数学范式教学中的课程设计

□侯英

数学范式教学中的课程设计

□侯英

范式教学中培养学生的自主学习能力，让他们学会学习，是大学数学教学的一个重要任务。根据数学的学科特点，文章从新课引入、概念理解和知识应用三个方面探讨范式教学中的课程设计。

范式教学；自主学习；课程设计；能力

《国家中长期教育改革和发展规划纲要 (2010—2020年)》明确把“深化教育教学改革，创新教育教学方法，探索多种培养方式。注重学思结合。倡导启发式、探究式、讨论式、参与式教学，帮助学生学会学习”作为我国未来高等教育发展的目标。高等教育研究学者巴尔和塔戈指出，要在高等教育教学过程中转变方式，并提出：从提高教的质量到提高学的质量；从灌输学生的教学的质量到激发学生的教学的质量；从统计教了多少教学内容到检查特定的学习成果；从教师主要作为讲解者到教师主要作为学习方法和学习环境的设计者。学校教育的根本任务在于使学习者学会如何学习，学会如何与他人共同生活以及学会如何生存。我们所关注的学习焦点是学生学会如何学习、如何研究、如何思考以及如何创造。

美国研究者提出应改进大学的教学方式，学生应该学会学习。教学中教师应注重学生实际学到什么，关注他们在接受教育后会有什么样的发展，要从长远的角度研究如何进行教学。20世纪90年代末以来，我国高校开始借鉴“以学习者为中心”的教育理念，大学教学范式转变从以知识内容为重心的教学范式走向以创造有意义学习经历为重心的教学范式。

对学生来说，知识必须是现实而有意义的，这样才有利于掌握与运用。学习应该是思考与理解的过程，是对新知识的建构。教师的教学目的在于转变学生的认知结构和研究事物的方式，让他们自己主动探索知识，在这一过程中学会学习、思考、解决问题。

数学由于其高度的抽象性、体系的严谨性等特点，使数学教学具有与其他学科不同的特点。在教学过程中，教师可以以问题为载体，创设不同的数学情境，让学生通过自己收集、分析和处理信息来感受并体验知识的产生过程，为学生创造有意义的学习经历，培养他们分析问题、解决问题的能力和创造力。本文根据范式教学的实践经验，分析大学数学教学改革中培养学生自主学习能力的课程设计思路。

一、新课引入的课程设计

数学教学中，教师不应只是简单地复述教材内容，而是要依据学生的理解能力、思维能力、想象能力，对数学知识“进行重组和演化，对教学方式进行设计和选择”。新数学知识的获取以数学问题的提出为基础，数学是数学问题的科学，是数学问题提出与解决的科学。设计一节课的内容，教师可以通过创设情境引出问题，进而由表及里层层深入，将所学内容逐步展开。数学问题产生于数学情境，数学情境是从事数学活动的环境，产生数学行为的条件。学生通过对数学情境中信息的观察、分析，产生疑虑、困惑，逐步发现、形成问题，激发认知冲突，促使其产生探索的欲望。设置数学情境要结合教学内容，紧扣教学目标，适合学生的认知水平，同时还要具有较丰富的数学信息，其展现形式应尽可能地生动直观，易于理解，以便学生提出问题，进而让学生去解决提出的问题，在探讨研究的过程中体验数学知识的形成与发展过程，并获取数学知识。

例如，“概率论与数理统计”第七章“区间估计”这节课的引入设计。设置情境：警察在侦破案件时通常借助监控录像，在监控视频中可以发现可疑分子的影像，从而估计出他的身高、年龄大概是在什么范围内，比如观察身高是在165cm～175cm，年龄在25～30岁之间，这实际上就是对嫌疑人真实身高和年龄的区间估计。

师生互动1：引导学生分析判断嫌疑人身高和年龄的估计值，我们最关心的是什么？

再举例：抽测某批烟草的尼古丁含量（单位：mg），得到10个样本值：18，24，27，21，26，28，22，31，19，20。假定烟草的尼古丁含量服从正态分布N（μ，σ2）。试求出烟草尼古丁平均含量μ的取值范围。

师生互动2：引导学生探讨估计值的范围的精确度和可靠性应如何用数学的形式表示？由引例学生会得出估计值所在的范围不应太大，而且准确性应尽量高，即区间的精确度和准确性两个方面都要考虑。这样通过层层递进的师生活动，引导学生循序渐进地认识问题的本质，顺理成章地引出置信区间的概念。通过实例创设问题情境，可以激发学生的学习兴趣，有利于引导他们进一步探究问题，同时也使其认识到学习这节课的实际意义。教师设计课程所选的情境，要能让学生对问题产生好奇心，带着一种探求知识的渴望，自己去接近所要学习的知识点。

