顺势而导 自然生成*——一次教研活动的点滴心得

●蔡卫兵　(鄞州实验中学　浙江宁波　315100)



顺势而导自然生成*——一次教研活动的点滴心得

●蔡卫兵(鄞州实验中学浙江宁波315100)

摘要:数学概念教学立足本源创设最近发展区，借助有效提问揭示联系，为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程，实现概念自然的、水到渠成的形成过程，才能使课堂具有生命力，使学生收获有益于一生的能力和经验．

关键词:概念教学;知识重组;关注过程;有效提问;自然生成

2015年10月12日，浙江省“郑瑄名师网络工作室”在宁波市江北区育才实验学校举行了工作室开班仪式，并进行了第1次教研活动．笔者有幸成为工作室的学科带头人，聆听了3位浙江省特级教师自然流畅的数学课堂教学，这3节课分别是郑瑄老师执教的“三角函数”(9年级)，俞界岳老师执教“多边形”(8年级)和徐丹阳老师执教的“二元一次方程”(7年级)，感觉每节课都气韵生动，精彩流转，实现概念自然的、水到渠成的形成过程．

1　关于概念形成的3个案例

郑老师上课伊始出示直角三角形，并复习回顾了直角三角形的角之间的关系和边之间的关系，提出了“角和边之间有何关系”的问题．然后请学生拿出含有45°角的三角板，说说3条边之间有何关系．郑老师指出虽然大家三角板的大小不一，但只要是含有45°角，它的3条边之比为继续研究含有30°角的三角板的3条边之间的关系和含有15°角的直角三角形的3条边的关系，由此让学生感知直角三角形3条边之比与角度有关，随着角度的变化，3条边之比也变化，巧妙地解决了变与不变的辩证关系．对照函数概念，可以得到3条边之比是关于角的函数．紧接着郑老师由老子《道德经》中的大道至简过渡，引导学生要学会把复杂变成简单，用智慧创造“简单”，提问:需要研究3条边之比吗(根据勾股定理，只需确定其中2边的比值，必能求出与第3条边的关系)?其中2条边的比值有几种情况?是否都有必要研究呢(a∶c，b∶c，a∶b;c∶a，c∶b，b∶a共6种，后3种与前3种分别是倒数关系，因此知其三必知另三)?边的比值关于角的函数不能像前面所学的一次函数、二次函数、反比例函数的解析式的形式进行表示，数学家们用符号表示，得到3个比值是角的函数，统称为三角函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数．这样水到渠成地得到锐角三角函数的概念:一是三角函数是比值;二是三角函数的值与角度有关……

俞老师上课伊始给出浙教版《数学》8年级上册目录，引导学生梳理三角形问题的研究顺序、研究内容，接着浏览《数学》8年级下册目录，指出四边形问题同样是按照先一般后特殊的顺序进行研究，要研究四边形的定义、性质、应用，这是几何图形研究的一般顺序和主要内容．几何中常常将“图形特征”与“数量关系”对应起来研究，用类比得到新知的思想也是教材设计的一条暗线．由三角形的定义类比到四边形的定义，由三角形的内角和定理的操作、猜想、验证的研究方法类比到四边形的内角和研究的策略与路径．类比教学，源于相似性，更要关注差异性，突出随着边数增加而出现的空间四边形与平面四边形、凸四边形与凹四边形，俞老师都给予了充分细致地关注．类比教学，关注结构性，更要关注本质性，突出内角和的证明是将4个内角集中起来，转化为已学过的平角180°、周角360°、三角形内角和180°、2条平行线截得的同旁内角互补等等．俞老师除了引导学生学习知识、掌握方法外，更让学生感受转化与化归的数学思想:有连接对角线转化为2个三角形的内角和，有内部任取一点转化为4个三角形的内角和减去1个周角，由边上取一点转化为3个三角形的内角和减去1个平角，由外部取一点转化为3个三角形的内角和减去1个三角形的内角和，由过1个顶点分别作另2条边的平行线进行等角代换转化为1个周角，由分类讨论延长2条边相交转化为1个三角形的内角和加2个平角减去1个三角形的内角和，由分类讨论过1个顶点作1条边的平行线转化为1个三角形的内角和加2对同旁内角和减去1个平角……

徐老师没有通过教材中的现实问题情境来建构二元一次方程的概念，因为概念学习之前呈现应用情境，学生根本想不到设2个未知数．于是徐老师对教材作了创造性的处理，创设学生熟悉的师生年龄问题，通过生动有趣地进行故事性的描述:徐老师从温州来宁波，今早在育才实验学校的操场突然有人叫她徐老师，经过辨认后是多年前教过的学生已大学毕业后来宁波工作，学生说道:“徐老师比教我们时老了不少，请问徐老师几岁了?”徐老师不告诉他而反问:“你几岁了?”调皮的学生说:“我也不告诉你?当时教我们时老师曾说过:老师比我大20岁?”老师笑着说:“我已知道你的年龄了!”学生也说:“我也知道老师的年龄了!”我知他知你不知，这是怎么回事呢?

