固定分区下随机需求IRP问题最优策略及算法①

赵 达, 李 军, 马丹祥, 李妍峰

(1. 海南大学经济与管理学院, 海口 570228; 2. 华南理工大学工商管理学院, 广州 510641; 3. 西南交通大学经济管理学院, 成都 610031; 4. 华北理工大学建筑工程学院, 唐山 063009)



固定分区下随机需求IRP问题最优策略及算法①

赵 达1, 2, 李 军3, 马丹祥4, 李妍峰3

(1. 海南大学经济与管理学院, 海口 570228; 2. 华南理工大学工商管理学院, 广州 510641; 3. 西南交通大学经济管理学院, 成都 610031; 4. 华北理工大学建筑工程学院, 唐山 063009)

随机需求库存-路径问题(stochastic demand inventory routing problem, SDIRP)是典型的NP难题，考虑随机需求环境下供应链中库存与配送问题的协调优化，是实施供应商管理库存策略的关键所在.文章的研究基于固定分区策略(fixed partition policy，FPP)，在FPP下客户被分为若干个服务区域，在同一区域中的所有客户均被同时配送.根据分区策略对配送以及库存成本的影响提出了基于修正C-W节约算法的客户分区算法，证明了各区域的最优库存策略为(s,S)形式，分区内各客户的库存策略为order-up-to形式，进而设计了求解FPP下SDIRP最优策略的算法.最后，通过数值算例验证了该算法的有效性以及FPP的适用性.

随机需求库存-路径问题； 固定分区策略； (s,S)策略； order-up-to策略； 修正C-W节约算法

0 引 言

通常意义下库存-路径问题(inventory routing problem, IRP)是指在供应商管理库存(vendor managed inventory, VMI)模式下，在无限(较长)计划期内，由1个供应商(配送中心)向多个客户提供补货配送服务，在满足一定约束条件(客户库存能力、配送车辆数量及能力等)时，确定各决策阶段的库存策略，即配送对象及其配送数量，以及相应的配送策略，即配送路径，使系统平均(折扣)运行成本，包括：库存持有成本、缺货损成本、配送成本等最小[1]，其实质就是研究库存补充和配送之间的协调问题[2].由此可见，有效解决IRP是实施VMI，削弱牛鞭效应、降低供应链运行成本的关键所在.同时，IRP还是典型的NP-hard问题[3]，在客户数量较多、需求不确定的情况下求解难度更大.因此，对于IRP的研究具有很强的现实意义和理论价值.

由于IRP的复杂性，使其最优策略的求解十分困难，即使最优策略存在往往也十分复杂，不具备稳定的配送间隔、路线或配送数量，导致其实施难度较大[4-5]，而随机需求IRP(stochastic demand inventory routing problem, SDIRP)的最优策略更是只在一些特殊情形下存在.因此，研究更有实施效率的近优平稳策略*所谓平稳策略是指策略的形式、参数不随决策阶段、历史以及当前状态等因素的变化而改变的一类策略[6].具有重要的实际意义.在对确定需求IRP的研究中，很多学者提出了一类基于固定分区策略(fixed partition policy, FPP)的平稳策略，在FPP下把客户划分为若干个服务区域，不同区域中的客户相互独立地接受配送中心的服务，且同一区域中所有客户均由同一车辆提供配送服务，即当区域中存在需要配送的客户时，配送车辆则同时服务该区域中的所有客户[4-5，7-11].采用FPP后各客户分区之间的决策相互独立，因此，IRP可根据分区情况被分解为若干个相互独立的子问题进行处理，从而有效地降低了求解的难度，同时也增加了优化策略的可实施性.

