债务违约风险与期权定价研究

王安兴, 杜 琨

(1. 上海财经大学金融学院, 上海 200433; 2. 上海市金融信息化技术研究重点实验室, 上海 200433)

债务违约风险与期权定价研究

王安兴1,2, 杜 琨1

(1. 上海财经大学金融学院, 上海 200433; 2. 上海市金融信息化技术研究重点实验室, 上海 200433)

论文分析当已知公司财务信息下的欧式期权定价问题，分别在公司资产服从Merton、Black & Cox和Leland & Toft违约风险模型下，给出了欧式期权的定价公式，并分别讨论了公司资本结构和债务违约边界对欧式期权价格的影响.

期权定价； 资本结构； 信用风险； 违约边界

0 引 言

在资本市场中，很多上市公司发行股票和债券，同时，以这家公司的股票为标的的期权也交易活跃.比如，在上海和深圳A股市场中，不少上市公司发行可分离可转债.可分离可转债就是把普通可转债拆解成两个证券，一个证券是可转债的债权，另一个证券是可转债的转换为公司股票的转换权.债权证券就是普通的债券，而转换权证券就是普通的期权.上市公司发行可分离可转债之后，在市场中事实上同时出现公司债券、股票和期权等证券.在通常的法律环境下，上市公司会披露公司财务信息.如果公司债务违约，则公司将被清算，公司剩余资产权益归债权人，导致公司股票价值归零，公司股票期权价值也直接受到影响.鉴于公司财务信息对判断公司债务违约风险的重要性，持有股权激励合约的经理人、期权交易的理性投资者有兴趣了解公司财务信息对期权价值的影响.

关于期权定价的研究始于Black和Scholes[1]和Merton[2]的开创性工作，在假设股票价格服从几何布朗运动的条件下，Black和Scholes[1]和Merton[2]独立给出了欧式期权定价的Black-Scholes-Merton(BSM)模型.

在这以后，众多学者从不同的角度不断推广Black-Scholes-Merton模型.Heston[3]假设股票价格的波动率是随机的，Merton[4]在股票价格过程中引入跳越，Bakshi 等[5]，Bates[6-7]，Das 和 Sundaram[8]，Eraker[9]，Pan[10]以及Scott[11]的期权定价模型都引入跳-扩散过程来模拟标的资产的价格过程.

由于经验数据显示股票价格不是正态分布，Barndorff-Nielsen[12]假设标的资产价格服从逆高斯(NIG)分布，从而为期权定价.Eberlein等[13]采用广义双曲分布模拟标的资产收益率分布，Madan 和 Milne[14]以及Madan等[15]假设标的资产价格服从方差伽马(VG)过程，从而为期权定价.Carr 和 Wu[16]假设股票价格服从时变Levy过程，并在此假设下为期权定价.Carr 和 Wu[17-18]，Carr 和 Linetsky[19]假设股票价格服从跳过程的条件下债券违约、期权定价的关系，并应用于CDS定价等分析.Carr 和 Wu[20]假设公司债务违约前股票大于门槛值B，公司债务后股票价格小于A(A

关于公司债务违约、信用债券定价与公司资本结构的研究始于Merton[21].如果公司资产价值大于公司负债，在公司股东没有动机债务违约.如果将来公司资产价值降至某一水平，公司股东对公司债务违约，公司债权人取得公司股权.Merton[21]假设公司资产价值用几何布朗运动描述，可违约公司股票和债券可看作是公司资产价值的或有索取权，给出公司债务定价的结构化模型.

Black 和 Cox[22]认为公司债务到期之前的任何一个时间，如果公司资产价值跌至违约边界时，公司债务违约就会发生，公司的违约边界外生给定.Black 和 Cox[22]还研究了优先和次级债务分级、安全条款、分红及现金分红限制对风险债务定价的影响.Geske[23]采用了复合期权方法来对息票债券定价，并给出了在这一复合期权框架下的次级债务定价公式.Leland等[24]研究支付连续利息(也可等价地认为公司在每次到期都发行相同面额的新债为旧债的偿还融资)的永久债券的信用风险，得到信用风险债券价格的解析解，Leland等[24]模型考虑了破产成本和税收对公司股东违约选择的影响和公司最佳资本结构，该模型的结果更多地回答了关于公司资本结构的问题.

