创设“数学化”的教学活动

张苾菁

荷兰数学家弗赖登塔尔曾经说过：“与其说是学习数学，倒不如说学习‘数学化。”数学教师对这个理念一定非常清楚。这样的理念虽然常常能被人们理解，但若要教师用理念指导教学，并不是一件容易的事，需要下功夫好好琢磨。事实上，对理念的实践，很多情况下我们是在一种似懂非懂的状态下进行的，由于没有触及到本质，教学缺乏高位的设计，课堂整体性和连贯性不够，甚至会出现为了迎合某种时髦的形式导致教学目标偏离方向的情况。

由此，笔者认为，在小学数学教学中，要充分理解并引入“数学化”的概念。那么，何谓数学化呢？那就是人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。数学化分为两个层次，即横向数学化和纵向数学化，横向数学化包括从真实生活走进符号世界，而纵向数学化是指在符号世界中进行移动。接下来，笔者将根据教学片断来阐释教学中的“数学化”。

我们以教学“运算律”为例说明教师的教学方式，给出下图展开教学：

教学片断一：

教师：同学们，六一儿童节快到了，王阿姨准备买一些衣服作为节日礼物送给福利院的孩子们，请看图片。仔细观察，从图中我们可以知道哪些信息？要解决什么问题？根据这些信息，你会列式解答吗？

在学生独立思考之后，得出两种解题思路：

学生1：分别买5套夹克和5套裤子，再算出总价。

65 × 5 + 45 × 5

= 325 + 225

= 550（元）

学生2：先算出一套衣服的价钱，再算出总价。

（65 + 45）× 5

= 110 × 5

= 550（元）

教师：同学们请看，大家思考问题的角度不同，有的同学是先算买夹克衫和买裤子各用了多少元，还有的同学是先算买一套衣服用多少元，所以列出的算式就不同。

这样的数学活动，就是鼓励学生将知识从具体的情境中分离抽象出来，是将生活问题抽象成数学问题的过程，其实质就是让学生带着自己的知识经验，朝学科知识逐渐靠近。在教学中设置情境能够帮助学生打通从生活走向数学的通道，理解问题变得不再困难。因此，笔者认为，要让学生经历数学化的过程，首先要设置情境，注重情境的运用，通过数学的现实性来实现数学化。当学生对此问题列出不同的算式并准备解答，这就是利用数学的现实性进行横向数学化的过程，而横向数学化的主要手段就是抽象和概括。但是教学是不是就仅此而已完成了任务？学生思维又该如何向纵深发展呢？针对这一课，我们需要思考的是，对于乘法分配律这个知识点，学生理解的难点在哪里？

我们知道，对于乘法交换律和乘法结合律，由于等式左右两边的数并没有因为交换和结合而发生改变，学生理解起来难度并不大，但是对于乘法分配律来说，等号左右两边的数的个数发生了变化，由形式上的三个变成了四个，并且既有加法运算又有乘法运算，这两个变化是学生理解的难点。因此，对于“乘法分配律”这个规律的前提，即“两个数的和与一个数相乘以及两个数分别与这个数相乘”在算式中的特征的观察是非常重要的，这直接影响着能否理解规律。如果仅凭一个算式就让学生观察算式的特点显得过于单薄，教师需要变化算式的条件引起学生的注意。

教学片断二：

教师：如果还是买上衣和裤子，不过要买8套，你会怎么解决？接着引导学生列出（65+45）×8=65×8+45×8的算式。（这个例子是加数不变，只变化乘数，目的就是聚焦乘数的变化给等号两侧算式带来的变化）

接着，教师继续问道：如果现在将短袖和裤子配成一套，买这样的5套，你能列式解决吗？（32+45）×5=32×5+45×5（这个例子是乘数不变，只变化加数，看看这种变化对算式带来的影响）

这样，屏幕上就出现了三道等式，学生在初次尝试建立等式，继而变化乘数、变化加数的过程中，结合具体情境初步体验到等式左右结构变化的规律。随后，教师让学生抛开情境，尝试用数学语言来表述，这是帮助学生从横向数学化走向纵向数学化的一个桥梁。从这个环节开始，学生就可以将重点聚焦在对算式内部特征的研究了。

