“多边形的内角和与外角和”教学设计

2016-02-15四川省成都市石室中学

中国数学教育（初中版） 2016年5期

关键词：课程理念探究意识数学思想

荣　彬（四川省成都市石室中学）

“多边形的内角和与外角和”教学设计

荣彬（四川省成都市石室中学）

摘要：以三角形的内角和与外角和的推导和应用一课为例，通过采用“问题驱动”的方式，运用问题逐步引导学生进行实验、观察、类比等，组织学生自主探究，提高学生发现问题、解决问题的能力．

关键词：课程理念；数学思想；探究意识

内容和内容分析

1．教学内容

北师大版《义务教育教科书·数学》八年级下册第六章第四节“多边形的内角和与外角和”的第一课时，主要内容为多边形内角和定理的推导和应用．

2．教学内容分析

“多边形的内角和与外角和”是在学习了三角形内角和定理、平行四边形的相关性质后进一步研究多边形内角和的探究课．本节课内容既是三角形内角和的自然延伸，又是进一步探究多边形问题的基础．通过添加辅助线将多边形问题转化为三角形问题来解决不仅是探索内角和的关键，而且也是今后解决四边形及多边形问题的通法，是初中学生数学逻辑思维发生、发展的重要环节．通过本节课的学习，不仅可以发展学生探索和归纳能力，而且有助于帮助学生进一步体会从简单到复杂、从特殊到一般、化归与转化的数学思想．同时，多边形内角和的探索需要学生猜想、实验、证明、探索，对学生掌握观察、比较、类比、转化、归纳等方法有重要作用，有助于培养学生创新思维和探索精神．

教学目标

（1）经历“定理”的探究过程，掌握“定理”内容，能用于解决相关数学和实际问题.

（2）了解数学问题中“从特殊到一般”的研究方法，培养思维水平的严谨性和全面性.

（3）体会转化、类比、化归的数学思想．

教学问题诊断分析

学生通过对三角形内角和定理和平行四边形性质的学习，初步具备了一定的分析与归纳的能力，但是学生对新的数学问题的探究有一定困难.尤其是为什么要转化，怎么把新问题转化为已知问题来解决是现阶段学生学习的“拦路虎”，学生从七年级入学开始实行小组合作学习，有很多讲演的机会，能够较好地表达自己的观点，渴望应用所学的知识解决问题，但逻辑推理能力和用数学工具进行探索和归纳的能力还有待进一步提高．而这节课探究性较强，学生探究问题和添加辅助线的经验还不够丰富.本节课学生的学习还可能存在以下困难.

（1）探究四边形的内角和时，在探究三角形内角和的启发下，可能想得到度量法、拼图法，却想不到添加辅助线的方法.

（2）学生在探究五边形、六边形、七边形的内角和时，可能出现从不同的点出发去分割图形，却求不出它的内角和.

（3）学生可能采用不同的方法分别探究出了五边形、六边形、七边形的内角和，却找不到规律，而归纳、猜想不出n边形的内角和如何表示．

教学重点：多边形内角和定理及其证明过程.

教学难点：理解多边形内角和问题的解决为什么要转化，如何转化的思维发生、发展过程．

教学支持条件分析

八年级学生已学习过多边形和圆的初步认识、平行线的性质与判定等有关基础知识，对平面图形的边、角、对角线有初步的了解，并能用这些知识解决相关问题．在七年级下学期学习了三角形的基本性质、三角形内角和定理，对三角形的内角和为180°有较深的理解．在本章学习了平行四边形相关性质后，知道长方形、梯形等特殊四边形的内角和为360°，但对任意四边形的内角和是多少不能严谨地说明．八年级的学生已初步学会了简单的逻辑推理方法，掌握了一些基本的数学思想方法，能在教师的引导下独立地解决一些基本问题．因此，在教学中注重运用开放性问题引导、鼓励学生大胆阐述自己的观点，培养学生数学交流能力，理解从特殊到一般的数学方法和转化的数学思想．

课堂注重由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．一方面，通过学生自主思考和互动研讨，把问题的研究从特殊引向一般，充分经历探究多边形内角和定理的全过程，突出教学重点．另一方面，在定理的推导过程中，注意分析如三角形、特殊四边形等已有模型的特征，通过已有模型的研究、转化和类比，突破教学难点．课堂采用自主探究教学方法，选择开放性问题，启发学生尽可能从不同方面思考问题、解决问题，揭示思维水平的深刻性；引导学生积极参与合作学习、探究发现、实践与体验．