Longstaff 和 Schwartz[25]继承了Black 和 Cox[22]关于违约时间的假定，但是他们认为违约边界不是确定的，而是随机变动的.他们将利率的动态过程引入到模型中，计算在Vasicek单因子利率模型下的信用风险定价，其研究表明，利率的动态变化对信用风险定价的影响并不如想象中的大.Leland 和 Toft[24]认为公司的内部控制人可以控制公司的资产和负债规模与结构，因此公司违约边界是内生的，并分析了在这一假设下的风险债务定价问题.Briys 和 Varenne[26]定义了一个随机违约门槛，该违约门槛定义为债券到期日之前以无风险利率贴现的固定值，只要公司价值到达这一门槛，债券持有人就收到一定比例(该比例是外生的)的公司剩余资产，他们的模型确保支付给债券持有人的现金流不大于违约时的公司价值，且在任何时点门槛值都是公司是否破产的一个很重要的决定性因素，且公司能重新支付债券的本金.Huang 和 Huang[27]实证检验各种债务违约风险的结构化模型拟合债券信用利差的优良性，发现对投资既债券，信用风险模型仅仅能够解释其信用利差的很小部分，信用风险模型对高收益债券的信用利差解释能力稍大.

关于隐含波动率显示出“Volatility smile/smirk”现象长期存在，其实是提醒所有的期权定价理论拟合市场期权价格数据不完美，Carr&Wu[20]也仅仅对虚值期权(out-of-the-money)进行实证检验.研究新的期权定价理论依然有必要.在期权定价理论研究中，基于公司资产价值模型条件下公司债务违约与期权定价理论的文献没有看到.

在Black 和 Scholes[1]、Merton[2]及后来的欧式期权定价公式研究中，对公司资产负债表中的公司股东权益价值(股票价格)设定模型，没有涉及公司负债.导致在欧式期权定价公式中没有出现公司负债，表示公司负债与期权价格没有直接关系.Merton[21]及后来的公司债券违约风险研究中，对公司资产负债表中的公司资产价值设定模型，关注的重点是公司债券的违约风险，没有涉及公司股票期权的定价问题.在不同文献的研究中，由于研究者假设的基本决策信息不同，他们给出了不同的结论.

本文假设决策者的决策基于公司资产价值相关(财务)信息，对公司资产负债表中的公司资产价值设定模型，关注的重点是公司股票期权的定价问题.尝试分析公司股票、公司债券和公司股票期权同时存在交易条件下，公司股东债务违约对期权价格影响，分析债务条款与期权价格的关系.

选择Merton[21]、Black 和 Cox[22]和Leland 和 Toft[24]等三个模型为例，是因为这三个模型在结构化信用风险模型中很有代表性.Merton模型开创了结构化信用风险模型，Black-Cox模型首先将违约时间随机化，Leland-Toft模型首次将公司内部人的影响引入到结构化风险模型中.其它的结构化信用风险模型都是在这三个模型的基础上发展而来的.

1 问题描述

假设上市公司发行股票、零息票债券，公司股东以公司资产(或收益)偿还公司债券，同时，以公司股票为标的的期权在市场中自由交易.假设金融市场有效，债券、股票、期权的交易没有交易成本，信息对称，市场中的所有参与者同时获得信息，公司股东的资本结构(债务融资)选择与公司股票期权价格无关.如果公司股东不按照债务合约规定偿还债务，则公司破产，公司股票价值变为零.公司股东是否违约，取决于当时公司的资产价值和债券合约条款的规定.根据公司资产价值模型假设和债券合约违约条件的差异，分别讨论在Merton模型、Black-Cox模型和Leland-Toft模型下的欧式股票期权定价问题.

1.1 Merton模型下的期权定价问题

Merton[21]模型中假设下简单的经济：设公司资产价值V(t)，公司股票价格为S(t)，公司债券到期日为T，面值为D，价格为B(t)，没有票息(coupon)支付，在债券到期日支付债券面值，如果公司股东无法偿还债务，则公司破产，股票价值变为零.公司资本结构外生给定.该公司股票的看涨期权的敲定价格为K，到期日为T，市场无风险利率r是常数.