二、概念理解的课程设计

数学的定义、定理等内容，在叙述上都比较抽象，如何让学生能理解其真正的含义，达到灵活运用的目的，需要教师通过精心的课程设计，帮助学生去把握。

例如，线性代数中的“线性相关和线性无关”定义：对于向量组α1，α2，…，αs，如果存在不全为零的数k1，k2，…，ks，使得k1α1+k2α2+，…+ksαs=0，则称向量组α1，α2，…，αs线性相关。否则，称向量组α1，α2，…，αs线性无关。对这个定义，单从字面上理解似乎并不难，但应用时往往判断错误，原因是对概念的理解不够深刻。教师可以给出如下问题：判断下列向量组是线性相关还是线性无关？

①α1+0α2-3α3=0 ②0α1+0α2+0α3=0

③α1+2α2+3α3≠0 ③k1α1+k2α2+，…+ksαs=0

⑤对任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+ k2α2+，…+ksαs≠0

师生互动：引导学生分析线性相关定义中的条件的含义，即只要“存在不全为零的数”满足公式，就是线性相关，所以①是线性相关的。而②④没有反应出是否“存在”不全为零的数使得等式成立，因此无法判断。③只说明1、2、3作为向量组的系数不能满足公式，除此之外还有没有不全为零的数能满足公式看不出，所以也无法判断。⑤中强调“任意一组不全为零的数”都使得表达式不为零，意味着只有当k1，k2，…，ks同时取零时才有 k1α1+k2α2+，…+ ksαs=0，所以符合线性无关的定义。

由此可以看出，课堂上教师通过对定义的解释或具体实例的分析，可以揭示概念内涵，让学生认识概念的本质，更好地理解定义。

三、知识应用的课程设计

要使学生学会学习，教师的课程设计应始终从学生的角度去考虑，发挥学生自主学习的能力。学生在学习了定义、定理、公式以后，能用这些知识解决问题才是学习的关键。因此，例题的选取、习题的难度和代表性都需要教师课前做充分的思考。

比如线性代数中，解非齐次线性方程组这一节，教材中给出定理，说明方程组的解分3种情况。教师在设计课程内容时，可以先不给出定理，而用探索研究的方式讲解例题，调动学生的主动性，让他们去发现不同方程组的增广矩阵在化为阶梯形矩阵后的本质区别，从而得出用阶梯形矩阵判断方程组的解的方法。下面以无穷多组解的情况为例来说明。

首先，让学生写出增广矩阵，进行初等行变换，通过化简得到阶梯形矩阵：

最后，在得出此方程组应该有无穷多组解的基础上，再让学生观察阶梯形矩阵中，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩分别为多少？与方程组中未知量的个数的大小关系是什么？由此得到定理的结论：当R（A）=R（A）=r＜n时，方程组有无穷多组解。学生很自然地总结出定理的内容。教师通过引导学生把直观的结论上升到理论高度，可以让他们经历探索知识得出结论的过程，并把中学对方程组的初步认识，利用现在学习的矩阵的秩加以提升推广，实现认知上的飞跃。这样的教学方法，一方面能使学生理解定理的产生原因，在解具体方程组时自然能根据阶梯形矩阵判断解的情况，学生在推导定理的同时就学会了运用，从而防止出现死记硬背结论但不会用的毛病；另一方面，通过让学生体验探究思考的过程，培养他们的数学思维能力，提高其自主学习、自主探索分析问题的能力。

学生掌握了方程组的三种解的情况后，接下来如何更深一步地综合运用定理，教师可以通过增大习题难度的方法进行训练，升华认知。

由于这个题目中含有未知字母，与系数都是已知的情况不同，学生会感觉有困难。教师可以先提示学生用前面学过的方法正常化简，然后根据化简得到的结果，让学生结合定理的三个结论分析取值。整个解题过程尽量调动学生的主动性，通过小组讨论，各抒己见，寻找答案。课堂中运用这样的练习题，可以将非齐次线性方程组解的三种情况放到一起，锻炼学生综合运用知识分析问题的能力。再布置类似的课后习题，使学生更深刻地理解定理的含义，为后续学习打下良好的基础。

数学学习不仅仅是认知活动，教师在课程设计中还需要将学生的兴趣、动机、情感、意志、行为调节、学习态度、对自己能力的信念等个性因素整合到认知过程中。课程设计总的指导思想就是在按照教学大纲的要求完成教学任务的前提下，创设符合学生认知水平的数学情境，将知识点放到具体的环境中，激发学生探求知识的兴趣，充分调动学生的积极性、主动性，再用一个个问题引导学生由表及里、由已知到未知，不断探索，凭借他们自己的能力，在教师的适度帮助下完成学习内容，真正实现学生自主学习的教学方式。

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（编辑：秦俊嫄）

G642.4

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1671-0568（2016）29-0070-03

侯英，硕士，贵州财经大学数学与统计学院副教授。研究方向：基础数学、课程与教学论。