然后，教师提问：观察3道算式，等号左右两边有几个不同的数？在进行什么运算？

（65+45）×5=65×5+45×5

（65+45）×8=65×8+45×8

（32+45）×5=32×5+45×5

学生：有三个数，加法和乘法

教师：等号两边的算式都在进行加法和乘法运算，他们的运算顺序一样吗？

学生：不一样，左边是先加后乘，右边是两部分，是先乘后加。

教师：能具体说一说它们的运算顺序吗？

在教师的引导下，学生作出如下的表述：

学生1：左边算的是“65与45的和乘5”，右边算的是“65乘5的积与45乘5的积相加”（65和45分别乘5，再相加）结果相等。

学生2：左边算的是“65与45的和乘8”，右边算的是“65乘8的积与45乘8的积相加”，结果相等。

教师：通过大家的发言，我们发现，等号左边的算式都有一个共同特点，都是先算“两个数的和，再乘一个数”，等号右边也都有一个共同特点，都是把这两个数分别乘上这个数再相加，结果相等。

在这个环节中，我们把数学问题从具体情境中剥离了出来，不再依附于情境，直接利用数学的符号研究数学的规律。教师设计了几个不同思维要求的数学活动引导学生用数学的思维思考、总结规律，目的是要促进学生认知的发展。在这个过程中，首先是模仿，其次是不完全归纳，再次是形成规律，这个过程是学生的认知水平由事实性水平向概念性、方法性水平不断向纵深发展的过程，也可以看作是纵向数学化深入的结果，这是数学活动所期许达成的目标。因此，关注活动的指向、体验数学的抽象性、实现数学化是我们目前应关注的问题。

在学习了这堂课以后，学生会猜测：两个数的和与一个数相乘有这样的规律，那么三个数、四个数的和与一个数相乘也有这样的规律吗？乘法有分配律，除法有吗？如果把括号里的加号改成减号，这个等式还成立吗？由前面的结论引申出的这些新问题，是否还有必要借助于情境来说明道理？通过这样的猜测和思考，能够促进学生数学思维的发展。

如今的小学数学课并不缺乏情境的创设，而是缺乏从情境走向对数学问题研究时的数学化立场。如果说从生活走向数学为教学创造了一个适宜的起点，那么对数学知识内部的观察、整理、辨析和联结则是发展学生数学思维的重要过程，这个过程应该在数学活动中充分展开。我们如果在这项工作上再作深入的思考和实践，那么，数学课的数学味会更加浓郁。笔者认为，数学教育就是要追求生活与数学高层次的整合，要做到生活化的数学，数学化的生活。

（作者单位：江苏省苏州市敬文实验小学）

（责任编辑：徐晓卿）endprint

荷兰数学家弗赖登塔尔曾经说过：“与其说是学习数学，倒不如说学习‘数学化。”数学教师对这个理念一定非常清楚。这样的理念虽然常常能被人们理解，但若要教师用理念指导教学，并不是一件容易的事，需要下功夫好好琢磨。事实上，对理念的实践，很多情况下我们是在一种似懂非懂的状态下进行的，由于没有触及到本质，教学缺乏高位的设计，课堂整体性和连贯性不够，甚至会出现为了迎合某种时髦的形式导致教学目标偏离方向的情况。

由此，笔者认为，在小学数学教学中，要充分理解并引入“数学化”的概念。那么，何谓数学化呢？那就是人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。数学化分为两个层次，即横向数学化和纵向数学化，横向数学化包括从真实生活走进符号世界，而纵向数学化是指在符号世界中进行移动。接下来，笔者将根据教学片断来阐释教学中的“数学化”。

我们以教学“运算律”为例说明教师的教学方式，给出下图展开教学：

教学片断一：

教师：同学们，六一儿童节快到了，王阿姨准备买一些衣服作为节日礼物送给福利院的孩子们，请看图片。仔细观察，从图中我们可以知道哪些信息？要解决什么问题？根据这些信息，你会列式解答吗？