设公司资产价值V(t)服从几何布朗运动

(1)

其中W(t)为标准布朗运动.风险调整后，在风险中性概率测度下有

(2)

因为公司价值=股权价值+债券价值，所以

S(T)=[V(T)-D]+

(3)

其中S(T)为T时刻的股价.由风险中性定价公式[28]，看涨期权在0时刻的价格为

(4)

K为期权敲定价格.由式(3)可以看出，如果公司不负债，即D=0(由式(3)，此时有V=S)，则该模型就退化为Black-Scholes模型.

1.2 Black-Cox模型下的期权定价问题

Merton[21]模型假设债权人只能在债券到期日强迫公司破产清算，而事实上许多债券合约中有所谓的“安全条款(safety covenants)”，即当公司价值V(t)低于某个临界值VB(t)时公司就会被强制破产清算，这个临界值VB(t)被称为破产边界.下面就在Black和Cox[22]模型下求解欧式期权价格，分析债券合约中的“安全条款”如何影响期权价格.

假设一个与前一节相同的简单经济，仅仅公司资产价值模型不同：在Black和Cox[22]中，假设公司资产价值服从几何布朗运动

(5)

其中q为连续支付的红利率.破产边界VB(t)=Ce-γ(T-t)，其中C>0，γ>0为常数.C代表违约边界的大小，该值越大越容易违约.γ代表违约边界随时间变化的速率，该值越大违约边界上升速度越快.要求γ>0是因为投资人一般情况下在距离债券到期日越近的时刻越担心债券违约.经过风险调整，在风险中性概率测度下有

(6)

设F(V(t)，t)为t时刻看涨期权的价值，则当t=T时有

其中S(V(T),T)代表T时刻的股票价格，它依赖于公司T时刻的价值V(T).根据风险中性定价公式，看涨期权在0时刻的价格为

1{V(t)>VB(t),∀t∈[0,T]}]

(7)

看跌期权的价格可以类似给出.从式(7)可以看出，如果假设公司不负债，即D=0且1{V(t)>VB(t),∀t∈[0,T]}=1，则该模型就退化为Black-Scholes模型.

1.3 Leland-Toft模型下的期权定价问题

Black和Cox[22]模型中假设公司违约边界是外生给定的.与此相反，Leland 和 Toft[24]认为公司控制人(股东)能够决定公司何时破产，从而违约边界应该是内生的.这时，公司资本结构也是内生的，公司股东选择最优资本结构.依照Leland 和 Toft[24]中的假定，公司价值V(t)依然满足式(5)和式(6).公司在0时刻发行面值为D的债券，T时刻到期，以后按滚动方式继续发债.为简化分析，假设债券不付息，且没有破产成本.根据以上假设，Leland 和 Toft[24]中的内生违约边界为

(8)

假设一个与前一节相同的简单经济，但是，公司债务违约行为与Leland & Toft[24]相同，违约边界内生，期权价格与资本结构无关.则在Leland-Toft模型下，期权价格F(V(t)，t)与Black-Cox模型下的股票期权价格高度类似，唯一的区别在于违约边界.类似于上一节的Black-Cox模型，如果在Leland-Toft模型中假设公司不负债，则该模型也退化为Black-Scholes模型.

2 不同模型下的期权定价公式

在第1节中，已经根据风险中性资产定价理论给出了欧式看涨期权的计算方法，下面分别给出不同模型下的欧式期权的定价公式.

定理1 如果公司资产价值服从Merton[21]模型，并且公司股东仅仅当债务到期时公司资产价值小于负债面值时违约，则欧式看涨期权的价格为C(V(t),t)=V(t)N(d1)-(K+D)e-r(T-t)N(d2)

(9)

若在式(9)中令D=0，则式(9)就变成了Black-Scholes公式.

定理2 如果公司价值服从Black 和 Cox[22]模型，股东当公司价值下降到外生违约边界以下时违约，则欧式看涨期权的价格为

其中

若令D=γ=0，再令C→0+则定理2中的公式就退化为Black-Scholes公式.

