基于非线性PID的冗余驱动机构控制

2016-01-29张壮王谦赵现朝高峰

机械制造与自动化 2015年4期

关键词：伺服电机

张壮，王谦，赵现朝，高峰

(上海交通大学机械与动力工程学院，上海 200240)

基于非线性PID的冗余驱动机构控制

张壮，王谦，赵现朝，高峰

(上海交通大学机械与动力工程学院，上海 200240)

摘要：冗余驱动机构是一个具有容错、低速输出的特殊机构。阐述了冗余驱动机构的工作原理，对该机构进行了运动学分析。在进行无刷直流伺服电机和丝杠传动机构建模后，建立了冗余驱动机构的全闭环数学模型。在介绍线性PID基础上，设计了应用于该传动机构的非线性PID控制器。对该冗余驱动机构进行了频响试验，验证了非线性PID控制器的合理可行。

关键词：冗余驱动；伺服电机；非线性PID

Redundant Drive Mechanism Control Based on Nonlinear PID Controller

ZHANG Zhuang， WANG Qian， ZHAO Xianchao，GAO Feng

(School of Mechanical Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

Abstract:The redundant drive mechanism is a special mechanism wich the fault-tolerance and stable low export. This article elaborates its working principle and does the kinematic analysis. After the brushless DC moter and the screw drive modelling, it establishes the close-loop control model of the redundant drive and based on the linear-PID, designs a nonlinear-PID, then its feasibility is proved through the frequency response test.

Keywords:redundant drive; servo motor; nonlinear PID

0引言

冗余驱动机构是指输入驱动构件数多于输出构件数的机构。由于冗余驱动机构的输入构件较多，与一般驱动机构相比，该类机构有很强的容错性和差速性。

国内外许多学者对多冗余驱动机构进行了研究。P.Choudhury和A.Ghosal研究得出通过增加冗余驱动关节和支链，可以减少并联机器人工作空间的奇异区域[1]。上海交通大学高峰教授把冗余驱动机构用到了重型操作机和地震模拟器中。

对于冗余驱动机构的控制，传统的线性PID控制效果已经远不能达到人们的要求。为了提高机构的轨迹跟踪特性，提出了各种算法。Nguyen[2]等提出了自适应PID控制算法，实现了6自由度并联机器人的高精度轨迹跟踪。合肥工业大学徐海青博士提出了基于前馈的非线性PID控制方法，取得了很好的控制效果

文中首先对冗余驱动机构进行原理介绍和机电控制系统建模，提出了非线性PID控制器设计。然后对该控制系统进行了试验，试验验证了非线性PID控制器的合理和可行。

1冗余驱动机构

如图1所示，双驱动机构是由2组丝杠、2个齿轮和2台电机组成。其中，每个丝杠螺母的内圈与丝杠形成螺旋副，丝杠螺母的外圈固联齿轮。其工作原理：当2台电机输出相同速度时，2组丝杠转速相同，齿轮无转动，滑块输出速度等效于单台电机输出效果；当2台电机输出速度不同时，2组丝杠输出速度不同，2个齿轮发生啮合转动。调节2组丝杠与螺母的转速差，实现2组丝杠与螺母转速差相同，最终实现同步输出。

图1　冗余驱动机构示意图

在冗余驱动机构中2组丝杠旋向相反，在此定义两导程P1、P2为矢量单位，左旋为正，右旋为负。由图1可知，滑块的速度和2个齿轮的轴向速度是相同的，即滑块的速度：

ν=ν1=ν2

齿轮副中的2个齿轮转速相同，即：

ω1'=ω2'

由螺旋副可知：

(1)

(2)

其中，n1、n2代表丝杠的头数。

联立式(1)和式(2)，可得：

当Z1=Z2、n1=n1=1、P1=-P2=P(符号代表方向)时，则：

由此可知，滑块的最终速度与双驱动的输出转速差成正比，这种特性有两种好处：1) 2台电机在不变向时便能改变滑块速度，且能够在每个电机稳定输出范围内实现滑块的低速输出。2)2台电机中的一个出现故障时，不会影响驱动端速度的输出，具有明显的容错性能。

2双驱动机构机电建模

2.1无刷直流伺服电机建模

无刷直流伺服电动机，其模型可由下面3个方程表达：

电枢回路电压平衡方程为：

(3)

式中，ua(t)为电枢电压，La和Ra分别为电枢电路的电感和电阻；ia为电枢电压所产生的电枢电流；Ea为电枢电势，Ea=ke×ω(t)，ke为反电势系数，ω(t)为电机转速。

电磁转矩方程为：

Mm(t)=kmia(t)

(4)

式中，Mm(t)为电枢电流产生的电磁转矩；km为电机转矩系数。

电机轴上的转矩平衡方程(忽略摩擦等因素)为：

(5)

式中，Jm为电机和负载折合到电机轴上的转动惯量。联立式(3)、式(4)和式(5)得无刷直流伺服电机模型传递函数框图如图2所示。

图2　无刷直流伺服电机数学模型传递函数框图

处理可得电机的传递函数为：

2.2丝杠传动建模[3]

当仅考虑惯性负载时，作用在电机轴的转矩满足如下动力学方程

(6)