在学生独立思考之后，得出两种解题思路：

学生1：分别买5套夹克和5套裤子，再算出总价。

65 × 5 + 45 × 5

= 325 + 225

= 550（元）

学生2：先算出一套衣服的价钱，再算出总价。

（65 + 45）× 5

= 110 × 5

= 550（元）

教师：同学们请看，大家思考问题的角度不同，有的同学是先算买夹克衫和买裤子各用了多少元，还有的同学是先算买一套衣服用多少元，所以列出的算式就不同。

这样的数学活动，就是鼓励学生将知识从具体的情境中分离抽象出来，是将生活问题抽象成数学问题的过程，其实质就是让学生带着自己的知识经验，朝学科知识逐渐靠近。在教学中设置情境能够帮助学生打通从生活走向数学的通道，理解问题变得不再困难。因此，笔者认为，要让学生经历数学化的过程，首先要设置情境，注重情境的运用，通过数学的现实性来实现数学化。当学生对此问题列出不同的算式并准备解答，这就是利用数学的现实性进行横向数学化的过程，而横向数学化的主要手段就是抽象和概括。但是教学是不是就仅此而已完成了任务？学生思维又该如何向纵深发展呢？针对这一课，我们需要思考的是，对于乘法分配律这个知识点，学生理解的难点在哪里？

我们知道，对于乘法交换律和乘法结合律，由于等式左右两边的数并没有因为交换和结合而发生改变，学生理解起来难度并不大，但是对于乘法分配律来说，等号左右两边的数的个数发生了变化，由形式上的三个变成了四个，并且既有加法运算又有乘法运算，这两个变化是学生理解的难点。因此，对于“乘法分配律”这个规律的前提，即“两个数的和与一个数相乘以及两个数分别与这个数相乘”在算式中的特征的观察是非常重要的，这直接影响着能否理解规律。如果仅凭一个算式就让学生观察算式的特点显得过于单薄，教师需要变化算式的条件引起学生的注意。

教学片断二：

教师：如果还是买上衣和裤子，不过要买8套，你会怎么解决？接着引导学生列出（65+45）×8=65×8+45×8的算式。（这个例子是加数不变，只变化乘数，目的就是聚焦乘数的变化给等号两侧算式带来的变化）

接着，教师继续问道：如果现在将短袖和裤子配成一套，买这样的5套，你能列式解决吗？（32+45）×5=32×5+45×5（这个例子是乘数不变，只变化加数，看看这种变化对算式带来的影响）

这样，屏幕上就出现了三道等式，学生在初次尝试建立等式，继而变化乘数、变化加数的过程中，结合具体情境初步体验到等式左右结构变化的规律。随后，教师让学生抛开情境，尝试用数学语言来表述，这是帮助学生从横向数学化走向纵向数学化的一个桥梁。从这个环节开始，学生就可以将重点聚焦在对算式内部特征的研究了。

然后，教师提问：观察3道算式，等号左右两边有几个不同的数？在进行什么运算？

（65+45）×5=65×5+45×5

（65+45）×8=65×8+45×8

（32+45）×5=32×5+45×5

学生：有三个数，加法和乘法

教师：等号两边的算式都在进行加法和乘法运算，他们的运算顺序一样吗？

学生：不一样，左边是先加后乘，右边是两部分，是先乘后加。

教师：能具体说一说它们的运算顺序吗？

在教师的引导下，学生作出如下的表述：

学生1：左边算的是“65与45的和乘5”，右边算的是“65乘5的积与45乘5的积相加”（65和45分别乘5，再相加）结果相等。

学生2：左边算的是“65与45的和乘8”，右边算的是“65乘8的积与45乘8的积相加”，结果相等。

教师：通过大家的发言，我们发现，等号左边的算式都有一个共同特点，都是先算“两个数的和，再乘一个数”，等号右边也都有一个共同特点，都是把这两个数分别乘上这个数再相加，结果相等。

