车桥耦合数值模拟桥梁冲击系数随机变量的概率分布

第一作者沈锐利男，博士，教授，1963年生

车桥耦合数值模拟桥梁冲击系数随机变量的概率分布

沈锐利，官快，房凯

(西南交通大学土木工程学院，成都610031)

摘要：把桥梁和车辆看作车桥耦合振动体系的两个分离子系统，基于ANSYS软件建立了车辆和桥梁的有限元模型。使用三角级数叠加以及离散傅里叶逆变换模拟了桥面不平度，采用分离迭代算法计算了车桥耦合系统的动力响应。通过对一简支梁桥车桥耦合振动的数值模拟，引入一种新的冲击系数计算方法，采用数理统计的方法得到桥梁冲击系数的概率分布及置信度为0.05的冲击系数。结果表明：桥面不平度对冲击效应的影响明显；使用三角级数叠加法计算路面不平度得到的冲击系数样本概率分布上服从正态分布，而离散傅里叶逆变换法获得的冲击系数样本服从极值Ⅰ型分布；离散傅里叶逆变换获得的冲击系数小于三角级数叠加法得到的，两者计算得到的冲击系数均大于规范计算数值。

关键词：公路桥梁;分离迭代算法;桥面不平度;车辆模型;冲击系数;概率分布

收稿日期：2014-04-24修改稿收到日期：2014-09-01

中图分类号:U448.21+6文献标志码：A

Probability distribution of random variables of impact coefficient in numerical simulation of vehicle-bridge coupled vibration

SHENRui-li,GUANKuai,FANGKai(College of Civil Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Abstract:The bridge and vehicle were treated as two separated sub-systems, and a FEM model for vehicle-bridge coupled vibrations was established with resorting to the ANSYS software. The trigonometric series iteration and inverse discrete Fourier transform were used to simulate the deck roughness. The dynamic response of vehicle-bridge coupled system was solved by using the separated iterative algorithm. A new method was introduced to calculate the impact coefficient in the numerical simulation of the vehicle-bridge coupled vibration on a simply supported beam bridge. The mathematical statistics method was used to get the probability distribution function of impact coefficient and the impact coefficient was obtained with a confidence coefficient of 0.05. The results indicate that: the deck roughness has a significant influence on the impact effect of bridge; the sample probability of impact coefficient obtained by using trigonometric series iteration is normally distributed and that obtained by using inverse discrete Fourier transform obeys the extreme-I probability distribution; the impact coefficient got by using inverse discrete Fourier transform is larger than that by using trigonometric series iteration, and both of them are larger than those of using the methods stipulated in the Specification.

Key words:highway bridge; separated iterative algorithm; deck roughness; vehicle model; impact coefficient; probability distribution

重型车辆通过桥梁时，其动力作用将使结构发生大幅振动，导致结构出现损伤从而增加维护成本并缩短使用寿命。近年来，由于桥梁结构轻型化，车辆吨位不断增加，车速逐渐提高，车辆对桥梁的惯性作用不断增大使得桥梁的动力效应在桥梁的整体效应中的比重越来越大，由车辆荷载引起的桥梁结构振动问题甚为严重。车辆荷载引起桥梁桥面板的损伤、疲劳已成为交通安全中的重大隐患。

在考虑车辆作用对桥梁的影响时，我们通常采用冲击系数的形式来描述。随着车辆-桥梁耦合振动问题研究的不断深入，大多数学者采用1/2车辆模型，也有部分研究者运用更加符合实际的复杂三维车辆模型进行模拟[1]。对车桥耦合振动的研究主要有数值模拟、试验研究及两者相结合的方法，近期大部分相关研究都将路面不平度考虑进去[2-3]。然而由于试验方法耗费较大的人力和物力，而随着计算机方法的引入以及高度发展的有限元分析技术，使车桥耦合振动问题的数值模拟方法得到很好的发展[4]。在数值模拟分析时我们应考虑各项因素的随机性，如车速大小、桥梁几何尺寸及材料的随机性，因而数值模拟分析得到的冲击系数是一个随机变量[5]。根据过去的研究发现：较之车速和梁截面，车辆质量和桥面不平度对桥梁动力性能影响更大。但是在以往的理论研究中把桥面的平整度作为一个半确定的数列来进行分析，忽略了其随机性对冲击系数的影响[6]。此外大部分研究采用单一的三角级数叠加法来获得桥面不平度，不能全面地模拟路面的起伏情况。因此在车-梁耦合振动数值模拟时应将计算机取值的随机性考虑进去以贴近实际情况。本文采用数理统计的方法将概率概念引入冲击系数的研究之中，以此更好地适应近似概率设计法的应用。用新的方法分析了两种不同模拟路面不平度的方法对冲击系数大小的影响。