教学过程设计

1．创设情境，提出问题

师：同学们，就像一份快乐，如果两个人分享就会得到更多的快乐一样，有的事物去掉一部分，剩下的部分反而有可能变得更大、更多，你们相信吗？也许大家觉得不可思议，可是，今天我们要学习的多边形的内角和就是一个典型的例子．

学生活动：思考、反馈，结合生活实际大胆地说出自己的疑惑与想法．

【设计意图】通过一个富含哲理的问题，引起学生的认知冲突，充分调动其好奇心和求知欲，为本节课后续的深入学习埋下伏笔．

2．实践探索，去伪存真

师：每个组的资料盒里都准备了一些长方形的卡纸，请取出一张，任意剪掉一个角，可以有几种不同的剪法，剪出可能的图形，并思考以下问题：剪出的图形内角和是多少？你是怎么计算的？结果比原来的长方形内角和增加了，还是减少了？剪好的小组请派代表将图形贴在黑板上，准备交流对以上问题的思考．

学生活动：用剪刀剪出可能的图形，思考剪出图形的内角和，把计算原理整理在学案相应位置上，大胆地讨论、展示自己的剪裁作品，从多方面入手，求出所剪图形的内角和，感受多边形内角和随边数变化而变化的事实．

【设计意图】以一个开放性的数学问题直接进入这节课的主题，让一个看似很容易的问题引起学生的认知冲突和探究兴趣，让学生在自觉或不自觉的状态下把眼光集中在多边形的内角和上．通过对长方形的剪裁，认识到多边形内角和会随多边形边数的变化而变化，建立特殊四边形与三角形、五边形的联系，为对多边形进行类比研究打下基础．

3．转化探究，初步解惑

师：对于正方形、长方形、平行四边形、梯形等特殊的四边形，我们已经能求得其内角和为360°，但毕竟它们都是特殊的四边形，那么对于任意的四边形能否通过转化求出内角和？请每位同学都任意画一个四边形，尝试用转化的方法从不同的角度思考求出它的内角和，做好交流准备．

学生活动：在卡纸上画任意四边形，类比三角形内角和的研究方法，对任意四边形的内角和进行多角度思考，寻找不同的解决问题的办法．

【设计意图】通过画任意四边形求内角和，把研究的对象从特殊引向一般，引导学生把握其内在的规律，渗透转化的数学思想.

4．类比探究，概括公式

师：同学们通过不同角度的思考，充分证明了四边形内角和为360°，那么五边形、六边形、七边形，……，甚至n边形的内角和又是多少度呢？请大家运用自己学到的知识，在学案相应位置写出你的结论．

教师参与小组探究，倾听学生讨论，组织小组代表汇报探究成果（鼓励学生说出不同分割方法，以便全班共享），总结数学思想和方法．

学生活动：以四边形内角和的研究方法做类比，寻找多边形内角和随边的变化而变化的规律，从不同的角度推导、表示、认识、理解多边形的内角和公式．

【设计意图】以任意四边形内角和的研究方法做类比，继续深化学生对本节课知识的理解，寻找多边形内角和随边的变化而变化的规律，从不同的角度理解多边形的内角和公式．以此进一步锻炼学生分析和解决问题的能力，达成掌握多边形的内角和定理，体会类比、化归的数学思想的教学目标，实现本节课重、难点的第二次突破．这样不仅掌握了公式，而且还总

结出了类似数学问题的研究方法，进而完成新知识的建构与内化.

5．随堂练习，巩固提升

练习：（1）试求二十边形的内角和．

（2）已知一个多边形的每一个内角都是156°，试求它的边数．

（3）把一张五边形的纸片剪掉一个角后，得到的多边形内角和的度数是多少？

学生活动：学生尝试练习，用本节课学到的多边形内角和公式解决已知多边形边数求内角和、已知内角和求边数等问题．

【设计意图】三道练习题，层层递进.第（1）小题直接巩固公式，第（2）小题深化边角关系，第（3）小题则注重知识、方法的灵活应用，以及分类讨论的数学思想；通过练习强化对多边形内角和定理的掌握，进一步优化学生思维，提高能力．

6．归纳总结，内化吸收

学完这节课的知识、方法后，请学生分享各自的收获和学习体会，分享后对学生的总结进行提炼、归纳，渗透德育思想．

学生活动：（1）掌握多边形内角和公式（n－2）· 180°；（2）体会转化的思想；（3）掌握由特殊到一般的研究方法；（4）从不同的角度思考同一个问题会有不同的收获．

【设计意图】回顾本节课学习的知识及应用到的数学思想和数学方法．学生小结，教师补充、提炼，使这节课所学知识系统化，并从感性认识上升到理性认识，渗透德育思想．

7.作业跟进，融会贯通