一类Stancu型算子的逼近性质

任美英

（武夷学院数学与计算机学院，福建武夷山354300）

一类Stancu型算子的逼近性质

任美英

（武夷学院数学与计算机学院，福建武夷山354300）

通过Bernstein多项式的基函数，引进一类Stancu型算子序列，并借助于连续模研究该算子序列的一些逼近性质，得到算子列的一个Korovkin型收敛定理和收敛速度的一些估计。

Stancu型算子列；K-泛函；光滑模；逼近性质

算子逼近是逼近论的研究热点之一，有关算子序列的逼近问题已有许多的研究成果[1-5]。2012年，任美英[6]引进并研究了如下Bernstein型算子序列{Ln}n∈N：

其中f（x）是定义在[0，1]上的连续函数，x∈[0，1]，…，n-1，B（.，.）是Beta函数。

引进算子序列{Ln}n∈N的Stancu型变种，并研究该Stancu型算子序列的一些逼近性质。为此，构造Stancu型算子序列如下：

其中f（x），x，pnk（x）如上（1）中所述，β，γ是两个实参数，满足0≤β≤γ，k=1，2，…，n-1，B（.，.）是Beta函数。

为了研究的需要，首先复习几个概念。

定义1设W2=｛g∈C[0，1]:g'，g"∈C[0，1]｝,对f∈C [0，1]和δ>0，Peetre K-泛函定义为

定义2对f∈C[0，1]和δ>0，f的连续模定义为，的二阶光滑模定义为

从文献[7]可知

其中C是一个正常数。

定理1∀f（x）∈C[0，1]，n∈N，x∈[0，1]，及0≤β≤ γ，有上一致成立。

定理2∀f（x）∈C[0，1]，n∈N，x∈[0，1]，及0≤β≤γ，有

推论1若f（x）∈LipMa，M>0,0

定理3∀f（x）∈C[0，1]，n∈N，x∈[0，1]，及0≤β≤其中C是一个正常数，δn如定理2中所述。

注：本文中常数C与f，n，x无关，出现的地方不同，表示的数值可能不同。

1 几个引理

为了定理的证明，有必要引入几个辅助结论。

引理1[6]对Ln（tm；x），m=0，1，2，有

引理2对（ti；x），i=0，1，2，有

引理3对∀n∈N，x∈[0，1]，及0≤β≤γ，有

证明：(i)由引理2可得，

(ii)由引理2可知，对x∈[0，1]，及0≤β≤γ，有

引理4∀f（x）∈C[0，1]，n∈N，x∈[0，1]，及0≤β≤

证明：对∀f（x）∈C[0，1]，n∈N，x∈[0，1]，及0≤β≤γ，由(2)式和引理2可得

2 定理的证明

定理1的证明：由引理2知，对,ei（t）=ti，i=0，1，2有因此,由Korovkin定理([8, Theorem 4.2.4])可得，对∀f（x）∈C[0，1]，有在区间[0，1]上一致成立，定理证毕。

定理2的证明：由引理2知，

推论1的证明：让f（x）∈LipMa，其中M>0,0

定理3的证明：对f（x）∈C[0，1]，n∈N，x∈[0，1]，及0≤β≤γ,定义

对上式右边关于g∈W2取下确界，由定义1可得

[1]Erençin A.Durrmeyer type modification of generalized Baskakov operators［J］.Appl.Math.Comput.,2011,218(8): 4384-4390.

[2]Verma D K,Agrawal P N.Convergence in simultaneous approximation for Srivastava-Gupta operators［J］.Math.Sci., 2012,6(1):1-8.

[3]Vinti G，Zampogni L.Approximation results for a general class of Kantorovich type operators［J］.Adv.Nonlinear Stud., 2014,14(4):991-1011.

[4]Ren M Y,Zeng X M.Exact orders in simultaneous approximation by complex q-Durrmeyer type operators［J］.J.Comput.Anal.Appl.,2014,16(5):895-905.

[5]Ren M Y,Zeng X M.Approximation of a kind of new type Bézier operators［J］.J.Inequal.Appl.,2015(412):1-10.

[6]任美英.一类Bernstein型算子的逼近性质［J］.武夷学院学报，2012，31（2）：1-4.

[7]Devore R A,Lorentz G G.Constructive Approximation[M]. Berlin：Springer,1993.

[8]Altomare F，Campiti M.Korovkin-Type Approximation Theory and Its Applications(De Gruyter Studies in Mathematics 17) [M].Berlin New York:Walter de Gruyter,1994.

（责任编辑：叶丽娜）

Approximation Properties of a Kind of Stancu Type Operators

REN Meiying
（School of Mathematics and Computer Science,Wuyi University,Wuyishan,Fujian 354300）

In this paper,a kind of Stancu type operators is introduced through the base functions of the Bernstein polynomials.By means of the modulus of continuity,some approximate properties of the operators are studied.A convergence theorem of Korovkin type is established.Some estimations for the rate of convergence of the operators are obtained.

O174.5

A文章标号：1674-2109（2016）12-0063-03

2016-08-10

国家自然科学基金（61572020）；福建省自然科学基金（2014J01021）。

任美英（1965-），女，汉族，教授，主要从事函数逼近论的研究。

Key woods:stancu type operators;K-functional;smoothness modulus;approximation properties