1车桥耦合振动方程

1.1车辆模型

车-桥耦合振动系统的简化1/2三轴车辆模型(见图1)。车轮与桥梁作用位置x1、x2、x3相应的接触点变形为y1、y2、y3，将车辆的振动方程统一写成矩阵形式：

(1)

图1　车辆-桥梁耦合系统车辆简化模型 Fig.1 Simplified vehicle model of vehicle-bridge coupled vibration system

1.2车桥动力相互作用力

假设汽车行驶过桥时，车轮与桥面始终保持接触，则车辆与桥梁接触点的位移应包含桥梁的动态位移yq(x，t)和桥面不平度r(x)两个部分。假定车辆在桥梁上的行使速度为v，则在任意时刻t，与桥面接触的第i个车轮接触点竖向位移yi(x，t)为：

yi(x，t)=yq(x，t)+r(x)|x=xi，i=1，2，3

(2)

式中:yq(x，t)为桥梁的竖向动态位移；r(x)为桥面不平度函数值。因此车辆系统的外力fci(i=1，2，3)可以由下式求得：

(3)

式中：

(4)

第1项表示车轮所在位置桥梁振动的竖向速度，第2项表示由于荷载的移动，使其在桥梁振动过程中产生的附加速度，对于一般的桥梁和现行的车速，此项可忽略；

fci=fcri+fcyi=[cir′(x)v+kir(x)]+

(5)

式中:fcri和fcyi分别表示桥面不平度和车-桥耦合振动产生的对车辆系统的外力，当车轮不在桥上时，令方程(5)后面一项为0即可。于是车辆系统的外力可分为两项，即：fc=fcr+fcy。

1.3随机路面不平度

路面不平度也称为路面平整度，指的是桥梁表面对于理想平面的偏离，它具有影响车辆动力性、行驶质量和桥梁动力荷载三者的数值特征[7]。

路面平整度也是路面使用性能指标之一，1960年AASHTO道路试验研究表明大约95%的路面服务性能来自于道路表面的平整度[8]。众多相关研究表明我们对路面平整度的复杂性认识还不够，大多情况是根据经验从施工角度控制路面不平整度，而对路面不平整度引发路-车相互振动的影响等理论研究较少，故无法掌握路面不平整度的发展规律，也就无法真正控制路面平整度。目前世界各国路面平整度的测定方法与指标各异，至今都没有得到一个统一的指标与测定方法[9]。

1.3.1路面不平度的数学描述

1972年ISO/TC108制订了以路面不平度的功率谱密度表达式模型和分等方法，1986年由长春汽车研究所起草制定的“车辆振动输入路面平度的表示方法”标准之中，作为汽车振动输入的路面不平度，主要采用路面位移功率谱密度描述其统计特性，路面不平度的时间历程可以视作满足零均值的稳态高斯随机过程[9]。根据这两个文件的建议，路面位移功率谱密度可采用幂函数形式作为拟合表达式：

(6)

由于功率谱理论在信号处理领域中已经非常成熟，因此在道路不平度模型中较早就采用了功率谱进行分析。对于不同等级的路面之间的区别主要表现在粗糙度的不同，通常我们采用谱密度函数来表达不同粗糙度的路面，以给出车辆系统的输入激励。根据1982年道路不平度分级的建议将不平度等级分为很好(A级)、好(B级)、中等(C级)、不好(D级)和很不好(E级)。

国家标准GB7031-86根据路面功率谱密度把路面按不平度分为8级，表1为部分等级路面标准。表中规定了各级路面不平度系数G0(n0)的范围及其几何平均值。

表1　部分路面分级标准

对于路面不平度的研究，各国学者提出了不同形式的功率谱密度表达式模型。本文介绍后续将要用到的两种生成路面不平度的方法：三角级数法、离散傅里叶逆变换法。

1.3.2三角级数法路面不平度

理论上讲，任意一条路面轨迹均可由一系列离散的正弦波叠加而成。假如已知路面频域模型，那么每个正弦波的振幅可由相应频率的频率谱密度获得，相位差由随机数发生器产生[10]。随机谐波有正弦和余弦两种，本文采用正弦波来进行随机谐波叠加计算。

由于车辆的平顺性能评价是在时域上进行，所以路面的输入也应根据相应的路面等级用时域表示。三角级数法路面不平度可写为：

(7)

