一类复合函数问题的图象解题法及启示

内蒙古师范大学附属中学

张 生 苏 猛 (邮编：611731)



一类复合函数问题的图象解题法及启示

内蒙古师范大学附属中学

张 生 苏 猛 (邮编：611731)

形如y=f[f(x)]的复合函数相关问题，在近几年的高考中屡见不鲜，(如2006年湖北理科、2009年福建理科第10题、2012年江苏理科第18题、2013年安徽理科第10题、2014年浙江理科第15题、2015年山东理科第10题等)，常以压轴选择题或填空题的形式考查，相关资料对该类问题的解答通常为分类讨论，过程繁杂且不易于学生接受，更谈不上举一反三、触类旁通了.那么，如何获得解决该类问题的简洁而又通用的方法呢？经过对比研究，笔者从复合函数角度出发，利用换元思想，给出解决此类问题的一种通用图象解法(针对易画函数图象的问题).

为了解决上述问题，我们可以先研究以下几个问题，为解题思路做必要的铺垫，以便更好地理解.

1 预设问题

问题1 函数y=f(x)(x∈R)和y=f(t)(t∈R)是不是同一函数？

设计意图 理解成为同一函数的两个基本要求：对应关系与定义域，而与自变量的表现形式无关.

问题2 能在同一坐标系中画两个函数图象吗？

设计意图 由于自变量表现形式不同，故可引导学生从不同的坐标系(分别在直角坐标系xOy和直角坐标系tOy中画图)中画函数图象，且图象应保持一致，为引例的解决做好铺垫.

问题3 函数y=f(t)和t=f(x)是不是同一函数，在不同直角坐标系下的图象是否一致？

设计意图 强化对同一函数要求的理解，应分情况讨论.另外，为将复合函数y=f[f(x)]利用换元思想写成函数y=f(t)和函数t=f(x)做准备.

2 图解引例

通过换元，借助函数y=f(t)和y=2t的图象可解决分解问题1(图1)：

图1

图2

由图1知，满足f(t)=2t的t的取值范围是t≥1,而t的取值范围与a的取值范围又有关联，即f(a)≥1.借助函数t=f(a)的图象解决分解问题2(图2)：

综上，我们可归纳出解决该类问题的一般性方法：

(1)先进行换元，将复合函数y=f[f(x)]利用换元思想写成两个函数y=f(t)和t=f(x);

(2)分别在直角坐标系tOy和直角坐标系xOt中画出函数y=f(t)和t=f(x)的图象.这里需要说明的是，一般情况下，两幅函数图象应该不一致，只有当自变量t与自变量x的取值范围相同时，图象保持一致.但在具体作图中，未考虑自变量t与自变量x的取值范围，将两幅图画得完全一致，也不影响解题，请读者自行研究其原理.

(3)在直角坐标系tOy中，借助函数y=f(t)的图象求出t的范围(分解问题1)，再在直角坐标系xOt中，利用函数t=f(x)的图象求出x的范围(分解问题2).

以上解法很好地回避了分类讨论过程，将整个解题过程以图形方式直观地呈现出来，易于学生理解与接受，同时注重了函数教学中需强化的数形结合思想.

3 变式与拓展

在解题教学中，应注重高效、通透的原则，可以设置有价值的问题串进行加深与拓展，从而提高教学质量，保证教学效果.

针对引例，我们可以设置如下问题：

设计意图 抓住问题实质，加深对解题方法的理解.

设计意图 将函数改为非单调函数，换元时应注意新变量的范围.

满足f{f[f(a)]}>2的a的取值范围是______.

设计意图 进行必要的拓展训练，深化解题方法的应用.鼓励学生勇于探究，敢于追问.

4 启示与感悟

如何提高学生的解题能力？如何培养学生的探究能力？应从解题策略的研究与指导开始，鼓励学生钻研问题，从根本上理解、吃透，方能达到举一反三、触类旁通之功效.同时，应重视培养学生养成良好的解题习惯，认真审题就是重要的好习惯.通过认真审题来搞清：条件有哪些，目标是什么，如何从条件出发达到目标，可以采用什么样的数学思想方法及技巧，解后反思、收获有哪些等，鼓励学生多从优化解题过程方面进行深入研究，以达到“做一题，通一类，带一片”的高效解题效应.

2016-09-12)