定理2’ 如果公司价值服从Black和Cox[22]模型，股东当公司价值下降到外生违约边界以下时违约，则欧式看跌期权的价格为

G(V(t),t)=F(V(t),t)+Ke-r(T-t)-

{V(t)e-(q+γ)(T-t)N(d1)-

Pe-r(T-t)N(d2) -A}

在Black-Cox模型下，违约边界是外生的，下面给出在内生违约边界条件下欧式期权的定价公式.

定理3 如果公司资产价值服从Leland和Toft[24]模型，公司股东当公司资产价值下降到内生违约边界以下时违约，则欧式看涨期权的价格为F(V(t),t)=V(t)e-q(T-t)N(d1)-(D+K)e-r(T-t)N(d2)-

其中

若令D→0+，定理3中的公式就退化为Black-Scholes公式.则定理3中的在Leland-Toft模型下，欧式看跌期权的价格与定理2′中很相似，推导过程和各种参数的影响也基本相同.不再给出其具体表达式.

定理1到定理3分别给出了在不同的公司资产模型和违约条件假设下欧式期权的定价公式，模型条件的假设不同，欧式期权的定价公式也不相同.然而，在所有模型的假设下，公司债务和违约边界都出现在期权定价公式中.这是与传统的Black-Scholes-Merton欧式期权定价模型显著不同的一个特征.公司的资本结构、债务违约边界会影响欧式看涨期权的价格.

3 资本结构与期权价格

在文献18的定理1到定理3中，公司债务水平是影响期权价格的一个因素.记公司杠杆率为L=D/(S+B)，分析公司资本结构和违约边界对公司股票期权价格的影响.S+B为公司的初始资本，不妨假设S+B为常数，杠杆率由负债水平D决定.

性质1 如果公司资产价值服从Merton[21]模型，则欧式看涨期权的价格随杠杆率的上升而下降.

所以，看涨期权的价格随杠杆率的上升而下降.

由于在Merton模型下公司只会在债券到期日违约，公司负债D对看涨和看跌期权价格的影响恰好相反.

性质2 在Black 和 Cox[22]模型设定下，欧式看涨期权的价格随杠杆率的上升而下降，随外生违约边界的上升而下降.

分析说明：由式(7)知，期权在0时刻的价格为

1{V(t)>VB(t),∀t∈[0,T]}]

即杠杆率上升导致看涨期权价格下降.债券合约中安全条款对期权价格的影响通过示性函数1{V(t)>VB(t),∀t∈[0,T]}表现出来.如果债权人要求更多的保护，他们就会通过提高C或者降低γ来提高违约边界的门槛VB(t)=Ce-γ(T-t)，此时示性函数1{V(t)>VB(t),∀t∈[0,T]}会变小，从而看涨期权价格会下降.

在Black-Cox模型设定下，杠杆率上升使看跌期权的价格上升.分析如下：类似看涨期权，有风险中性定价公式得看跌期权的价格可表示为

1{V(t)>VB(t),∀t∈[0,T]})+]

由此可见，负债D的上升使得看跌期权的价格G(V(T)，T)上升.

性质3 在Leland 和 Toft[24]模型设定下，欧式看涨期权的价格随杠杆率的上升而下降，并且下降幅度比在Black 和 Cox[22]模型设定下更大.

分析说明：由式(7)知，期权在0时刻的价格为

1{V(t)>VB,∀t∈[0,T]}]其中内生违约边界VB由式(8)给出，所以杠杆率的上升不仅影响行权收益[V(T)-(D+K)]+，而且影响违约边界VB.注意到负债D的增加减少看涨期权的行权收益，并且提高违约边界VB，即D的上升使得[V(T)-(D+K)]+和1{V(t)>VB,∀t∈[0,T]}同时下降.与只影响行权收益的Black-Cox外生违约边界模型相比，在Leland-Toft内生违约边界模型中，杠杆率上升使得看涨期权价格下降的更多.

在Leland和Toft[24]模型设置下，杠杆率上升使看跌期权的价格上升且其上升幅度比在Black和Cox1976模型设定下更大.分析如下：类似看涨期权，由风险中性定价公式得看跌期权的价格可表示为

1{V(t)>VB,∀t∈[0,T]}]+

由上式可见，债务D上升不仅使得(V(T)-D)+下降，而且通过使内生违约边界VB上升也使得示性函数1{V(t)>VB,∀t∈[0,T]}减小，从而看跌期权的价格上升且上升幅度较Black和Cox[22]模型设定下更大.