式中：x为汽车前进的纵向位移；θi为在[0,2π]上的随机数，满足标准正态分布。在建立实际的路面模型时，需要选择的参数有路面等级G0(n0)、有效空间频率范围(n1,n2)以及频率区间划分份数m。G0(n0)值为表1中的对应路面等级的几何平均值。空间频率所对应的时间频率范围(f1,f2)应该包括汽车振动的有效固有频率。三角级数法尤其适用于实测道路谱的时域模拟，该算法数学基础严密，使用路面范围广，这对于在非标道路和非等级公路上行驶汽车的平顺性研究具有重要意义(见图2)。通过式(7)，根据不同等级的不平度谱密度取值模拟了5级桥面不平度。

图2　三角级数法路面不平度 Fig.2 Road Surface Irregularity by Trigonometric Series Iteration

1.3.3离散傅里叶逆变换法路面不平度

由于汽车隔振系统的作用，使得汽车对某些频率路面激励的位移或加速度响应极小，所以在进行路面不平度计算时，可以不考虑这些频率成分的影响。仅需考虑的路面有效空间频率，其上、下限分别为nu=3 m-1、n1=0.01 m-1，全桥跨度为L，距离采样间隔为Δl，则所需的总采样点数为N=L/Δl，则其离散傅里叶变换为：

(8)

式中：φk可以在[0，2π]内随机选取。对Xk进行离散傅里叶逆变换便得到路面不平度Xm：

(9)

由于上述获得路面不平度的过程是其计算功率谱密度的逆过程，所以理论上可以保证所得路面不平度的功率谱密度与给定的功率谱密度准确一致[11]。运用式(9)，根据不同等级的不平度谱密度取值模拟了5级桥面不平度序列(见图3)。

图3　逆变换法路面不平度 Fig.3 Road surface irregularity by inverse discrete fourier transform

1.4桥梁的运动方程

桥梁模型采用有限元方法进行离散，桥梁的运动方程为：

(10)

式中：Mq、Cq和Kq分别为桥梁系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；Fq为外荷载向量。

1.5车桥耦合振动方程的求解

Fq=Fqg+Fqc

(11)

式中：Fqg和Fqc分别为作用在桥梁上的车辆自重和由于车辆行驶惯性对桥梁产生的作用力。Fqg与桥梁和车辆的运动无关，Fqc则随着车辆在桥梁上的移动而不断变化。

车辆与桥梁在接触点的位移协调条件由式(2)表示，车桥相互作用力协调条件可由下式表达：

Fqci=ki[zi-yq(x,t)-r(x)]+

(12)

式中：Fqci和fci分别为第i个接触点车辆对桥梁的作用力和桥梁对车辆的作用力。

通过车辆和桥梁的运动方程式(1)～式(5)和式(10)～式(12)，采用HHT方法求解车辆和桥梁的振动方程式(1)、式(10)，补充两者之间的位移协调方程式(2)以及受力协调方程式(12)，考虑桥面不平度序列方程式(7)和式(9)(产生两组)，采用分离迭代法进行运动方程的求解。

本文采用桥梁模型参数为：L=45.7 m，mb=1.824×104kg/m，EI=4.227×1011N·m2。本文采用文献[1]中三轴车辆的轴重及刚度、阻尼参数进行计算：前轴重m1=500 kg，中轴重及后轴重m2=m3=725 kg，车体重M=28 500 kg；前轮刚度k1=3 146 kN/m，中间及后轮刚度k2=k3=4 724 kN/m，前悬架刚度k4=1 577 kN/m，后悬架刚度k5=4 724 kN/m；前轮阻尼c1=13 300kNs/m，中间及后轮阻尼c2=c3=10 000 kNs/m，前悬架阻尼c4=11 200 kNs/m，后悬架阻尼c5=33 420 kNs/m。车辆模型前轴与中轴间距为4 m，后轴与中轴间距为1.4 m，前悬架与后悬架的间距为4.7 m。车辆行驶速度为v=20 m/s。车辆桥梁结构采用Rayleigh阻尼，阻尼比取0.02。

2冲击系数的影响因素分析

2.1冲击系数的定义

根据我国《公路桥涵设计通用规范》(JTG D62-2004)关于冲击系数的表述，桥梁结构在汽车荷载的作用下位移冲击系数由下式定义：

(13)