在这个环节中，我们把数学问题从具体情境中剥离了出来，不再依附于情境，直接利用数学的符号研究数学的规律。教师设计了几个不同思维要求的数学活动引导学生用数学的思维思考、总结规律，目的是要促进学生认知的发展。在这个过程中，首先是模仿，其次是不完全归纳，再次是形成规律，这个过程是学生的认知水平由事实性水平向概念性、方法性水平不断向纵深发展的过程，也可以看作是纵向数学化深入的结果，这是数学活动所期许达成的目标。因此，关注活动的指向、体验数学的抽象性、实现数学化是我们目前应关注的问题。

在学习了这堂课以后，学生会猜测：两个数的和与一个数相乘有这样的规律，那么三个数、四个数的和与一个数相乘也有这样的规律吗？乘法有分配律，除法有吗？如果把括号里的加号改成减号，这个等式还成立吗？由前面的结论引申出的这些新问题，是否还有必要借助于情境来说明道理？通过这样的猜测和思考，能够促进学生数学思维的发展。

如今的小学数学课并不缺乏情境的创设，而是缺乏从情境走向对数学问题研究时的数学化立场。如果说从生活走向数学为教学创造了一个适宜的起点，那么对数学知识内部的观察、整理、辨析和联结则是发展学生数学思维的重要过程，这个过程应该在数学活动中充分展开。我们如果在这项工作上再作深入的思考和实践，那么，数学课的数学味会更加浓郁。笔者认为，数学教育就是要追求生活与数学高层次的整合，要做到生活化的数学，数学化的生活。

（作者单位：江苏省苏州市敬文实验小学）

（责任编辑：徐晓卿）endprint

荷兰数学家弗赖登塔尔曾经说过：“与其说是学习数学，倒不如说学习‘数学化。”数学教师对这个理念一定非常清楚。这样的理念虽然常常能被人们理解，但若要教师用理念指导教学，并不是一件容易的事，需要下功夫好好琢磨。事实上，对理念的实践，很多情况下我们是在一种似懂非懂的状态下进行的，由于没有触及到本质，教学缺乏高位的设计，课堂整体性和连贯性不够，甚至会出现为了迎合某种时髦的形式导致教学目标偏离方向的情况。

由此，笔者认为，在小学数学教学中，要充分理解并引入“数学化”的概念。那么，何谓数学化呢？那就是人们在观察、认识和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。数学化分为两个层次，即横向数学化和纵向数学化，横向数学化包括从真实生活走进符号世界，而纵向数学化是指在符号世界中进行移动。接下来，笔者将根据教学片断来阐释教学中的“数学化”。

我们以教学“运算律”为例说明教师的教学方式，给出下图展开教学：

教学片断一：

教师：同学们，六一儿童节快到了，王阿姨准备买一些衣服作为节日礼物送给福利院的孩子们，请看图片。仔细观察，从图中我们可以知道哪些信息？要解决什么问题？根据这些信息，你会列式解答吗？

在学生独立思考之后，得出两种解题思路：

学生1：分别买5套夹克和5套裤子，再算出总价。

65 × 5 + 45 × 5

= 325 + 225

= 550（元）

学生2：先算出一套衣服的价钱，再算出总价。

（65 + 45）× 5

= 110 × 5

= 550（元）

教师：同学们请看，大家思考问题的角度不同，有的同学是先算买夹克衫和买裤子各用了多少元，还有的同学是先算买一套衣服用多少元，所以列出的算式就不同。

这样的数学活动，就是鼓励学生将知识从具体的情境中分离抽象出来，是将生活问题抽象成数学问题的过程，其实质就是让学生带着自己的知识经验，朝学科知识逐渐靠近。在教学中设置情境能够帮助学生打通从生活走向数学的通道，理解问题变得不再困难。因此，笔者认为，要让学生经历数学化的过程，首先要设置情境，注重情境的运用，通过数学的现实性来实现数学化。当学生对此问题列出不同的算式并准备解答，这就是利用数学的现实性进行横向数学化的过程，而横向数学化的主要手段就是抽象和概括。但是教学是不是就仅此而已完成了任务？学生思维又该如何向纵深发展呢？针对这一课，我们需要思考的是，对于乘法分配律这个知识点，学生理解的难点在哪里？

