对中考中类比探究类题型的一点思考

薄建军

近几年中考中最后两个大题经常出现类比探究类题型，这类题目往往突出能力与发展性，侧重于对考生数学思想和数学方法的考查。针对这类题目，我认为可从以下两方面考虑。

1.执果索因即反证法。先假设结论成立，根据假设进行推理，继而进行推理与计算。

2.类比为主，探究为辅。这类题目往往多问，这些问题常常是层层深入，但解题方法又是一脉相承的。并且第一问又相对简单，所以，我们一定要把第一问做出来，这时候先抓住类比，类比共性的特征，有共性特征的都可以类比，当我们发现类比不下去的时候再去探究，看看第一问是否有其他的解题方法，如果有，第二问再按照另外的解题方法去迁移。

下面我借助一道在不同省市考卷中出现的类似题目进行说明。

（2010·无锡）（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点。若∠AMN=90°，求证：AM=MN。

下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明。

证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME。正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC.∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE。

（下面请你完成余下的证明过程）

（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由。

（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X”，请你作出猜想：当∠AMN=时，结论AM=MN仍然

成立。

分析：（1）要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN。

（2）同（1），要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后，根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN。

（3）由（1）（2）可知，∠AMN等于它所在的正多边形的一个内角，即等于时，结论AM=MN仍然成立。

但在2014年东营中考中将该题图形进行了变式，同时去掉了题干中证明两线段相等的思路，如下所示。

（2014·东营）如图3，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F。当点E是BC的中点时，有AE=EF成立。

【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其他条件不变），结论AE=EF仍然成立。

假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”“点E是线段BC延长线上的任意一点”“点E是线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在备用图1中画出图形，并进行证明。

【拓展應用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在备用图2中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC ∶ S△AEF的值。

许多学生在证明点E是BC的中点，AE=EF时采用了过F作BC垂线，设其中一条线段长，利用三角函数求出AE与EF的办法进行了证明，结果再想采用类比的办法解答下面几道题时遇到了困难，自己“掉进了自己设置的陷阱”。这也就是我所说的第二点，当发现类比不下去的时候，看看第一问是否有其他的解题方法，如果有，第二问再按照另外的解题方法进行解答。

编辑 张珍珍