在现有的相关文献中，Anily和Federgruen[4]研究了客户需求可分割条件下基于分区策略的确定需求IRP，即先将客户按照标准的需求单位分为若干个需求点，而后再将需求点进行分区的策略.文章给出了在上述策略下IRP成本的上、下界，证明了该上、下界具有渐进优化性，并以此为基础设计了相应的求解算法.文献[4]是IRP研究领域较早引入分区思想的文献，其中考虑的分区策略将客户分为多个需求点，但上述处理方式使得1个客户由多辆车提供服务，既提高了实际操作的难度也增加了运作管理的成本.Bramel和Simchi-Levi[7]以及Chan等[8]改进了文献[4]中分区策略的不足，要求客户只能属于唯一分区，即FPP策略，在此基础上将客户的分区问题转化为求解较为成熟的约束集线器选址问题(capacitated concentrator location problem, CCLP)，而后通过最近邻插入法确定不同区域内的路径安排，从而得到确定需求IRP的解，并且证明了上述结果在一定条件下具有渐进优化性.此外，Anily和Bramel[5]给出了FPP下确定需求IRP的98.5%有效的成本下界，从而为评估不同FPP对IRP的优化效果提供了依据.

在近期研究中，Zhao等[9-10]分别考虑了同时采用FPP以及二次幂库存策略的2层(配送中心和客户)以及3层(外部供应商、配送中心和客户)供应链系统中的确定需求IRP，并分别提出了对应的表搜索以及可变大规模邻域搜索算法.Li等[11]考虑了允许外部供应商直接对客户进行配送服务的3层供应链确定需求IRP，基于FPP将上述问题分解为外部供应商对客户、配送中心对客户以及外部供应商对配送中心进行服务3个子问题，并设计了相应的遗传算法对其进行求解.Michel和Vanderbeck[12]采用列生成技术在战术层面上求解了FPP下确定需求的拣货型IRP.通过上述分析，不难看出现有文献着重对于FPP有效性以及FPP下不同结构IRP的优化算法这两类问题进行了研究.但上述研究均是在客户需求确定的假设下进行的，而将FPP应用到解决更贴近实际的SDIRP，并讨论其最优策略形式的文献却十分罕见.但是，FPP可以有效降低优化策略求解难度和实施难度[13]的特点对于SDIRP更具意义.因此，FPP下SDIRP的相关研究具有很强的理论和现实必要性.

与确定需求IRP的两阶段求解过程不同，本文将FPP下SDIRP的求解过程分为3个阶段，除了客户分区阶段以及路线安排阶段之外[4-5，7-12]，由于客户所面对需求的随机性，还需加入确定客户库存策略阶段.与文献[7]、文献[8]将客户分区问题转化为CCLP加以解决的方法不同，本文首先根据客户需求随机的特性以及分区对配送及库存成本的影响，提出了基于修正C-W法的客户分区算法；证明了各分区的最优库存策略为(s,S)形式，分区内各客户的最优库存策略为order-up-to形式，并设计了相应的最优策略求解算法；进而通过求解旅行商问题(traveling salesman problem, TSP)以确定各分区的配送路径.最后，通过数值算例验证了上述算法的有效性，并讨论了FPP在求解SDIRP中的适用性以及不同分区方法对算法的影响.

1 问题描述

1.1 问题的基本描述

考虑一个采用VMI库存管理模式的物流系统，1个配送中心为n个已知地理位置的客户提供某种产品，令:N={1,2,…,n}表示客户集合；dij(i,j∈N∩{0})表示客户i到客户j的最短距离，其中0表示配送中心，并假设不考虑配送中心的供应能力限制及其相应的库存成本[1-5，7-8，12].客户每天面对的需求量为一组稳定的独立同分布随机变量ui(i∈N)，其密度函数为fi(·)；同时，每个客户的最大库存容量为Ci，且假设车辆的配送能力CV至少可以满足1个客户的需求.配送中心首先基于FPP对客户进行分区，并在每阶段(每天)市场需求到达之前，根据客户的历史需求数据及库存信息对各分区中的客户进行服务.