我们知道，对于乘法交换律和乘法结合律，由于等式左右两边的数并没有因为交换和结合而发生改变，学生理解起来难度并不大，但是对于乘法分配律来说，等号左右两边的数的个数发生了变化，由形式上的三个变成了四个，并且既有加法运算又有乘法运算，这两个变化是学生理解的难点。因此，对于“乘法分配律”这个规律的前提，即“两个数的和与一个数相乘以及两个数分别与这个数相乘”在算式中的特征的观察是非常重要的，这直接影响着能否理解规律。如果仅凭一个算式就让学生观察算式的特点显得过于单薄，教师需要变化算式的条件引起学生的注意。

教学片断二：

教师：如果还是买上衣和裤子，不过要买8套，你会怎么解决？接着引导学生列出（65+45）×8=65×8+45×8的算式。（这个例子是加数不变，只变化乘数，目的就是聚焦乘数的变化给等号两侧算式带来的变化）

接着，教师继续问道：如果现在将短袖和裤子配成一套，买这样的5套，你能列式解决吗？（32+45）×5=32×5+45×5（这个例子是乘数不变，只变化加数，看看这种变化对算式带来的影响）

这样，屏幕上就出现了三道等式，学生在初次尝试建立等式，继而变化乘数、变化加数的过程中，结合具体情境初步体验到等式左右结构变化的规律。随后，教师让学生抛开情境，尝试用数学语言来表述，这是帮助学生从横向数学化走向纵向数学化的一个桥梁。从这个环节开始，学生就可以将重点聚焦在对算式内部特征的研究了。

然后，教师提问：观察3道算式，等号左右两边有几个不同的数？在进行什么运算？

（65+45）×5=65×5+45×5

（65+45）×8=65×8+45×8

（32+45）×5=32×5+45×5

学生：有三个数，加法和乘法

教师：等号两边的算式都在进行加法和乘法运算，他们的运算顺序一样吗？

学生：不一样，左边是先加后乘，右边是两部分，是先乘后加。

教师：能具体说一说它们的运算顺序吗？

在教师的引导下，学生作出如下的表述：

学生1：左边算的是“65与45的和乘5”，右边算的是“65乘5的积与45乘5的积相加”（65和45分别乘5，再相加）结果相等。

学生2：左边算的是“65与45的和乘8”，右边算的是“65乘8的积与45乘8的积相加”，结果相等。

教师：通过大家的发言，我们发现，等号左边的算式都有一个共同特点，都是先算“两个数的和，再乘一个数”，等号右边也都有一个共同特点，都是把这两个数分别乘上这个数再相加，结果相等。

在这个环节中，我们把数学问题从具体情境中剥离了出来，不再依附于情境，直接利用数学的符号研究数学的规律。教师设计了几个不同思维要求的数学活动引导学生用数学的思维思考、总结规律，目的是要促进学生认知的发展。在这个过程中，首先是模仿，其次是不完全归纳，再次是形成规律，这个过程是学生的认知水平由事实性水平向概念性、方法性水平不断向纵深发展的过程，也可以看作是纵向数学化深入的结果，这是数学活动所期许达成的目标。因此，关注活动的指向、体验数学的抽象性、实现数学化是我们目前应关注的问题。

在学习了这堂课以后，学生会猜测：两个数的和与一个数相乘有这样的规律，那么三个数、四个数的和与一个数相乘也有这样的规律吗？乘法有分配律，除法有吗？如果把括号里的加号改成减号，这个等式还成立吗？由前面的结论引申出的这些新问题，是否还有必要借助于情境来说明道理？通过这样的猜测和思考，能够促进学生数学思维的发展。

如今的小学数学课并不缺乏情境的创设，而是缺乏从情境走向对数学问题研究时的数学化立场。如果说从生活走向数学为教学创造了一个适宜的起点，那么对数学知识内部的观察、整理、辨析和联结则是发展学生数学思维的重要过程，这个过程应该在数学活动中充分展开。我们如果在这项工作上再作深入的思考和实践，那么，数学课的数学味会更加浓郁。笔者认为，数学教育就是要追求生活与数学高层次的整合，要做到生活化的数学，数学化的生活。

（作者单位：江苏省苏州市敬文实验小学）

（责任编辑：徐晓卿）endprint