数据的数字特征解题技巧
2016-01-20侯永
侯永
摘 要：一组数据的数字特征可分为两大类：一类是刻画该组数据的集中趋势的统计量，包括平均数、中位数、众数;另一类是刻画该组数据的离散程度的统计量，包括的极差、方差、标准差.具体解题时，必须明确有关概念和计算公式以及实际意义.请看以下归类解析。
关键词：数据;数字特征;解题技巧
中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2015）24-001-01
1.直接利用公式进行分析
数据x1，x2，…xn的平均数计算公式为：x=，方差计算公式为：s2=[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2]，标准差计算公式为：s==
例1 对于一组数据zi（i=1，2，3，…n），如果将它们改变为zi-c（i=1，2，3，…n）（其中c>0），那么下列结论正确的是 （ ）.
A.平均数比原来的少 c，方差比原来的少c2
B.平均数比原来的少c， 方差与原来的一样
C.平均数比原来的多c，方差比原来的多c2
D.平均数比原来的多 c，方差与原来的一样
解析：设一组数据zi（i=1，2，3，…n）的平均数为Z，方差为s2，则一组数据zi-c的平均数为 =-c=z-c，
方差{[（z1-c）-（z-c）]2+[（z2-c）-（z-c）]2+…+[（zn-c）-（z-c）]2]}=[（z1-z）2+（z2-z）2+…（zn-z）2]=s2.
所以，平均数比原来的少c， 方差与原来的一样.故选B.
评注：一般地，若x1，x2，…xn的平均数是x，方差是s2，则ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数是ax+b，方差是a2s2.
2. 结合所给图形进行分析
由于根据条形统计图、茎叶图均可得到具体的数据，从而有利于分析数据的数字特征.因此，我们应该熟练掌握条形统计图和茎叶图，为解题提供准确的题设条件.
例2 甲、乙两位学生参加省高中数学联赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取10次，并制作得到如下茎叶图.请根据茎叶图回答如下问题：
甲 乙
9 8 5 7 5 9
8 4 2 1 8 0 0 3 5
5 5 3 9 0 1 2 5
（Ⅰ）指出甲成绩的众数、中位数和极差;
（Ⅱ）从平均数与方差角度考虑，如果要从中选派一人参加省高中数学联赛，那么你认为选派哪位学生参加比较合适？请说明理由。
解析：（Ⅰ）由茎叶图可知甲的成绩分别为75，78，79，81，82，84，88，93，95，95，所以甲成绩的众数为95，中位数为，极差为95-75=20.
（Ⅱ）派乙参赛比较合适.理由如下：
先分别计算甲、乙成绩的平均值：
x甲=（3×70+4×80+3×90+5+8+9+1+2+4+8+3+5+5）=85，
x乙=（2×70+4×80+4×90+5+9+0+0+3+5+0+1+2+5）=85
再分别计算甲、乙成绩的方差：
s2甲=（[（75-85）2+（78-85）2+（79-85）2+（81-85）2+（82-85）2+（84-85）2+（88-85）2+（93-85）2+（95-85）2+（95-85）2]=48.4
s2乙=（[（75-85）2+（79-85）2+（80-85）2+（80-85）2+（83-85）2+（85-85）2+（90-85）2+（91-85）2+（92-85）2+（95-85）2]=40
于是，有x甲=x乙，s2甲>s2乙.故乙的成绩较稳定，派乙参赛比较合适.
评注：一般地，给出两组数据，得到的结果往往是平均数相等，方差不等，由此即得较小方差对应的人或物的稳定性就较好，从而确定选取对象.本题第二问计算量较大，需要耐心一点，认真一点，同时也要注意技巧的运用（请认真体会解析中关于“平均数”的计算）.
3. 利用等价转化的策略进行分析
当一组数据x1，x2，…xn中的数据均较大时，先将每个数据都减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据x1'=x1-a，x2'=x2-a，…xn'=xn-a，则易知原数据的平均数为x=a+x'，方差为s2=[（x1-x'）2+（x2'-x'）2+…+（xn'-x'）2].
例3 一组数据98，103，99，104，100，97，102，105的平均数是________，方差是________.
解析：每个数据都减去100得到一组新数据：-2，3，-1，4，0，-3，2，5，可知其平均数为1.故易知所求平均数是100+1=101，方差是[（-2-1）2+（3-1）2+（-1-1）2+（4-1）2+（0-1）2+（-3-1）2+（2-1）2+（5-1）2]=7.5
评注：本题显然可以直接利用平均数和方差的计算公式加以求解，但运算较繁，这里运用等价转化的策略显得特别简单，故值得品味、深思.
总之，关注解题技巧的探究，有利于积累解题经验，提升解题能力.