1.2 问题的成本结构

上述物流系统中每阶段的运行成本包括：配送成本、库存持有成本以及由于客户需求随机而引起的缺货损失成本.其中，由于配送中的固定成本，如：车辆购置成本、人员工资等均属于沉没成本，因此本文中的配送成本仅考虑与行驶距离有关的可变成本，并假设该可变成本是车辆行驶距离的线性函数，直接用车辆行驶距离表示；同时，假设客户每天的库存持有成本与客户当天的剩余库存量成正比，如客户i的单位持有成本为hi，其配送前的库存水平为xi，且当天到达的配送量为qi，则该客户库存持有成本为hi(max{yi-ui,0})，其中yi=xi+qi；最后，假设缺货损失成本与缺货量成正比，如客户i的单位缺货损失成本为pi则其缺货损失成本为pi(max{ui-yi,0}).此外，由于该系统处于VMI库存管理模式下，并不存在客户的订货成本.因此，令函数Gi(yi)表示当客户i的库存水平为xi，配送量为qi时，其单阶段的期望库存成本(持有成本与缺货损失成本之和)，则

(1)

其中为了贴近实际，假设客户的基本参数均可保证无限量订货或者无限量缺货策略是策略集中的绝对劣势策略，即参数pi,hi的关系为0

2 确定客户分区

根据文献[4]、文献[7]以及文献[8]，即使在客户需求确定条件下，求解客户最优分区也是一个NP-hard问题，文献[7]、文献[8]中将该问题转化为另一类较为成熟的组合优化问题CCLP，通过对其进行求解从而确定客户分区方案，但在上述方法中由于客户需求已知，其仅以客户的地理位置作为分区的主要依据，并没有考虑不同分区方案对于客户库存的影响，而在随机需求环境下，上述两个因素的作用均不能忽略，因此本文同时考虑分区对库存以及配送成本的影响，提出了修正的C-W节约算法，在保证对路径进行优化的前提下，将分区对于库存成本的影响也加入其中.

2.1 修正的C-W节约算法

经典的C-W节约法不但可以对配送路径进行优化，同时也将配送对象进行了分区.该算法的核心在于提出了节约值Sij概念.根据文献[14]，在经典的节约值定义中只考虑了不同的配送(分区)方式对于配送成本的影响，然而在基于FPP的SDIRP中配送(分区)方式不仅对客户的配送成本同时也会对其库存成本产生影响，因此有必要对节约值进行重新定义.

图1 a) 直接配送的情况

图1 b) 共同配送的情况

(2)

由于SDIRPDD特殊的配送方式，使得此类问题的配送策略已经确定且各客户的配送成本退化为常量，此时该问题最优策略的形式完全由客户的库存策略形式决定.同时，在没有车辆数约束的条件下该问题中每个客户之间的决策是相互独立的，因此可以将该问题以客户为单位分为n个独立的子问题，并给出如下引理：

引理 在不考虑配送车辆数和客户库存容量约束的条件下，SDIRPDD子问题与有订货成本的无限阶段随机需求库存问题*无限阶段随机需求库存问题是一类经典问题，从Scarf 1960年开始包括Federgruen[15]、Zheng[16]等众多学者对该问题最优策略的形式及其算法进行了研究，其中文献[16]给出的算法更被认为是求解此类问题的标准算法.等价，最优策略形式均为(si,Si),(i=1,2,…,n)结构，且SDIRPDD最优策略由上述子问题最优策略构成，其形式为{(s1,S1),(s2,S2),…,(si,Si),…,(sn,Sn)}*引理的证明详见文献[17]..

(3)

其中η表示客户在1个库存周期内可能的需求量；更新方程Mi(·)、mi(·)的表达式为

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

其中式(3)、式(7)以及式(8)中各客户相应的最优s、S参数值均可通过文献[16]中的算法得到.

3 确定最优库存策略

客户分区确定后，在确定需求IRP中各客户每阶段需要的配送量也随即确定[5-7，12]，但由于SDIRP中客户需求的随机性使得确定各客户在不同阶段中的配送量也十分困难.因此，确定每个客户的库存策略就成为解决SDIRP的关键.此外，由于使用FPP，使得每个分区的库存策略成为确定独立客户库存策略的基础，因此，本文首先对FPP下SDIRP中各分区的最优库存策略进行讨论.

3.1 分区的最优库存策略

根据引理以及FPP下SDIRP各客户分区的库存最优平稳策略与SDIRPDD最优策略之间的对应关系，不难给出如下命题：

3.2 客户的最优库存策略

(9)

此时，通过求解如下的非线性规划问题即可确定在分区Sr中各客户的最优配送量

(10)

(11)

采用拉格朗日松弛法求解上述规划，令

(12)

整理得到

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

同理，将式(18)代入约束(11)得到如下关于λSr的非线性方程

(19)

(20)

根据式(17)～式(20)即可确定任一分区内任意客户的最优库存策略.

