk=-1。

(6)

(7)

(q1+εq01)+(q2+εq02)i+(q3+εq03)j+

(q4+εq04)k

(8)

图1　Plücker直线表示的空间螺旋运动Fig.1　Plücker linear spiral movement of space

(9)

对偶四元数矩阵形式的乘法运算法则如式(10)所示[20]。由于对偶四元数乘法不满足乘法的交换律和结合律，因此式(6)在进行计算时，要按照从左到右的顺序依次相乘

(10)

2Plücker直线LiDAR点云配准模型

2.1Plücker直线共线条件方程

令l1表示待配准点云上的一条直线，l2表示基准点云上l1的同名直线，则相邻测站点云配准的几何条件为l1与l2完全重合，即在同一坐标系中两条直线共线。根据Plücker直线坐标的理论[20]，两条直线共线的充要条件为两条直线的Plücker坐标对应成比例，又由于Plücker直线坐标经过式(3)的归一化处理，因此两条直线共线的条件是其各个坐标对应相等，即为式(6)的展开形式。

根据式(10)对偶四元数乘法运算法则，将式(6)展开可以得到6个方程

(11)

(12)

2.2平差解算

将式(12)写成误差方程式的矩阵形式

V=AX+F

(13)

式中

(14)

对式(14)进行线性化，可得约束条件方程的矩阵形式为

BX+W=0

(15)

式中

假设有n对同名直线，对每对直线可列一个式(13)的误差方程，联合式(15)，得到Plücker直线LiDAR点云配准方程的整体平差公式为

(16)

式(16)中，V和F是6n维矩阵；A是6n×8维矩阵。根据最小二乘原理，得

Y=-N-1WY

(17)

式中

式中，K为过渡性数值。

2.3精度评定

两条直线配准后，两条重合直线间的距离与夹角均为0。为评价两条直线的配准精度，可利用配准后的两条直线之间的距离与夹角指标。

n为l1和l2的公共法向量，在直线l1和l2上各取任意一点，记为A和A′，则向量AA′在n上的投影d即为两条直线间距离

(18)

两条直线l1和l2的夹角θ计算公式为

(19)

d和θ的几何意义为：当待配准点云与基准点云完成配准时，d=0 m，θ=0°；若没有完成配准，则d≠0 m或者θ≠0°，其数值大小反映出同名直线的匹配程度。

3试验结果分析

3.1模拟数据试验

利用文献[23]的建筑物数据作为基准点云，将基准点云绕z轴旋转30°，各坐标轴方向上平移距离1 m，将所得到的数据作为待配准点云，直线分布如图2所示。图2中编号为①—④的直线用于配准，共4条；编号为⑤—⑩的直线为检查直线，共6条，试验结果见表1和表2。由表1看出，配准结果与理论值基本一致，说明本文采用的方法是正确可行的。从表2看出，直线配准后的距离精度均值为0.090 4 mm，角度均值为0.000 02°，说明算法对模拟数据具有较高的精度。

图2　建筑物点云直线分布Fig.2　Lines distribution of building LiDAR point cloud

参数结果XS/m1.0001YS/m0.99994ZS/m0.99996φ/(°)-0.00004ω/(°)0.000005κ/(°)30.0007

由于试验待配准数据是由基准数据整体旋转平移后得到的，未考虑同名直线匹配误差。为此，模拟实际测量中匹配误差，在待配准数据直线的2个端点(6个坐标值)加入高斯白噪声，且加入的白噪声互不相关。考虑实际数据LiDAR点云精度为10 mm，噪声标准差设定在0~0.01 m之间变化，为了保证结果的稳定性，在每一个噪声水平上，程序运行100次，得到的噪声标准差对配准精度的影响结果如图3和图4所示。由图3和图4可以看出，当噪声标准差在0~0.01 m之间变化过程中，直线配准的距离误差和角度误差都呈现线性增大的趋势，但是距离误差均值在0~4.5 mm之间，角度误差均值在0°～0.055°之间，由此可见距离误差小于噪声标准差变化，距离误差和角度误差均可以满足LiDAR点云配准精度要求。

