函数思想在解题中的应用

摘 要：函数思想作为重要的数学思想之一，其主要是通过运用函数的性质以及概念，去转化、分析和解决问题。高中数学的主要内容就是函数，近几年来，函数也成为各省历年的高考重点。将函数思想应用于解方程、不等式、化简求值和应用试题，从而拓宽学生解题思路，促进学生解决问题能力的提升。

关键词：函数思想；解题；应用

函数思想的本质是提出数学对象，将数量特征抽象化，从而建立函数关系。高中数学教学中最值、方程和不等式等问题，都需要运用函数思想，通过使用函数思想构建中间函数，建立函数关系式，从而有效地解决数学相关问题。函数思想的应用，不仅能够起到化繁为简的作用，还可达到化难为易的目的。

一、解决方程式问题

虽然函数和方程是两个不同的数学概念，但两者间又有紧密的联系。如果函数可用解析式表达，那么表达式可看成是一个方程。如果二元方程的两个未知数的关系为对应关系，且对应关系是单值的，则可将方程看成函数。由此可见，解决方程式问题时，可运用函数思想。

例1.已知实数a，b，且满足方程lg（lg3a）=lg（2-b）+lg（b+1），求实数a的取值范围。

分析：可以把a看成是b的函数，原方程就变成函数式，从而将该问题转化成求函数的值域。

解：因为lg（3a）=（2-b）（b+1）

所以a=3（2-b）（b+1）（-1

所以b∈（1，）

例2.若关于a的方程25-| a+1|-4×5-| a+1|-x=0有实根，求x的取值范围。

分析：将方程中的变量a看成自变量，常数x作为自变量a的函数，方程就变成函数式，从而将该问题转化成求函数的值域。

解：设m=5-|a+1|，则x=m2-4m，其中m∈（0，1]

所以，x=（m-2）2-4∈[-3，0）。

二、解决不等式问题

例1.若f（a）是定义在（0，+∞）上的减函数，对一切p，q∈（0，+∞）都有f（）=f（p）-f（q），且f（4）=1.解不等式f（a+6）-f（）>2。

解：因为f（）=f（p）-f（q），且f（4）=1，

所以f（a+6）-f（）推出f（a+6）-f（）>2f（4）推出f（a2+6a）-f（4）

推出f（）>f（4）。

又由于f（a）是（0，+∞）上的减函数，因此

>0，a+6>0，<4推出a>0，a>-6，-8

所以原不等式解集为（0，2）

例2.设f（a）是定义在（-∞，3]上的减函数，已知f（m2-sina）≤

f（m+1+cos2a）对于a∈R恒成立，求实数m的取值范围。

解：原式等价于m+1+cos2a≤m2-sina≤4对a∈R恒成立，等价于m2≤3+sina，①，m2-m≥1+cos2a+sina，②，对a∈R恒成立。

令x（a）=3+sina，则①对a∈R恒成立，就等价于m2≤x（a）的最小值是2，③

令P（a）=1+cos2a+sina=-（sina-）2+≤。

则②对a∈R恒成立，等价于m2-m≤。④

由③、④可知，所有实数m的取值范围为[一，]。

三、解决化简求值问题

例1.若p，q是实数，且x>+2+，化简|1-2x|++.

解：因为f（y）++2+的定义域为{1}，

所以，x>。

所以，原式=2x-1+x+1+x+2=4x+2。

例2.已知（p+2q）5+p5+2p+2q=0，求p+q的值。

解：原方程可变为（p+2q）5+（p+2q）=-（p5+p），①

设f（x）=p5+p，那么f（x）在R上是奇函数且为增函数。

①式可变成f（p+2q）=-f（p），即f（p+2q）=f（-p）

所以，p+2q=-p，

所以，p+q=0。

四、解决应用试题

例1.在aOb平面上給以曲线b2-2a=0，设点Z坐标为（，0），求曲线上距点Z最近点W的坐标和相应距离WZ。

解：设W（a，b）为曲线上任意一点，则b2=2a（a≥0），

则WZ2=（a-）2+b2=（a+）2+.

因为a≥0

所以a=0时，WZ有最小值，此时W点坐标为（0，0）。

【总结】

通过上述几类数学问题的解答来看，函数思想在数学教学的应用十分广泛，解方程、不等式、化简求值和应用试题等均用到了函数思想，由此可见，函数思想是数学最常见也是最重要的一种思想。学生在学习过程中，要认认真真地掌握函数思想的相关知识，并能够运用函数知识解决实际问题，不断总结解题经验，提高自身解决问题的能力。

参考文献：

[1]马骥.函数思想在解题中的应用[J].教育界：基础教育研究，2015（02）：119-120.

[2]穆中华.例谈高中数学解题中函数与方程思想的运用[J].课程教育研究，2015（18）：147.

[3]丁亚萍.函数思想在高中数学解题中的应用分析[J].高中数理化，2014（24）：13.

作者简介：赵远扬，男，高中数学教师，单位：丰县广宇中英文学校。

编辑 张珍珍