以数学建模竞赛为依托，促进概率论与数理统计课程教学改革

于梅菊，袁 华，丛玉华，张 璇

(通化师范学院 数学学院，吉林 通化 134002)



以数学建模竞赛为依托，促进概率论与数理统计课程教学改革

于梅菊，袁 华，丛玉华，张 璇

(通化师范学院 数学学院，吉林 通化 134002)

文中深入剖析了数学建模竞赛在应用型人才培养中的作用,结合丰富的教学实例,提出了以数学建模竞赛为依托,促进概率论与数理统计实践教学改革的几点思考.

数学建模竞赛;概率论与数理统计;教学改革

概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科,是数学与应用数学专业的一门必修课程，它的理论与方法已被广泛地应用于工业、农业、医药、金融、军事等领域．

随着互联网的发展和大数据时代的到来，统计工作在社会经济发展领域中的地位和作用日益凸显．概率和统计知识已经成为现代公民的一项必备常识．在统计方法被广泛推崇的热潮下，近年来大学生数学建模竞赛中涉及概率统计的实际问题也不断出现，如何以大学生数学建模竞赛为依托，促进概率论与数理统计课程的教学改革，真正实现“以竞赛促进教学，以教学带动竞赛”的双重目标，让概率论与数理统计成为一门学生乐学、主动学的课程，是亟待解决的问题．

1 以建模竞赛为依托，推动概率论与数理统计教学的改革

目前我国正处于经济转型升级发展阶段，社会急需大量具有创新能力的应用型人才, 大学的教育必须以社会需求为导向，以应用型专业教育为基础, 在教学内容、教学方法及教学理念上多样化的选择势在必行．大学生数学建模竞赛活动的开放性, 使得教师在教学内容和教学方法的选择上具有足够灵活的空间, 这恰恰可以实现教学模式的创新．以大学生数学建模竞赛为依托，概率论与数理统计课程的教学改革需要打破传统以理论讲解和逻辑推理为主的教学模式，教学过程中应当合理融入数学建模的思想和案例，增加案例教学、课堂讨论教学、上机操作等教学环节，这不但可以开阔学生视野, 调动学生的学习积极性, 而且对学生的创造性思维和应用能力的培养也大有益处．

1.1 合理渗透数学建模的思想，树立学生应用数学的意识

在概率论与数理统计教学中，通过引入合适的实际问题，渗透数学建模的思想方法，引导学生利用所学的知识，建立数学模型来解决实际问题，给出解决方案，这不但加深了学生对所学的概率统计知识的理解，而且在概率统计知识与实际应用之间搭建起了桥梁，有效树立了学生应用数学的意识[1-2]．例如在学习了概率的乘法公式之后，可以引导学生思考《儒林外史》第三回中，范进晚年中举的概率究竟有多大？如果设范进每次乡试考中的概率为0.3，令Ai表示第i次乡试未考中，则他连考十次都不中的概率为

P(A1A2…A10)=

P(A1)P(A2/A1)…P(A10/A1A2…A9)=

(1-0.3)10≈0.0282

则范进考中的概率为97.18%．在解决这一问题的过程中，学生不但加深了对概率乘法公式的理解和记忆，另一方面这个案例也可以教育和启示学生，学习贵在持之以恒，只要坚持不懈，总有一天能够取得成功．

1.2 采用案例教学，合理融入数学建模竞赛的赛题

案例教学是以案例为基础的开放式和互动式的教学方式，通过各种信息、知识及观点的碰撞来达到启示理论和启发思维的目的．在概率论与数理统计的教学中，可以适当地采用案例教学的方式，将历年来数学建模竞赛中有关统计的赛题作为案例引入到课堂教学中，指导学生提前阅读，启发学生对现实问题进行思考与探索，组织学生展开讨论，形成反复的互动与交流，使学生在反复地分析和讨论之后不断加深对知识点的理解，拓宽自己的视野，提高分析问题和解决问题的建模能力．

案例1(概率)：2002年大学生数学建模竞赛B题“彩票中的数学”，根据“传统型”和“乐透型”两种类型的彩票方案，分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素，综合评价各彩票方案的合理性．