4 基于FPP的SDIRP最优策略及其算法

根据命题1、命题2，可以给出基于FPP对客户进行分区后，SDIRP问题的最优策略结构如下.

根据上述对FPP下SDIRP问题最优策略形式的分析，以及本文2、3节对于客户分区算法以及客户最优库存策略的讨论，可以得到求解FPP下SDIRP最优策略的启发式算法，基本步骤如下：

步骤0 令指标变量α=0；

步骤1 对于∀j∈N，为了保证得到的分区中客户的配送总量在任意决策阶段均满足配送车辆的容量限制，令客户的配送量qj为其配送量的上限，即qj=Cj，并采用修正的C-W节约算法对客户集合进行分区，得到客户分区方案P(α)；

步骤7 如果P(α+1)≠P(α)，则令α:=α+1并转入步骤2；如果P(α+1)=P(α)，则转入步骤8；

步骤8 在分区方案P(α)下，根据文献[22]、文献[23]中的算法计算任意分区Sr的最优TSP路径，算法终止.

5 算例分析

本文中由于客户需求量相对于车辆配送能力而言较小，根据文献[24]的相关结论，此时客户需求假设服从Poisson分布较为合理，其中Poisson分布的均值μ可以通过客户需求的到达强度和每个需求的平均需求量得到.因此，本文随机生成了10个需求服从Poisson分布的客户需求信息以及每个客户的地理位置信息(见表1、表2)，同时，假设车辆的配送能力CV为40.

表1 客户基础信息

表2 客户地理位置信息

5.1 虚拟客户参数的估计

命题4 在分区Sr中客户i(i∈Sr)的需求均值μi占虚拟客户r的需求均值μSr的比例越大，其单位库存持有成本hi(单位缺货损失成本pi)在虚拟客户r的相应单位成本中所占的比例则越小(大).

(21)

同时，如采用分区Sr中各客户的单位库存hi(i∈Sr)进行计算，则其表达式为

(22)

通过式(21)、式(22)不难得到，虚拟客户r的单位库存持有成本hSr的表达式为

(23)

(24)

此时，令虚拟客户r的需求uSr固定，客户i的需求ui变大，即均值μi变大；不难发现，式(24)中分母不变，分子减小，即客户i的需求均值μi占虚拟客户r的需求均值μSr的比例越大，其单位库存持有成本hi在虚拟客户r的相应单位成本hSr中所占的比例越小.

同理，可以得到虚拟客户r的单位缺货损失成本pSr的表达式为

(25)

(26)

此时，若固定虚拟客户r的需求uSr，加大客户i的需求ui.不难发现，式(26)中的分母不变，分子增大，即客户i的需求均值μi占虚拟客户r的需求均值μSr的比例增大，其单位缺货损失成本pi在虚拟客户r的相应单位成本pSr中所占的比例也增大，命题得证.

为了验证通过上述方式给出的虚拟客户相关参数估计方法的效果，将上述方法与简单平均法进行比较，采用文中算法计算FPP下SDIRP的优化策略并进行模拟得到系统运行1年后的日平均成本，具体策略及相应成本如表3所示.

表3 参数估计方法对算法的影响

根据表3不难发现，参数估计方法对于得到的优化策略具有一定影响，在本例中虽然采用不同参数估计方法得到的客户分区没有变化，但由于最优策略不同使得系统平均成本变化在4.5%左右；同时，采用本文方法进行估计时得到的平均成本更低，在一定程度上说明了该方法的有效性.因此，在后续的算例中均以此方法作为基础进行讨论.

5.2 算法有效性分析

首先，为了说明文中客户分区算法的有效性，将本文提出的基于修正C-W节约法的客户分区算法与文献[7]、文献[8]中采用的CCLP方法进行比较.其中，采用CCLP方法对客户进行分区后，仍按照本文中的结论计算SDIRP的最优策略.同时，将通过上述两种分区算法得到的SDIRP最优策略进行模拟，得到系统运行1年后的日平均成本，如表4所示.