4 数值模拟分析

1)数值比较杠杆率与期权价格关系

期权价格的影响因素有当前公司资产价值V(0)、市场无风险利率r、公司资产波动率σ、期权敲定价格K、期权到期期限等.模型中的参数，例如利率r，波动率σ和敲定价格K等对期权价格的影响与标准的Black 和 Scholes[1]模型中相似，但是，BSM的期权定价公式与公司资本结构无关，而本文的模型中，公司资本结构是影响期权价格的一个因素.

下面在Black 和 Cox[22]模型和Leland和Toft[24]模型下分别数值计算期权价格，关注的是公司杠杆率L对期权价格的影响.由于L=D/(S+B)=D/V(0)，从而D=V(0)L.将定理2，定理2′和定理3中的负债D用初始资产价值V(0)与杠杆率L的乘积替换，可将杠杆率L直接反应到期权价格的公式中.

给定一组参数，令r=0.05，γ=0.03，q=0.04，T=0.5，t=0，V(0)=50，K=30，C=1.σ=0.3.在这组参数下，对杠杆率L取不同的值，计算出期权价格，列于表1中.表2的数据由表1中数据计算而来，表示不同杠杆率下期权价格的差.例如，“0.5到0.8”栏下的1.880 6表示杠杆率从0.5变化到0.8后，在Black 和 Cox[22]模型下的期权价格变化之差为1.880 6.

表1 不同财务杠杆下的期权价格

由表1中的数据可以看出，在Black-Cox模型下，看涨期权的价格随杠杆率的上升而下降，看跌期权的价格随杠杆率的上升而上升，这与性质2中的分析相一致.由表1和表2中的数据可以看出，在Leland-Toft模型下，看涨期权的价格随杠杆率的上升而下降，并且下降速度快于在Black-Cox模型下的下降速度，这与性质3中的分析相一致.

表2 看涨期权价格变化比较

表1和表2清楚地显示，期权价格与公司资本结构有关.而BSM期权价格与公司资本结构无关.这是BSM模型与本文的期权定价公式的显著差异.

2)与BSM模型的数值比较

为了比较BSM模型与本文的期权定价公司的异同，首先需要给出在模型假设下，按照BSM模型计算欧式股票期权的定价公式.而在本文模型框架下计算BSM模型下的期权公式，仅仅需要确定的输入参数是在当前(0时刻)股票的波动率.下面给出股票的波动率计算方法.

Merton[21]和Black和Cox[22]以及Leland和Toft[24]中都有股票S(V,t)的公式，从而可以求出不同模型下的σS.在Merton[21]模型下，股票波动率表达式为

σS=σ(1+D/S).

在Black和Cox[22]模型下，股票波动率的形式就复杂很多，为了节省篇幅，不再给出具体形式.

下面在Merton[21]和Black和Cox[22]模型下比较本文的期权定价公式所给价格与BSM模型所给期权价格的差异，分别在实值期权、虚值期权、平价期权情况下进行比较.相对复杂的Leland和Toft[24]模型下的比较结论相同，就不在这里给出了.

取模型参数为r=0.05,T=1,t=0,q=0,γ=0.1,σ=0.3,D=20,V0=50.首先计算Merton[21]模型下的期权价格与BSM期权价格，结果列于表3.由于Black和Cox[22]模型中需要选择违约边界，分别对违约边界C=15、C=30和C=45计算Black 和 Cox[22]模型下的期权价格与BSM期权价格，结果列于表4.由于参数D=20,V0=50，C=15对应于违约边界小于初始资产价值与债务面值之差，C=30对应于违约边界等于初始资产价值与债务面值之差，C=45对应于违约边界大于初始资产价值与债务面值之差.

表3 Merton模型下的期权价格与BSM价格

从表3中的数据可以看出，在Merton[21]模型设定下，本文的期权价格与BSM公式所给期权价格差异不大.这是因为Merton[21]假设债券只能在到期日违约，而从概率角度来说，一个时间点上的违约概率近似于零，因此造成了信用风险对看涨期权的折价效应很小.