可以引导学生思考如何来评价一个彩票方案的合理性，主要应该从彩票公司和彩民两方面的利益出发，因为总奖金比例为销售总额的50%是确定的，则双方的利益主要取决于销售额的大小，即彩民购买彩票的数量大小，如此一来问题就转化为如何设置彩票方案才能吸引更多的彩民来购买奖券，引入一个什么样的数量指标才能衡量出彩票对彩民的吸引力．建模的初始应该先利用古典概率计算出彩民获得各奖项的概率，然后从购买一注彩票能获得的期望效用出发,利用概率论中的数学期望来描述彩民买一注彩票能获得的期望效用,用方差来衡量彩民购买彩票的风险度,根据“平均回报最大而风险度最低”的原理,确定出最优的彩票方案[3]．

案例2(统计)：2012年全国大学生数学建模竞赛A题“葡萄酒的评价”，通过对某一年份葡萄酒的相关数据分析以下四个问题：(1)分析两组评酒员的评价结果有无显著性差异,哪一组结果更可信；(2)根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对酿酒葡萄进行分类；(3)分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的关系；(4)分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响．

针对问题一可以引导学生利用t检验、F检验或是秩和检验等方法来检验两组评酒员的评价结果有无显著性差异．确定哪一组评价结果可信，应该根据哪一组的评酒员对同一酒样的评价结果差距最小而定，因此可以利用方差或是变异系数等指标来进行衡量．针对问题二可以引导学生首先对葡萄酒的各个理化指标数据进行标准化，以消除不同的理化指标的量纲对葡萄酒质量评价结果的影响，然后再利用因子分析的方法，在问题一的基础上，根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对酿酒葡萄进行分级．针对问题三可以利用主成分分析对葡萄的理化指标进行筛选和分类，再利用相关性分析的方法得到葡萄酒的理化指标是否与葡萄的理化指标相关的结论．针对问题四可以采用逐步回归分析或相关性分析等统计方法来分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响[4-5]．

由于学时有限，案例可以提前两周下发给学生，让学生有充足的时间上网搜集资料，进行研究，案例的讨论可以利用课余的时间分组进行，讨论结束后应及时安排各组展示或报告小组讨论的结果，并对展示的结果进行简要地评述，把各组的完成情况记入学生平时成绩．

数学建模竞赛赛题的引入，可以让学生提前了解大学生数学建模竞赛的流程，激发了学生参加竞赛的热情，在建模的过程中，学生通过上网查阅资料自学了主成分分析，因子分析等书本之外的统计方法，不但深化了学生的知识结构，同时也培养了学生分析问题和解决问题的能力，加强了学生在数学建模竞赛中的核心竞争力．

1.3 合理安排上机实验，培养学生应用统计软件的能力

概率统计方法在实际应用中，常常会遇到大数据处理以及大量复杂计算的问题，尤其是近几年的建模竞赛中涉及大数据处理的问题随处可见，此时单靠手工计算是没有办法得出结论的，必须依赖计算机进行处理．随着各种统计软件的发展与进步，计算机已经成为了概率统计计算中不可或缺的工具，因此在概率论与数理统计的教学中需要包含上机实验的环节，旨在介绍一些常用的统计软件的使用方法，如MATLAB、R、SPSS等，培养学生应用统计软件进行数据处理、统计分析和模拟仿真等方面的能力．为了得到更好的教学效果，上机实验的内容必须要紧跟理论教学的进度，从而实现上机实验与理论教学的有效结合．在上机实验的最后阶段，可以将2012年全国大学生数学建模竞赛A题“葡萄酒的评价”作为案例来强调利用统计软件进行数据处理和统计分析的重要性[6]．

1.4 开展社会调查，培养学生应用统计的能力

大学生数学建模竞赛的赛题大都来自于实际问题，涉及社会生活的方方面面，然而有很多问题的实际背景学生却不甚了解，往往给数学建模带来了很大的困难或误区．为了拓宽学生的知识面，锻炼学生应用概率统计的能力，在平时的教学过程中，除了要渗透建模的案例之外，还要有意识地组织学生开展丰富多彩的社会调查活动，指导学生收集所在地区的教育、经济、金融及管理等方面的数据，运用概率统计的知识，建立相应的概率统计模型，利用统计软件进行分析与预测，形成一篇小论文，将概率统计的思想方法真正应用到实践中去，这才是概率统计教学的最终目的．例如可以利用假设检验的方法解决产品的抽样调查问题，药厂新研制的药品能否在临床上使用的问题等．

