基于LINGO的传动轴多目标可靠性优化设计

王俊

（中冶华天工程技术有限公司，江苏南京210019）

基于LINGO的传动轴多目标可靠性优化设计

王俊

（中冶华天工程技术有限公司，江苏南京210019）

本文以移钢链传动轴为优化设计目标，引入可靠性设计原理，建立以传动轴截面积和外径最小为目标函数的数学模型，利用LINGO软件编程优化，求解目标函数最优解。结果表明，利用LINGO求解多目标优化问题，能得到较好的优化结果，算法简单，数据可靠。

LINGO；可靠性；多目标优化；传动轴

在机械设计过程中，常规设计经常使用的是基于安全系数的设计，而在设计中许多物理量是随机变量，也就是说在常规设计时，代入的变量只是随机变量中的一个样本值，那么仍然存在不安全、失效的可能性。若在常规设计中引入概率设计，这样将会使设计结果更加符合实际，并能定量地给出机械零件或机构不失效的概率，即可靠度。

多目标优化是现代设计方法中重要部分，可以将多目标优化设计延伸到数学中的多目标规划问题上，即将设计中的物理模型转化为数学模型，根据设计所追求的性能目标，建立目标函数，选取合适的设计变量，在满足给定的各种约束条件下，寻求最优化设计方案和最佳设计参数。通常情况下，将多目标优化根据目标函数的重要性进行加权运算构造一个综合的评价函数，即转为单目标优化来解决问题。本文将通过LINGO软件包来对传动轴多目标可靠性优化设计进行求解。

1 LINGO模型形式

LINGO是求解运筹学、数学建模的常规软件，可以快速、有效地求解线性、非线性规划模型问题，功能强大，操作简洁，无需编制大量程序，易输入，用户界面良好。使用LINGO软件求解多目标优化时，需将多目标转为单目标问题。LINGO模型同样是由设计变量、目标函数和约束条件组成。

其多目标优化转为单目标模型基本形式如下：

式中，wi为加权因子；lb，ub为矢量；F（X），fi（x），gi（x）可为线性函数，也可为非线性函数。

2建立优化设计数学模型

2.1 初始条件

某轧钢厂精整区移钢链传动轴设计，结构形式如图1所示。已知参数为：轴长L为定值，轴的材料选用45#钢，剪切弹性模量G=81 GPa，许用剪切应力[子]＝45 MPa，每米长的允许扭转角为[φ]＝1°/m.轴所传递的功率为11 kW，转速为58 r/min，需确定传动轴可靠度达到0.999 9时的优化设计参数。

图1 移钢链结构示意图

2.2 设计变量选取

对于传动轴而言，在长度一定的条件下，传动轴的体积仅与轴径有关，这样可以采用轴径作为设计变量，即外径D，内径d，若d=0时，为实心轴。则：

2.3 目标函数的建立

要建立好目标函数，首先要明确优化设计的要求，即在满足可靠度以及其它约束条件的基础上，使得传动轴的体积最小，上文提到轴长是定值，那么性能目标就应调整为轴的截面积最小，轴的外径最小。

由上述要求，目标函数可建立如下：

其中：

式中：w1，w2为分目标函数权重，可根据设计经验，分目标函数的重要程度判断给出。

2.4 约束条件

由于传动轴只受扭矩，不受弯矩或弯矩很小，可不参与计算，应按照扭转强度进行设计。（1）扭转强度条件约束按照扭转强度要求，则：

演算后得：

式中：

τ为扭转切应力（MPa）；T为轴所受扭矩（N· mm）；W为轴的抗扭截面系数（mm3）；[τ]为许用扭转切应力（MPa）.

（2）扭转强度可靠性约束

根据可靠性设计应力-强度干涉模型以及轴需达到可靠度要求，得出：

通过查正态分布表得：

式中：τ¯为工作扭转切应力均值（MPa）；στ为工作扭转切应力标准差；[τ]为许用扭转切应力（MPa）；σ[τ]为许用扭转切应力标准差。

考虑许用扭转切应力为定值，则σ[τ]＝0.

根据3σ原则以及轴径制造公差统计数据列出轴径的标准差：

现需计算出工作扭转切应力均值及其标准差στ.