从表4中的数据可以看出，在Black 和 Cox[22]模型设定下，本文的期权价格与BSM公式所给期权价格差异非常明显.这是因为Black 和 Cox[22]假设债券在到期日前的任何时刻都可违约，这样违约概率就比较大，因此造成了信用风险对看涨期权的折价效很明显.

从表4中的数据还可以看出信用风险的增大(C增大)对BSM公式所给期权价格无影响，这是因为BSM公式正没有考虑信用风险对期权的影响.而本文的公式能够体现这种影响.

表4 Black & Cox模型下的期权价格与BSM价格

5 结束语

当已知公司财务信息时，能够判断公司债务违约风险，在此条件下，欧式期权定价公式与传统的Black 和 Scholes[1]和Merton[2]模型显著不同，公司财务杠杆大小和债券的违约边界对期权价格有影响.在Merton[21]、Black 和 Cox[22]和Leland 和 Toft[24]模型下，公司杠杆率上升则看涨期权价格下降，但下降的程度随模型的不同而有所不同.Leland 和 Toft内生违约边界模型下债务额增加对欧式看涨期权的折价作用最为明显.公司财务杠杆大小和债券的违约边界对欧式看跌期权价格的影响与其对看涨期权价格的影响恰好相反.

如果投资者拥有详细的关于公司资产价值信息，建议使用投资者本文的模型计算公式股票期权价格.如果投资者仅仅有公司股票价格相关信息，则BSM期权定价公式可能是合适的选择.投资者在期权市场交易或者应用期权做套期保值、风险管理时，必须充分利用掌握的信息条件.如果投资者掌握有充分的公司资产与债务信息，建议投资者充分考虑公司股东债务违约风险的潜在影响.

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数学附录

•定理1的证明

证明 由式(2)和式(4)可见，在Merton[21]假设下，期权价格与BSM模型的差异在于敲定价格变为K+D.当然，标的是公司价值V，而BSM模型的标的是公司股票S.

•定理2的证明

证明 由式(7)可见，F(V(t)，t)被转化为了一个以V(t)为标的物的下降敲出移动关卡看涨期权，敲定价为D+K.将该问题转化为对应的偏微分方程得

其中D={(V(t),t)|VB(t)≤V(t)<∞, 0≤t≤T}.注意到移动关卡(障碍)函数VB(t)=Ceγt是时间t的指数函数，从而有上面的偏微分方程有解析解

F(V(t),t)=V(t)e-(q+γ)(T-t)N(d1)-(D+K)e-r(T-t)N(d2)-

其中

求解偏微分方程的过程比较复杂，不在文中给出，感兴趣的读者可以参看姜礼尚[29]中pp.263-265的内容.

•定理2’的证明

证明 利用看涨看跌平价关系得

[S(V(T),T)-K]+=[K-S(V(T),T)]++S(V(T),T)-K

将上式两边贴现到t时刻，然后在风险中性概率测度下取条件期望得

上式左端为看涨期权价格(用call表示)，右端第一项为看跌期权的价格(用put表示).从而得

•定理3的证明

证明 只需用式(8)所给出的内生违约边界代替定理2中的外生违约边界即可.具体来说就是在定理2的证明中令γ=0,C=式(8)即可.

Option pricing given corporate financial information

WANGAn-xing1,2,DUKun1

1. School of Finance, Shanghai University of Finance and Economics, Shanghai 200433, China; 2. Shanghai Key Laboratory of Financial Information Technology， Shanghai 200433, China

This paper analyzes the European option pricing given corporate financial information. The pricing formula for European option were given under Merton(1974)、Black & Cox(1976) and Leland & Toft (1996) models. We find that a company’s capital structure has significant effects on European option prices.

option pricing; capital structure; credit risk; bankrupt boundary

2013-12-04；

2014-03-25.

教育部科技创新工程重大项目培育资金资助项目 (708040)； 上海财经大学“211工程”三期重点学科建设资助项目； 上海财经大学研究生科研创新基金资助项目 (CXJJ-2011-395)； 上海财经大学研究生创新基金资助项目(CXJJ-2011-395； CXJJ-2012-385).

王安兴(1963—), 男， 湖北襄樊人， 博士， 副教授. Email: awang@mail.shufe.edu.cn

F830.91

A

1007-9807(2016)01-0117-10