可见的小学数学核心素养——以“埃及分数”教学为例

陈六一，张 浩

（1.苏州市阳山实验小学校，江苏 苏州 215151；2.苏州市高新区金色小学，江苏 苏州 215000）

教学核心素养，关乎着培养什么样的人。可是，如果只有理念没有行动，教育就是海市蜃楼。虽然我们在普遍性中进行思考，但却生活在细节之中。所以小学数学课堂，要看得见学生“对数学的持久兴趣，对数学思想的融会贯通”[1]。当小学数学核心素养落地，成为学生的自觉，教与学才可谓“君子不器”。

一、可见的教：平衡表层理解与深层理解

表层理解涉及对观念或事实的认知，深层理解的两个过程——关系加工和精细加工，造成了思维性质的变化。关系加工的问题需要学生把一种组织模式施予既有材料之上；精细加工需要学生超越既定信息、知识观念，提出适用于所有情况的更为普遍的规则或者证明。从这些表层的和深层的认知与理解当中，学生能够建构观念，进而形成他们参与表层和深层学习的方法。

但并不是说，表层理解必然是劣质的，深层理解则完全是好的。正确的观点是强调在两者之间的平衡：因为学习的过程是一段从观念走向理解再走向建构，并继续往前走的旅程；是一段学习、遗忘学习、融通学习的旅程。[2]

【案例1：认识埃及分数】

师：同学们，今天我们一起来研究一节课本上没有的数学知识，愿不愿意挑战？

生：愿意。

师：出示大屏幕，研究什么？

生：埃及分数。

师：对于埃及分数，你有什么提问的吗？

生：分数还分国度吗？

生：什么叫作埃及分数？

师：容我卖个关子，先插播一道数学问题，3块同样大小的饼，平均分给4个同学，每人分得多少块饼？

生：3÷4=（块）

师：懂了，我们五年级时，是这样思考的，可是四五千年前的埃及人可不是这样分饼的，他们先将2块饼都均分成2份，这样每个同学可以取走其中的1份，即块饼；再将剩下的1块饼均分成4份，每个同学再取走4份中的1份，即块饼。（老师边动画演示，边叙述。）重点来了哦，谁来回答刚才那位同学的提问：什么叫作埃及分数？

生：分子是1的分数，例如等。

无疑，案例中呈现的“研究什么？”“什么叫作埃及分数？”“每人分得多少块饼？”等问题的思考都是表层理解，但正是这种表层理解，激发着学生学习的欲望——“什么，分数还有国度之分？这到底是怎么回事？”对过往学习的回忆也是表层理解，纵然过往的学习过程也许是深层理解。这样学生已然熟知的分饼策略，就与古代埃及人的分饼方法发生了冲撞，这种思维的冲撞必然引起学生的好奇，数学就这样如同孩子的游戏，步步惊心。当然，教师也要具备一种能够在学生的学习朝着成功标准迈进时适时“抽身”的技巧。[3]

【案例2：研究】

老师发起问题：我们先来研究一下，谁能将它拆分成两个不同的埃及分数之和？学生陷入思索之中，两分钟之后，有些许同学有了点眉目。老师一边巡视，一边与写出正确答案的同学做个别交流：

生：我先试着将的分子、分母同时扩大，得到；这样可有

生：我先想到比小一点的埃及分数，再用，结果得到，这样刚好凑成了

学生明白了埃及分数的含义，但能像古代埃及人那样灵活运用埃及分数吗？原来我们不比四五千年的人聪明多少，埃及分数的秘密需要付出思维的代价。案例二在老师适时“抽身”之后，学生通过挖掘自己的数学经验，哪怕不乏学生没有寻找出答案，也是在试图平衡表层理解与深层理解，以便成功建构合理的认知和现实的理论。于是，当教师成为他们自己教学的学习者，学生成为他们自己的教师的时候，对于数学的学习就会产生最大的效果。

二、可见的学：被学生所感知的教学质量

1.可见的挑战

把拆分成两个不同的埃及分数之和，对于刚刚接触埃及分数的学生来说，无疑是从兴趣升级到了挑战。而这个看似简单但又不能轻松获得的答案，反而更加刺激着学生的感官。随后，课堂中挑战接踵而至。

第一步，老师将大家的结果整理如下：；让学生观察这三组算式中的数字，提问能找到什么秘密吗？

第二步，教师出示让学生自己探求。

第三步，等号右边第一个加数的分母如何确定呢？3，2；5，3；15，8……规律是什么？

每一次历经挑战，学生都能清晰地感受到自己仿佛学功夫，又精进了一步。原来，挑战和学习被学生所感知，是数学学习的必要要素，所以张景中院士说：“学习数学的乐趣类似于下棋，是思考之乐，是挑战之乐。”[4]课堂，不断丢给学生问题，让学生花些力气去解决，并品尝到挫折；直到他们亟须一个想法时，再给他们一些技巧。但不要给太多。学生乐于其中，并借此不断积累思维的经验。