接着，徐老师提问:虽然你们不知道徐老师和刚才那位学生的年龄，但知道的信息有吗?徐老师和刚才那位学生的年龄是未知量，那可如何表示，能用方程来表示你所知道的信息吗(从具体问题出发，让学生感受到2个未知量可以通过代数式形成等量关系建立方程)?所得的方程是一元一次方程吗?一元一次方程是如何定义的?方程xy=20应怎么称呼?顾名思义，二元一次方程你会定义吗?方程xy=20是二元一次方程吗?看看书本上是怎么定义的?这与我们大家所说的有何不同?(未知数的次数是1次与含有未知数的项是1次是不一样的)?经过一番认知冲突后，师生共同总结出二元一次方程的定义，有了可靠的思考工具(二元一次方程的定义)之后进一步进行一定程度的正例强化和反例识别，真正建构二元一次方程的概念．然后回归情境，你能说说徐老师为什么知道刚才那个学生的年龄?学生又怎么知道老师的年龄?你能写出二元一次方程3x+4y=24的1个解吗?你是怎么写出来的?你能写出使个解的二元一次方程吗?

拉长、细化上述过程，一方面让学生感受2个量之间的“相互作用”，认识到这个等量关系使得其中一个量确定就可以确定另一个量，领会二元一次方程的解的本质，真正理解二元一次方程的解是一组数对;另一方面引导学生理解可以用含一个未知数的代数式表示另一个代数式的目的是为了更快捷地求出一个未知数所对应的另一个未知数的取值，是突出二元一次方程的解的有效操作．这样，学生自然能对二元一次方程及其解达到质的理解与建构．

2　关于概念教学的3个感悟

2．1知识重组，构建概念自然的、水到渠成的整体意识

直角三角形是浙教版《数学》8年级上册特殊三角形中的教学内容，涉及角之间的关系和边之间的关系;函数是浙教版《数学》8年级上册认识函数中的教学内容，涉及函数的概念和表示方法等;锐角三角函数是浙教版《数学》9年级上册解直角三角形中的教学内容，既是直角三角形中边角关系的继续，也是有别于一次函数、二次函数、反比例函数的“另类”函数，但它们之间有着紧密的联系．因学生的接受能力和便于教学等诸方面的因素，数学教材对有的数学知识的呈现是不连贯的，以“点状”形式出现，因而学生获取的知识也呈“点状”的形式，它不利于学生对数学知识的理解和知识体系的建立．郑老师发现和利用知识之间的结构特点与相互关系，恰当地进行知识重组，将“点状”知识系列化，这有利于学生数学知识体系的建立和数学意识、数学能力的形成．同样四边形与三角形，二元一次方程与一元一次方程式都是不同年级不同章节独立的教学内容，但俞老师以“图形”为纽带，徐老师以“方程”为纽带，不仅“在宏观上理清思路”，而且“在微观上推敲细节”，合理地利用教材并对其进行适度地“二次开发”，让学生更好地建立“图形”、“方程”的整体观念．

2．2创设最近发展区，促使概念自然的、水到渠成的形成过程

《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出:概念教学要返璞归真，努力揭示概念的发生发展过程及其本质．因此，学生亲身经历概念的自然形成过程是概念教学的必由之路．3位特级教师的教学都体现了“理解数学”的基础上遵循知识的发生发展过程，为学生构建前后一致逻辑连贯的学习过程．徐老师参照抽象数学知识在具体现实生活中自然“孕育”的过程，通过年龄问题的故事性描述让学生感觉到引入二元一次方程的必要性和合理性，在具体与抽象的往返穿梭中，让学生认识到2个未知量的相互作用，自然化解“二元一次方程的解是一组数对，且有无数对”的认知困难，二元一次方程及其解的概念是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味．同样锐角三角函数的形成教学和四边形内角和定理的发现过程，都是引导学生分析、归纳、抽象、概括等一系列思维活动，由初步感悟到初步内化，从而获得概念．那种不经过任何铺垫就直接给出概念，不经历概念的形成过程，搞“一个定义、三项注意”的概念教学是不行的．概念教学的自然和水到渠成包括2个方面:一是知识的逻辑顺序自然;二是学生心理逻辑主要是思维过程的自然．

2．3有效互动，实现概念自然的、水到渠成的形成过程

数学课堂成为情感的课堂，可唤醒学生的学习欲望;成为互动的课堂，学生主动参与，自主学习，师生共同探讨．3位特级教师的有效提问和真诚交流，让学生多了一分灵动，让学习更为主动;多了一分活泼，让教学充满活力;更多了一分趣味和尊重，营造了一种身心解放、思维开放、个性奔放的教学场景，建构起一种互动、体验、快乐的多元课堂，让人领略“有心栽花花不开，无心插柳柳成荫”的意境，这些全凭教师的智慧运筹帷幄．如俞老师借助有效提问的推波助澜，四边形的内角和的证明你怎么想的?你是如何想到的?转化与化归成什么问题?还有哪些角是与180°，360°有联系的?不妨试一试?在四边形ABCD中，已知∠A+∠C= 180°，你能得到什么结论?要得到∠B=60°，还需添加什么条件?若∠A=∠C=90°，分别作∠ABC和∠ADC的角平分线BE，DF，则BE和DF有怎样的位置关系?如何证明呢?你能用一句话给这个问题归纳一下吗?要得到角平分线BE与DF互相平行，则至少要具备什么条件?等等．定义、性质、应用、问题串将整节课完美地串联起来，学生完全参与了整个探究过程，预设与生成相映生辉．

总之，教师应该熟悉课标，洞察教材，合理创设情境，让学生在建构中感悟，在辨析中发现，在匹配的练习中内化．只有这样，学生才能在自然的、水到渠成的概念形成过程中收获有益于一生的能力和经验．

作者简介:蔡卫兵(1976－)，男，浙江象山人，中学高级教师，研究方向:数学教育．

修订日期:*收文日期:2015-10-18;2015-11-26．

中图分类号:O12

文献标识码:A

文章编号:1003－6407(2016)04-34-03