胸中有图大有裨益

□郭倩王锋

胸中有图大有裨益

□郭倩王锋

课本中的许多例习题中，常常隐含着解决问题的数学模型，在平时解题过程中，我们如果善于去发现挖掘、归纳提炼出这些模型，并加以应用，可以大大缩短我们的思维过程，快速找到解决问题的突破口.

课本习题：（人教版九年级数学下册36页）

如图甲，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，求证：

（1）△ACD∽△ABC；

（2）△CBD∽△ABC.

图甲

图乙

证明：略.

探索与思考：根据相似三角形的对应边成比例，由△ACD∽△ABC可得，即AC2＝AD·BA；同理由△CBD∽△ABC可得即BC2＝BD·BA.

由此我们可以发现：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形是相似的.

现在我们思考这样的一个问题：能否把上述问题进行拓广，若将“直角三角形”拓广到“一般的三角形”，线段CD满足什么条件时分割出的其中一个三角形才能与原三角形相似呢？

受课本习题探究过程的启发，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，显然如果我们过顶点C作∠ACD＝∠B，此时一定有△ACD∽△ABC，并且AC2＝AD·BA.

概括与提炼：观察△ACD与△ABC在图乙中的位置与形成的结构特点，我们可以看到它们具有如下的特征：①有一个公共角（∠A），②有一条公共边（AC）.我们不妨称这对三角形为共边共角的相似三角形.

例1（2016·襄阳）如图1①，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.

（1）求证：四边形EFDG是菱形；

（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由.

图1①

证明：（1）略.

图1②

（2）如图1②，连接ED交AF于点H.

∵四边形EFDG是菱形，

∴GE＝EF，DE⊥AF，

∵∠FEH＝∠FAE＝90°－∠EFA，

∠EFH＝∠AFE，

∴△EFH∽△AFE，

即EF2＝FH·AF，

∴EG2＝

点评：（1）略.

（2）连接DE，从图形中发现△EFH与△AFE是一对共边EF、共角∠AFE的相似三角形，得到EF2＝FG·FA，然后借助等量代换得到EG、GF、AF之间的数量关系.

例2（2016·武汉）在△ABC中，P为边AB上一点.

（1）如图2①，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；

（2）如图2②，AB＝3，AC＝2，若M为CP的中点，且∠PBM＝∠ACP，求BP的长.

图2①

图2②

证明：（1）略.

（2）取线段AP的中点N，连接MN，如图2③.

∵M为CP的中点，

∴MN∥AC，

∴∠NMP＝∠ACP.

又∠PBM＝∠ACP，

∴∠NMP＝∠NBM.

（显然△NMP与△NBM是一对共边NM和共角∠PNM的相似三角形）

∴△NMP∽△NBM，

∴NM2＝NP·NB.

设NP＝x，

则AN＝x，NB＝AB－AN＝3－x，

∴12＝x（3－x），

即x2－3x＋1＝0，

∴BP＝AB－AP

图2③

点评：当然本题（2）也可以通过证明△ACP∽△NBM来间接计算BP的长.

例3（2016·大庆）如图3，在菱形ABCD中，G是BD上的一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F、交AD于E.

求证：（1）AG=CG；

（2）CG2＝EG·FG.

图3

证明：（1）略.

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，

∴∠AFG＝∠DCG.

由（1）易证△ADG≌△CDG知

∠DAG＝∠DCG，

∴∠DAG＝∠AFG.

又∠AGE＝∠FGA，

∴△AGE∽△FGA，

即AG2＝EG·FG.

由（1）知AG＝CG，

∴CG2＝EG·FG.

点评：证明等积式，我们先把其化成比例式，然后寻找四条线段所在的两个三角形相似便可解决问题，但若给出的等积式中线段在一条直线上时，常常需要用某一相等的线段来代换其中的一条（或两条），从而发现相似的两个三角形（如本题就是将CG换成AG达到目的）.为方便记忆给出如下的口诀：遇等积，改等比，横找竖找定相似，不相似别生气，等线等比来代替.