式中:ydmax分别为效应时间历程曲线上最大动力挠度；yjmax为时间历程曲线最大静力挠度。

在较早车桥振动冲击系数的研究中，一般将车辆荷载作用下桥梁结构的振动认为是确定性的。实际当中在车辆荷载作用下的桥梁振动具有较大的随机性[12](见图4)。即使是对于同一座桥梁，也会因为其上的汽车荷载以及路面条件的变化而产生不同的振动，因此，将车辆荷载作用下的桥梁振动按统计方法进行分析处理更能切合实际情况。

图4　桥梁跨中位移时程 Fig.4 Displacement time history of bridge in mid-span

世界各国的桥梁设计规范中相关冲击系数的计算，大都是基于移动的汽车荷载与桥梁结构产生“共振”求得，这样得到的冲击系数(1+μ)是极大值。用极大值来代表车辆对桥梁的影响不能充分体现桥梁自身的功能，此类设计方法类似于允许应力法，对于结构的强度和材料不能充分的利用，忽略了极大值出现的概率很小这个事实。

为适应概率极限状态设计法的应用，公路桥梁冲击系数研究也应该引入可靠度理论。影响桥梁冲击系数的因素大致可归纳为三个方面：

(1)汽车的因素，如汽车轴重、行驶速度、车流量大小；

(2)桥梁的因素，如混凝土强度、配筋率、钢筋强度、桥面平整度；

(3)汽车桥梁两者相互联系的因素，如汽车行驶频率与桥梁自身频率、轮胎与桥面相对刚度、车道位置。

以上影响因素都将对桥梁的冲击系数产生影响，其影响程度有大有小。而且可以看出，上述影响因素都带有一定的随机性，对于影响程度较大的因素，其离散性越大将导致冲击系数的离散性越大。由此我们可得出：公路桥梁冲击系数是反映诸多影响因素随机组合产生动力效应的一个综合性系数，具有明显的随机性。另外，公路桥梁冲击系数与时间没有明显的关系，它的取值充满了某一实数区间，不能用一个有限或无限数列表示。因此，本文把公路桥梁冲击系数用连续随机变量概率模型进行研究。

由于随机模拟汽车流、桥梁激振及汽车行驶位置对冲击系数的综合效应较为复杂，本文仅从单一影响因素入手，探讨路面不平度对冲击效应的影响。

在数理统计学中，一切关于母体的结论总是以样本提供的相关信息为依据。因此我们对冲击系数数据进行处理，得到适当的概率模型来吻合公路桥梁冲击系数随机变量。为使样本信息具有典型性、代表性，我们在获得冲击系数的样本时，充分考虑了每个个体之间在概率意义下的相互独立性。桥梁冲击系数随机变量概率模型的选择需解决：①找到合适的概率分布以表征公路桥梁冲击系数随机变量的统计规律；②确定已选概率分布的各项参数值。

以往对于车桥耦合振动数值模拟冲击系数研究文献中，通常忽略了路面不平度系列的随机性。对于相同等级的路面，由于计算机数列的随机性，每一次产生的随机路面不平度系列不尽相同，因而同等级路面进行计算机模拟时也将产生不同大小的冲击系数。相关研究常用的处理方式是生成多组同等级不平度系列而后取其平均值，使用这个路面不平度均值系列进行冲击系数的计算。这种处理方式忽略了路面不平度的随机性，笼统的将其随机性用均值的方式进行处理，这样不能很好的模拟真实路面不平度的不确定性。

计算机进行随机桥面不平顺时域模型仿真时，由于计算机自身特性，其产生的随机数列是有规律的，是一组伪随机数列。计算机的每列随机数列都分别对应一个数(称之为种子)，也就是说产生的随机数列是根据“种子”推导计算出来的，确定了种子那么随机数列就是确定的。本文使用计算机随机数“种子”生成相应的桥梁结构冲击系数随机样本，用概率与数理统计的方法来研究公路桥梁冲击系数的统计规律。

在计算机程序设计里面4 294 967 295表示无符号整数的十进制最大值，所以有效的随机“种子”取值范围为[0，4 294 967 295]，在各项参数确定的三角级数法或者离散傅里叶逆变换法进行路面不平度生成的时候，最多能产生4 294 967 295+1=4 294 967 296个随机数列。每个随机数列对应了一个车桥致振的最大位移值，以此对应一个冲击系数。从[0，4 294 967 295]的种子取值区间选择适当数量的种子(本文选取51个)，分别使用三角级数和离散傅里叶逆变换不平度计算模拟方法获得相应路面不平度数列。