2.可见的娱乐

数学不在“真相”里，而在“搜寻真相”的经历之中、“创造真相”的过程之中。本来看不出来的，突然间就看见了。能够从“无”当中创造出简单的纯粹的美丽，并且在这个过程中，丰盈了自己的思维，这不正是至上的娱乐吗？一如数学家保罗·拉克哈特的兴奋之词：“我纯粹就是在玩。这就是数学——想知道、游戏、用自己的想象力来娱乐自己。”[5]

【案例3：归纳公式】

师：你们获得花了5分钟，而你们考我，我答出只用了不到5秒钟，不觉得似乎有什么窍门吗？

生：后一个加数的分母是前两个分母的乘积。

师：对的。那等号右边第一个加数的分母如何确定呢？

生：……

师：看，3，2；5，3；15，8。规律是什么？

生：先将所要拆分的分母+1，再将结果除以2，商就是第一个埃及分数的分母。

师：棒极了！那

生：

师：

生：

这就是数学的外貌和感觉：对于我们想象的创造物提出简单而直接的问题，然后制作出令人满意而又美丽的解释。没有其他事物能达到如此纯粹的概念世界，令人着迷、充满趣味。

3.可见的改进

再回过头来，审视案例2和案例3的学习。面对问题，学生们并不是总能立即反应出答案，甚至在获得答案的过程中，常常伴随着错误。例如有学生写出，可是这不符合两个不同的埃及分数的要求；然而，面对错误，学生没有气馁，尝试着将一个加数的分母调整为3，眼睛豁然一亮，另一个埃及分数不就是吗？再例如，学生对所内含的规律产生了困窘，只能判定等号右边第二个埃及分数的分母，是这个埃及分数的前面两个分数分母的乘积；不过，一旦老师提醒大家聚焦分母“3，2；5，3；15，8”，思路顿时打开了。所以说，学习是可错的，更是能够被改进的，每个学生都能看得见这种改进。

还有，数学学习并非总是大声的、兴奋的，但是又很少有沉郁、压抑的时候，常常是紧凑的、富有活力和冒险的。一旦学生进入了数学冒险、兴奋，还有些许的不确定的探究紧张，走弯路，乃至错误自然出现，然而，就像上文的两个案例，哪一次错误不是数学成功的基石？

4.可见的思想

【案例4：特殊到普通】

生：老师，你教我们体验的都是比较特殊的分数，其他分数都可以写成几个埃及分数的和吗？例如。

生：

师：但是问题又来了，古埃及人可不懂这样将分子、分母同时乘一个数再去拆分，他们只会实物操作，我们再以分饼为例，可以变成什么样的问题？

生：5块饼平均分给6位同学，每人分得多少块？

师：那我们穿越到四千多年前，像古埃及人那样实际操作一下如何？

生：先取出3块饼，每块平均分成2份，每人取1份，即得块；再将剩下的2块饼平均分成3份，每人取1份，即得块。所以

在课被设计好以后，在内容被传授以后，在课堂被组织起来以后，就出现了教学成果的完整概念。在案例4中，学生习得了同学的经验，可以通过分数的基本性质将分子、分母同乘一个数，将改写成，从而发现需要的埃及分数。毋庸置疑，学生掌握了类比推理的数学思想。

同时，用画草图的方式，将数学知识形象化，又有数形结合的意思。更重要的是，这些方法虽然呈现了一定的推理与模型思想，可是所得的推理与模型并不能解决所有的分数如何转化为埃及分数。那古老的埃及人是怎样使得的呢？

是的，学生历经重重挑战与挫折，通过改进自己的错误，探究出了分子是1和分子是2的分数，拆分成不同的两个埃及分数的一般表达式：和。不过，分子是3、4、5……的分数呢？因为分子的不同，都有一个不同的表达式吗？有没有一个统一的表达式？

这就是数学思想的力量，既能解决问题，又是下一个问题的孵化器。当然，下一个问题还得依靠数学抽象思想、推理思想、模型思想。学生的解题策略吻合上了数学家的问题解决方式。吸引了几千年来的数学家们的埃及分数问题，竟成了学生需要直面的问题。于是就有了接下来的场面：尽管下课了，学生还在关心着斐波那契的贪心求法。

综上所述，教师是学生学的促进者以及审慎的引领者。但学习终归需要内化成学生素养的表现。小学数学核心素养的三要素是：数学人文、数学意识、数学思想。[6]三要素中每个要素都是必要的，但是单独哪一个要素对于有效学习来说又都是不够的。缺少某一个要素，哪怕是很小一部分的缺乏，学生也可能几乎什么都没学到。因此，数学不是名词，而是动词，甚至是生活方式。▲

参考文献：

[1][6]刘晓萍，陈六一.小学数学核心素养的理论分析[J].今日教育，2016（3）：24-26.

[2][3]约翰·哈蒂.可见的学习[M].彭正梅，邓莉，高原，等，译.北京：教育科学出版社，2015：28-36.

[4]张景中.怎样才能快乐地学数学[J].中学生数理化（七年级数学）（人教版），2008（3）：6-8.

[5]保罗·拉克哈特.一个数学家的叹息[M].高翠霜，译.台北：经济新潮社，2013：17.