表4 不同分区算法的比较

通过表4不难发现，采用修正C-W节约算法进行客户分区后得到的系统日平均运行成本比CCLP方法降低了5.9%，从而验证了CCLP用于随机需求客户分区时没有考虑库存因素的理论局限性，同时也说明了本文提出的客户分区算法在上述方面的改进.

此外，虽然FPP在解决确定需求IRP时被广泛使用，但该策略在解决SDIRP时的有效性却没有相关的研究，因此有必要对FPP应用在SDIRP上的效果进行验证.为了对FPP以及文中最优策略的有效性进行分析，将本文的求解算法与使用均值确定化处理后根据文献[7]得到的FPP下SDIRP的求解算法以及文献[3]中基于马尔可夫决策过程(Markov decision process, MDP)的启发式算法进行比较.根据表1、表2中的数据，分别采用上述3种算法得到SDIRP的优化策略并进行模拟，得到系统运行1年后的日平均成本，如表5所示.

表5 FPP以及算法有效性比较

根据表5可知，通过本文算法得到的FPP下SDIRP的最优策略与通过同样采用FPP的文献[7]得到的同一问题的策略相比，在基本相同的运算成本下系统平均运行成本降低了20.3%；说明本文给出的最优策略及其算法，与同样采用FPP的文献相比具有明显的优越性；此外，与通过文献[3]中算法得到的不采用FPP时同一问题的策略相比，系统平均运行成本提高6.8%.但如果以相同计算环境下模拟系统平均运行成本所用的CPU时间衡量两种策略的实施和管理成本，则采用FPP后该项成本显著降低了78.49%.此外，采用FPP后SDIRP的最优策略属于平稳策略类，且文中算法的计算复杂性并不会随客户规模的增加而显著变化；但文献[3]中采用MDP模型得到的配送策略并不稳定，且其计算复杂性对客户规模、客户的库存容量等数据十分敏感，当系统中的客户数量以及客户库存容量较大时其算法将很难实现.因此，实际SDIRP中FPP的使用可以有效地增加算法的适用范围，同时保证在满意的运行成本前提下，显著降低策略的相关实施、管理成本.

6 结束语

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Optimal strategy and algorithm of stochastic demand inventory routing problem under fixed partition policy

ZHAODa1, 2,LIJun3,MADan-xiang4,LIYan-feng3

1. School of Economics and Management, Hainan University, Haikou 570228, China;2. School of Business Administration, South China University of Technology, Guangzhou 510641, China;3. School of Economics and Management, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China;4. College of Civil and Architectural Engineering, North China University of Science and Technology, Tangshan 063009, China

The stochastic demand inventory routing problem (SDIRP) is a typical NP-hard problem. It is alsothe key to implementing vendor managed inventory (VMI) strategy, that is, to coordinate the inventory problem and distribution problem in a stochastic demand environment. This paper studies the SDIRP based on the Fixed Partition Policy (FPP). Under this policy, customers are partitioned according to the service regions they are in, and customers who are in the same service region are served simultaneously. In this paper, a modified C-W saving algorithm is designed to partition customers, taking into account the impact of partition policy on inventory costs and distribution costs. It is shown that the optimal inventory policy for individual service region is a (s,S) policy, whereas the inventory policy for customers in each service region is an order-up-to policy. Furthermore, this paper proposes an algorithm to solve SDIRP based on FPP. Finally, a numerical example is presented to confirm the efficiency and applicability of the proposed algorithm.

SDIRP; FPP; (s,S) policy; order-up-to policy; modified C-W saving algorithm

2012-08-09；

2016-08-10.

国家自然科学基金资助项目(71361006； 71271178； 71131003)； 中西部综合能力提升计划资助项目(海南大学， ZXBJH-XK022)； 中国博士后科学基金资助项目(2014M552205)； 教育部人文社会科学研究一般资助项目(12YJA630057)； 海南省自然科学基金资助项目(714257； 20157263).

赵 达(1980—)， 男， 河北易县人， 博士， 副教授， 硕士生导师. Email： zhaoda2002@vip.sina.com

F253.4

A

1007-9807(2016)12-0025-11