采用“2”介绍的迭代计算方法求得桥梁在各路面不平度系列下跨中最大位移，并计算出桥梁在相应静力荷载作用下的跨中最大位移。根据我国 《公路桥涵设计通用规范》(JTG D62-2004)中的公式(式13)进行各冲击系数的计算，得到相应冲击系数样本(见图5)。从图5可知，选取同等级路面不平度，不同“种子”计算出的位移冲击系数有很大的差别，具有明显的离散性。

图5　同等级路面不同种子的冲击系数 Fig.5 Impact coefficient of same level pavement in different seeds

根据得到的冲击系数样本，分别使用数理统计的方法进行统计分析，确定样本所属母本的概率分布类型以及相应分布的各项参数值。

2.2三角级数法路面不平度冲击系数

通过对各随机路面不平度生成的冲击系数概率分布的优度拟合检验，发现对于采用三角级数法获得的路面不平度样本，公路桥梁冲击系数的概率为正态分布。其样本频率直方图(见图6)，对冲击系数样本使用正态分布进行拟合得到其最优拟合概率分布函数为：

(14)

图6三角级数法冲击系数频率直方图 Fig.6 Frequency histogram of impact coefficient by trigonometric series iteration

2.3逆变换法路面不平度冲击系数

通过对逆变换法冲击系数样本数据概率分布的优度拟合检验，发现对于采用逆变换法获得的路面不平度样本，桥梁冲击系数的概率为极值Ⅰ型分布。其样本频率直方图(见图7)，对冲击系数样本使用极值Ⅰ型分布进行拟合得到其最优拟合概率分布函数为：

f(x)=exp{-exp[-19.065 2(x-1.076 2)]}

(15)

图7　逆变换法冲击系数频率直方图 Fig.7 Frequency histogram of impact coefficient by inverse discrete fourier transform

3冲击系数比较

各国对冲击系数的计算方法各有不同，对于汽车的冲击系数取值各国规范也使用了不同的简化公式。本文列举了四个国家桥梁汽车冲击系数的计算方法，并与本文计算得到的桥梁冲击系数作了比较。

3.1中国规范

根据我国《公路桥涵设计通用规范》(JTG D62-2004)里采用的计算方法：

当f≤1.5 Hz时，μ=0.05

当1.5 Hz≤f≤14 Hz时，μ=0.176 7lnf-0.015 7

当f>14 Hz时，μ=0.45

计算得到桥梁模型基频为3.606 Hz，通过计算可得到其冲击系数为1+μ=1.211。

3.2美国规范

(1)AASHTO标准公路桥梁设计规范-1996

冲击系数为跨径的函数μ=15.24/(L+38.1)，计算可得到本文算例桥梁相应冲击系数为1+μ=1.1819。

(2)AASHTOLRFD桥梁设计规范-1998

设计荷载包括卡车荷载和车道荷载两部分，车道荷载不考虑冲击系数。卡车荷载的冲击系数为，桥面接缝：所有极限状态，1+μ=1.75；所有构件：疲劳及断裂状态，1+μ=1.15；所有其它极限状态，1+μ=1.33

3.3英国

BS5400：设计荷载中已包含25%的冲击效应。

3.4日本(1972 年规范)

μ=20/50+L，计算得到本文算例桥梁相应冲击系数为1+μ=1.209。

3.5本文介绍计算方法

本文引入数理统计的方法进行计算，按照计算得到的冲击系数概率分布函数式可计算出某一分位值的冲击系数，采用上文计算出的两种概率分布函数式可计算各种保证率的公路桥梁冲击系数，如通常取保证率为95%的限值作为结构设计的标准。在此本文采用保证率为95%的值作为公路桥梁冲击系数。

取f(x)=95%计算两种方法置信度为0.05的冲击系数值。通过两式的计算分别得到保证率为95%的冲击系数为：

三角级数法为1+μ=1.2702；

逆变换法为1+μ=1.232。

4结论

(1)两种路面不平度方法得到的冲击系数样本分布属于不同的概率分布类型，三角级数法获得的冲击系数样本符合正态分布；离散傅里叶逆变换法获得的冲击系数样本符合极值Ⅰ型分布；

(2)对两种方法获得的冲击系数母本进行保证率为95%的冲击系数值，结果表明使用三角计数法得到的冲击系数大于使用离散傅里叶逆变换法获得的冲击系数，两者计算出的冲击系数均大于各国规范介绍方法得到的冲击系数；

(3)将数理统计引入计算机模拟车桥耦合振动冲击系数研究，使冲击系数在理论计算时候能够计入所模拟路面不平度的随机性；

(4)在此方法上可以拓展到多因素随机性对冲击系数的影响，采用响应面法使冲击系数的理论研究更加符合实际测量的冲击系数。

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