抗扭截面系数：

抗扭截面系数均值：

抗扭截面系数标准差：

扭转切应力均值：

扭转切应力标准差：

联立式（6），（7），（8），（9），（10），（11）得：

（3）扭转刚度条件约束

轴的扭转变形是用每米长的扭转角来表示，即：

经演算后得：

式中：φ为工作扭转扭转角；IP为轴截面的极惯性矩，IP＝π（D4-d4）/32；[φ]为每米允许扭转角；G为轴的材料的剪切弹性模量。

（4）其余约束条件

考虑数值的非负性，以及轴的外径大于内径，即：

综上所述得出总体的数学模型如下：

3优化设计程序与分析

3.1 LINGO程序编制

根据数学模型编写LINGO源程序如下：

model：

Title Nonlinear Programing;

data：

weight1=0.4；!定义分目标函数权重；

weight2=0.6；!定义分目标函数权重；

enddata

init：

x1=80；!设置初始值；

x2=0;

endinit

min=weight1*0.78539*（x1^2-x2^2）

+weight2*x1^2；!目标函数;

@bnd（0，x1，170）；!定义上下限约束条件；

@bnd（0，x2，100）；

-x1+x2≤0；

-x2≤0；

（9224400*x1/（x1^4-x2^4））-45≤0；

（13050819/（x1^4-x2^4））-1≤0；

216379-（x1^4-x2^4）/x1≤0；

end

通过运算得出如下结果：

Global optimal solution found.

Objective value：3143.708

Objective bound：3143.705

Infeasibiliwties：0.2910383E-10

Extended solver steps：10

Total solver iterations：617

Model Title：Nonlinear Programing

Variable Value Reduced Cost

WEIGHT1 0.400 000 0 0.000 000

WEIGHT2 0.600 000 0 0.000 000

X1 61.495 06 0.000 000

X2 31.579 84 0.000 000

即经过617次迭代计算，找到全局最优解，x1=61.495 06，x2=31.579 84；考虑有一侧键槽，轴径增大3%，经圆整后得x1=64，x2=32；若采用实心轴，通过上述程序运算得出：x1=60.104 84，x2=0.经圆整后得x1=62，x2=0.

3.2 优化设计结果及分析

优化前后数据对比如表1所示。通过数据对比，优化后的传动轴在满足0.9999的可靠度下，轴径下降了20%，在轴长定值情况下，重量下降了40%～50%，优化结果优于原设计结果。

4结束语

优化设计后的设计结果相对原设计，降低了制造加工成本，有一定的经济效益，如表1所示。

表1 优化前后数据对比

由于现实中的设计变量大都是随机变量，呈现一定的离散性，所以引入可靠性设计，能使设计结果更符合实际，有重要的现实意义。

运用LINGO模型算法优化计算，操作简单，易于输入，设计人员不需要编写大量繁琐复杂的算法程序，同样能得到合理的优化设计参数，大大提高了设计效率，对设计工作具有一定的指导意义。

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[2]濮良贵，纪名刚.机械设计[M].7版.北京：高等教育出版社，2001.

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[5]陈志华，刘世峰，董朝盼.传动轴多目标可靠性优化设计[J].煤矿机械，2014，35（11）：26-28.

MultiObjective Reliability Optim ization Design of Transm ission Shaft Based on LINGO Language

WANG Jun
（Huatian Engineering&Technology Corporation，MCC.Nanjing Jiangsu 210019，China）

This paper takes the transmission shaft ofmoving steel chain as the optimization design objective，and drawing into the reliability design principle，the mathematical model with the objective of minimizing of the sectional area and outer diameter of the transmission shaft is established，and using lingo software programming optimization to solve the optimal solution of the objective function.The result shows that the optimization results can be obtained by using LINGO to solve multi-objective optimization problems，the algorithm is simple and the data is reliable.

TH122

A

1672-545X（2016）12-0017-04

2016-09-29

王俊（1984-），男，安徽和县人，工程师，硕士研究生，研究方向：冶金机械设计与研发。

Key w rods：LINGO；reliability；multi objective optimization；transmission shaft