(7)

其中：mg为螺母质量，mc为丝杠质量，p为滚珠丝杠的导程，μ为滚动导轨的摩擦系数，Ic为电机轴的转动惯量。

且有电机丝杠转速θL与丝杠螺母传动输出速度υL的关系：

则联立式(6)与式(7)整理后得：

(8)

考虑到机械传动系统扭转刚度的影响，有：

Tr=KL(θr-θL)

(9)

其中，KL为丝杠的扭转刚度。

联立式(8)和式(9)可以得出机械传动系统的方框图，如图3所示。从而可以得到机械系统的闭环传递函数为：

(10)

图3　机械传动系统控制框图

2.3双驱动机构全闭环建模

由无刷直流电机模型与丝杠传动模型联立就可以得到闭环电机丝杠传动机构的模型，如图4所示。其中，当闭环的位置反馈是由光栅尺测量得到的，所得到的模型就是位置全闭环模型。

冗余驱动机构的控制系统模型，是由2个单电机丝杠模型组合而成，如图5所示。该模型的末端实际位置Ps是由光栅尺测量而得到的。

假设冗余驱动控制模型位置环算出速度为υ，2台电机工作时的基速度为υ0，2台电机的转速分别为υ1和υ2。由冗余驱动的运动学可以知道该机构模型中的速度差分算法为：

υ1=υ0+υ

υ2=υ0-υ

图5模型中的双驱动输出滑块模块速度与2组丝杠传动模型得到的速度差成正比。

图5　冗余驱动机构控制系统方框图

3非线性PID控制器设计[4-5]

线性PID控制器的控制规律为：

其中，Kp为比例系数，Ki为积分系数，Kd为微分系数。

线性PID在对于低阶和简单模型的控制方面发挥很大作用。但是存在着系统的快速响应与超调量相矛盾的缺点，对于高阶系统和时延系统等复杂系统控制效果不佳。

要想摆脱线性PID的固有缺点，需要深入了解控制系统的本质，设计出一些典型模块来构成控制器。非线性PID控制的思想在于，当误差超过设定的阀值时，控制器的输出为非线性指数形式，以增加控制量；当误差小于设定的阀值时，控制器的输出为线性形式，以减小控制量。

先介绍跟踪-微分器，如图6所示，把参考输入v(t)送入跟踪-微分器Ⅰ，提取两个信号Z11(t)和Z12(t)，Z11(t)跟踪v(t)；把被调量y(t)送入跟踪-微分器Ⅱ，提取两个信号Z21(t)和Z22(t)，Z21(t)跟踪y(t)。

图6　非线性PID控制器框图

给出非线性PID控制器构造中需要用到的两个函数为：

根据跟踪-微分器可给出非线性PID控制器的具体形式为：

4试验结果分析

频响实验指给系统一定频率的正弦输入信号，观察系统跟随该输入的情况。频响结果能够直接反应系统的跟随特性。越高的频响特性，系统的跟随性能越好。课题中对双驱动机构进行8Hz、12Hz和15Hz的频响实验。每种频响试验又分为空载频响和负载频响试验，分别对系统采用线性PID和非线性PID控制器，观察各自的整定效果和系统跟随特性。搭建真实的双驱动机构如图7所示。

图7　冗余驱动机构实物图

4.1空载频响试验

在冗余驱动机构末端不加任何负载，给系统幅值为500 um的正弦曲线，采用线性PID和非线性PID控制器，得到的测试曲线如图8-图10所示。

图8　空载8 Hz频响图

图9　空载12 Hz频响图

图10　空载15 Hz频响图

表1是总结图8-图10中的频响结果，可以看出非线性PID的整定效果明显比线性PID的效果好。

表1　空载频响试验结果

4.2负载频响试验

给冗余驱动机构末端加上一个10kg的砝码，在这种负载情况下测试双驱动的频响试验，结果如图11-图13所示。

图11　负载8 Hz频响图

图12　负载12 Hz频响图

图13　负载15 Hz频响图

表2是总结图9-图12中的频响结果，可以看出非线性PID的整定效果明显同样比线性PID的效果好。

表2　空载频响试验结果

5结语

介绍了冗余驱动机构的工作原理，进行了机电系统建模。设计了非线性PID控制器，并通过频响试验验证了该非线性PID控制器的合理和可行性。

参考文献:

[1] Choudhury P Ghosal A.Singularity and controllability analysis of parallel manipulators and closed loop mechanisms. Mechanism and Machine Theory[J].2000,35(10):1455-1479.

[2] Charles C Nguyen,Sami S Antrazi,Zhou Zhenlei.Adaptive control of a stewart platform-based manipulator[J].J of Robotic Systems[J]. 1993,10(5):657-687.

[3] 张建政. 六维并联冗余振作台控制规划与实验关键技术研究[D]. 河北:河北工业大学，2006.

[4] 韩京清. 非线性PID控制器[J]. 自动化学报,1994,20(4):487-490.

[5] Bucklaew T P,Liu C S.A new nonlinear gain structure for PID-type controllers on robotic applications.Jounal of Robotic Systems[J]. 1999,16(11):627-649.