2 教学改革中应注意的问题

概率论与数理统计教学改革的目标是从培养学生的实践创新能力出发，以数学建模竞赛为依托，以概率统计建模为辅助工具，充分调动学生学习的积极性，提升课堂教学效果．如果前期对教学改革的定位不准确，在具体实施教改的过程中，很容易出现与改革目标不一致甚至相反的教学效果，例如对建模案例的选择不够典型，针对性不够强；过多的引入建模案例，占用太多理论教学学时；课程中融入数学建模的形式比较单一，缺乏灵活性；上机实验课的内容比较单一，对学生实践能力的培养不足等．为了避免这些现象的发生，需要着重把握以下几个方面的问题．

2.1 紧扣教学内容，强化实际应用

不是所有的教学内容都适合引入数学建模的思想和案例， 数学建模思想的引入应该紧扣教学内容，把理论知识与应用联系起来.为了突出主题，避免过多的占用教学学时，必须要精选数学建模的实例，实例要尽可能具有代表性，并且要简明易懂，能够充分引起学生探索的兴趣．

2.2 摆脱学时限制，丰富融入手段

虽然课程的教学学时有限，但任课教师可以采取多种方式摆脱学时的限制，丰富融入数学建模的手段，例如举办讲座、开展专题讨论、鼓励学生参加建模竞赛等，更理想的方式是与上机实验环节相结合，通过具体的案例，培养学生利用概率统计方法分析问题和解决实际问题的能力．

2.3 精准目标定位，注重能力培养

引入上机实验的目的是利用统计软件提高概率论与数理统计课程的教学质量，对理论教学起到辅助作用，培养学生利用统计软件分析和解决问题的能力，而不是通过该课程的教学去提高学生的计算机水平，切不能把该课程的教学课上成计算机课．

2.4 加强质量监控，及时进行调整

教学质量监控是保证教学改革能够顺利进行的有效手段，任课教师作为教学质量监控的实施者和组织者，应该更加深入学生，通过课堂提问、课堂练习和批改作业等方式，及时了解学生对教学内容的掌握情况．要定期收集和整理学生对教学过程的反馈意见，及时地解决教学改革中存在的问题，调整教学改革的方案，把握教学改革的方向．

综上所述,大学生数学建模竞赛以应用数学为突破口，以建模竞赛为推动力，为概率论与数理统计的教学改革提供了新的切入点，为探索实践应用型人才培养模式开辟了新的思路．以数学建模竞赛为依托，将数学建模的思想合理融入概率论与数理统计的教学，只要实现理论课程、上机实验、学生社会实践以及第二课堂有机地融合，概率论与数理统计课程就会在实践性应用型人才培养方面发挥更大的作用．

[1]侯嫚丹.数学建模思想融入概率论与数理统计的研究[J].高师理科学刊,2013(3):76-79.

[2]都琳.数学建模思想融入《概率论与数理统计》的教学改革[J].教育教学论坛,2015(13):110-111.

[3]韩中庚.“彩票中的数学”问题的优化模型与评述[J].工程数学学报, 2003(5):107-116.

[4]张杰,马士达.基于主成分分析的红葡萄酒评价方法研究[J].东北电力大学学报,2013(6):41-44.

[5]陈锦.基于统计学的葡萄酒评价数学模型[J].盐城工学院学报,2014(1):18-21.

[6]马淑兰.概率论与数理统计课程教学中引入数学实验的尝试和思考[J].内江师范学院学报,2013(10):83-86.

(责任编辑:陈衍峰)

2016-04-12

吉林省教育科学规划项目“地方高校转型趋势下概率论与数理统计课程教学改革探索与实践”(GH14398)；通化师范学院高等教育教学改革研究课题立项“以数学建模竞赛为依托，促进概率论与数理统计课程实践性应用型教学改革研究”

于梅菊,女,吉林集安人,博士,讲师.

G642.0

A

1008-7974(2016)05-0060-03

10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.10.020