表2　配准精度

图3　不同噪声水平下配准距离误差曲线图Fig.3　Distance error under different noise levels

图4　不同噪声水平下配准角度误差曲线图Fig.4　Angle error under different noise levels

3.2实际数据试验

为了验证算法在实际LiDAR点云配准中的实用性，利用文献[13]中的直线特征作为试验数据，数据为奥地利Riegl公司的LMS-Z420系列地面LiDAR设备采集得到的某建筑物立面点云，采样精度为10 mm。基于点云的线状特征提取，采用的方法是首先通过人机交互的方式选择相应的LiDAR点云实现平面的拟合，在此基础上，通过平面相交的方法来实现线状特征的精确提取。选取编号2和4两条直线进行试验，配准结果见表3。选取编号1和3的直线作为检查直线，按照式(18)和式(19)计算实际精度，得到的结果见表4。

从表3看出，3种方法结果基本相同。在计算效率方面，Plücker直线法与四元数法基本相同，由于两种方法都避免了繁琐的三角函数运算，因此相比欧拉角法效率更高。

从表4看出，Plücker直线法配准后的距离精度均值为5.7 mm，角度精度均值为0.023 9°，均高于四元数法和欧拉角法。这是因为欧拉角法的外方位元素之间存在相关性，如Xs与φ、Ys与ω等，导致最小二乘估计存在复共线性，不再是最优估计。四元数法虽然采用两个端点描述直线，但基元本质上仍是点的三维坐标。而本文方法用方向矢量与矩矢量将直线描述为5维空间中的6个齐次坐标，将6个齐次坐标描述的直线作为基元，并且直接利用同名直线重合的空间拓扑关系建立共线条件方程，是真正的基于直线的点云配准方法。

表3　LiDAR点云配准结果对比

表4　配准精度对比

4结论

本文提出了一种基于Plücker直线的LiDAR点云共线条件配准方法，首先通过Plücker坐标描述同名直线，然后利用单位对偶四元数表示Plücker直线的空间螺旋运动，根据同名Plücker直线的共线条件建立LiDAR点云配准模型。分别进行了模拟数据试验和实际数据试验，试验结果表明，本文方法充分利用了待配准点云与基准点云同名直线间的空间拓扑关系，增强了配准模型的几何约束性。然而本文配准方法未考虑存在比例缩放的点云数据，这是下一步需要解决的问题。

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(责任编辑：张艳玲)

修回日期： 2015-06-05

First author： SHENG Qinghong(1978—), female, PhD, assciate professor,majors in digital photogrammetry and remote sensing image processing.

E-mail： qhsheng@nuaa.edu.cn

LiDAR Point Cloud Registration Based on Plücker Line

SHENG Qinghong,CHEN Shuwen,LIU Jianfeng,WANG Huinan

College of Astronautics,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016,China

Abstract：The high precision LiDAR point cloud registration is the key to achieve overall point cloud data, in the meantime, to ensure the 3D topological reconstruction of spatial objects. In this paper, a new registration method based on Plücker line is proposed. The conjugate lines between reference point cloud and point cloud to be registered are expressed by Plücker line. Then the collinearity equation based on Plücker line is established by the geometric topology relation of the conjugate lines. Finally the relative position and attitude parameters between reference point cloud and point cloud to be registered are solved by least squares method. Experimental results show that the method has strong geometric constraint and high registration precision.

Key words：LiDAR; point cloud registration; linear features; Plücker line

作者简介：第一 盛庆红(1978—)，女，博士，副教授，研究方向为数字摄影测量、遥感影像几何处理。

收稿日期：2014-08-14

基金项目：国家自然科学基金(41101441；41471381)

中图分类号：P237

文献标识码：A

文章编号：1001-1595(2016)01-0058-07

引文格式：盛庆红,陈姝文,柳建锋,等.基于Plücker直线的LiDAR点云配准法[J].测绘学报，2016,45(1)：58-64.DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20140415.

SHENG Qinghong,CHEN Shuwen,LIU Jianfeng,et al.LiDAR Point Cloud Registration Based on Plücker Line[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2016,45(1):58-64.DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20140415.