一个半导体器件模型热平衡解的唯一性

董建伟，娄光谱

(郑州航空工业管理学院数理系， 河南　郑州　450015)



一个半导体器件模型热平衡解的唯一性

董建伟，娄光谱

(郑州航空工业管理学院数理系， 河南郑州450015)

[摘要]研究一个耦合的四阶椭圆方程组，此方程组来源于半导体器件中一维双极量子流体动力学模型的热平衡状态. 在某些条件下利用一些不等式证明了此方程组解的唯一性.

[关键词]量子流体动力学模型；热平衡解；唯一性

1引言和主要结果

随着半导体器件尺寸的不断缩小，宏观量子模型成为数学工作者的研究热点[1-12].此类模型利用宏观量如粒子浓度、粒子速度、电流密度和电位势等来描述半导体器件中的载流子运动规律. 量子流体动力学模型是重要的半导体宏观量子模型之一. 文献[12]在一维有界区域(0,1)上研究了如下双极量子流体动力学模型热平衡状态的混合边值问题：

=eu-ev-C(x)，

(1)

=-eu+ev+C(x)， x∈(0,1)

(2)

u(0)=u(1)=0，ux(0)=ux(1)=0

(3)

v(0)=v(1)=0，vx(0)=vx(1)=0

(4)

其中：eu、ev分别表示电子浓度和空穴浓度，δ>0表示标度的普朗克常数，C(x)表示带电粒子杂质的浓度.α,β≥1为常数.

文献[12]得到了问题(1)～(4)解的存在性结果：

定理1设C(x)∈L2(0,1)，α,β≥1，满足

(5)

其中M1，M2分别是

(6)

和

(7)

‖u‖L∞(0,1)≤M1， ‖v‖L∞(0,1)≤M2.

(8)

我们将证明问题(1)～(4)解的唯一性.主要结果是：

定理2设定理1中的条件成立，且α-1，β-1，δ，‖C(x)‖L2(0,1)充分小，使得

(9)

(10)

注1由(6)式和(7)式可知，当‖C(x)‖L2(0,1)充分小时，M1，M2也会充分小，从而可使(9)式及(10)式中,

2定理2的证明

(11)

所以

(12)

(13)

这里(12)式中用到了M1的定义(见(6)式)，从而再由边界条件(3)式，Holder不等式及Young不等式知，

(14)

同理可证

(15)

=eu1-ev1-C(x)

与

=eu2-ev2-C(x)

的试验函数并两式相减，得

(16)

由(14)式及Young不等式知，

(17)

由微分中值定理及(8)式，得

e(α-1)u1-e(α-1)u2

其中θ∈(0,1).所以再由(8)、(14)式，Holder不等式及Poincare不等式知：

(18)

由函数f(x)=ex的单调递增性知

(eu1-eu2)(u1-u2)≥0，

所以再由微分中值定理、(8)式、Young不等式及Poincare不等式，得

(19)

其中θ∈(0,1).

由(16)～(19)式可得：

(20)

同理，用v1-v2分别作为

=-eu1+ev1+C(x)

与

=-eu2+ev2+C(x)

的试验函数且两式相减，并进行类似以上估计可得

(21)

由(20)与(21)式两边相加，得

(22)

所以再由条件(9)和(10)式知u1=u2，v1=v2.定理2得证.

[参考文献]

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(责任编辑穆刚)

Uniqueness of thermal equilibrium solutions to

a semiconductor device model

DONG Jianwei, LOU Guangpu

(Department of Mathematics and Physics, Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management, Zhengzhou Henan 450015, China)

Abstract：A coupled fourth-order elliptic system is studied, which originates from the one-dimensional bipolar quantum hydrodynamic model for semiconductor device in thermal equilibrium state. The uniqueness of the solutions to the system is proved under some conditions by using some inequality techniques.

Key words：quantum hydrodynamic model; thermal equilibrium solutions; uniqueness

[中图分类号]O175.29

[文献标志码]A

[文章编号]1673-8004(2015)05-0022-04

[作者简介]董建伟(1980—)，男，山东菏泽人，副教授，硕士，主要从事偏微分方程方面的研究.

[基金项目]河南省教育厅科学技术研究重点项目(12A110024)；郑州航空工业管理学院青年科研基金项目(2013111001，2014113002，2015113001)；2013年河南省科技厅基础与前沿技术研究计划项目 (132300410373)；航空科学基金(2013ZD55006)；河南省高等学校青年骨干教师资助计划项目(2013GGJS-142).

[收稿日期]2015-01-06