基于时变AR模型的非平稳非高斯随机过程的数值模拟

第一作者李锦华男，博士, 讲师, 硕士生导师，1981年12月生

通信作者陈水生男，博士, 教授, 硕士生导师，1968年6月生

基于时变AR模型的非平稳非高斯随机过程的数值模拟

李锦华1, 2,陈水生2,吴春鹏2,李建丰2

(1.华东交通大学铁路环境振动与噪声教育部研究工程中心,南昌330013; 2.华东交通大学土木建筑学院,南昌330013)

摘要：为了有效地模拟具有目标非平稳、非高斯特征的随机过程，提出了基于时变AR模型的非平稳非高斯随机过程的模拟方法。该方法首先需要建立实现非高斯与高斯随机过程之间相互转换的非线性平移关系，然而该非线性平移也会导致平移前后高斯与非高斯随机过程的功率谱发生变化。因此该方法还需要进一步建立平移前后高斯与非高斯随机过程的功率谱或相关函数的转换关系。然后，通过已建立的非线性平移，以及功率谱或相关函数的转换关系，可将非平稳非高斯随机过程的模拟转化成对非平稳高斯随机过程的模拟。而非平稳高斯随机过程可通过建立的时变AR模型进行有效的模拟。最后将具有目标非平稳、非高斯特征的脉动风速模拟作为数值算例，验证了该方法模拟非平稳非高斯随机过程的有效性。

关键词：时变AR模型；数值模拟；非平稳随机过程；非高斯；脉动风速

基金项目：国家自然科学基金项目(11162005);江西省自然科学基金项目(20132BAB216003)

收稿日期：2015-01-07修改稿收到日期：2015-03-11

中图分类号:TU311

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.17.024

Abstract:In order to simulate effectively a stochastic process possessing given non-stationary non-Gaussian features, a method to simulate a non-stationary non-Gaussian stochastic process based on a time-varying AR model was proposed here. Firstly, it was necessary to establish a nonlinear translation relationship to realize mutual conversion between a non-Gaussian and a Gaussian one. Meanwhile, the power spectra both the non-Gaussian and the Gaussian random processes were different due to the nonlinear translation. Furthermore, the transformation relationship between their power spectra or correlation functions was established. Then, the simulation of a non-stationary non-Gaussian stochastic process was converted into a simulation of a non-stationary Gaussian random process by utilizing the nonlinear translation relationship and the transformation relationship of their power spectra or correlation functions constructed above. The non-stationary Gaussian random process was effectively simulated with a presented time-varying AR model. Finally, taking the simulation of a fluctuating wind velocity possessing target non-stationary non-Gaussian characteristics as a numerical example, the effectiveness of the method to simulate a non-stationary non-Gaussian random process was verified.

Simulation of non-stationary non-Gaussian stochastic process based on a time-varying AR model

LIJin-hua1, 2,CHENShui-sheng2,WUChun-peng2,LIJian-feng2(1. MOE Engineering Research Center of Railway Environmental Vibration and Noise, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China;2. College of Civil Engineering,East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China)

Key words:time-varying AR model; numerical simulation; non-stationary stochastic process; non-Gaussian; fluctuating wind velocity

计算机技术的快速发展，使得运用计算随机力学解决不确定性系统的分析成为可能[1]。在进行不确定性系统分析过程中，需要首先获取输入的不确定性随机参量。基于蒙特卡洛Monte-Carlo的随机模拟技术[2]，使得人工模拟系统的随机输入得到了广泛的应用。在模拟产生具有指定目标特征的随机过程中，不确定性随机参量常被假定为平稳高斯、非平稳高斯随机过程来模拟，这个假定极大地简化模拟计算过程。在自然界中，不确定性系统的随机参量如工程结构上的风压、结构与机械工程中的几何特性和材料特性、岩土工程中的土壤特性、海洋波浪的随机激励等均具有非高斯的特征[3]。为了有效地研究分析随机激励下的系统响应，具有目标特征的平稳非高斯乃至非平稳非高斯随机过程的有效模拟逐渐受到广泛关注。非平稳非高斯随机过程不仅具有相关函数或功率谱密度随时间变化的特征，而且每一时刻的概率密度函数分布呈现出非高斯分布的特征。高斯随机过程的概率密度函数可以完全由前两阶统计参数( 即均值和方差) 来描述。而对于非高斯随机过程，特别是非平稳非高斯随机过程，可采用高阶统计参数(特别是三阶和四阶统计参数，即偏度和峰度)对非高斯概率密度函数的特征进行描述。模拟非平稳非高斯随机过程，需要模拟具有目标时变特征的相关函数或功率谱，以及目标非高斯特征。因此，非平稳非高斯随机过程的模拟，可先通过模拟生成某一非平稳高斯随机过程，然后再将该非平稳高斯随机过程经过非线性平移生成具有目标特征的非平稳非高斯随机过程。

运用Monte-Carlo思想模拟随机过程主要有两大类方法，即谱表示法和线性滤波法。谱表示方法的模拟精度较高，但模拟效率较低[4]。而线性滤波法尽管模拟精度较低，但计算量小、速度快，被广泛用于工程领域随机过程的模拟[6]。Decolatis等[6]对桅杆结构由不同方法得到的风速时程作用下的结构响应结果作出比较后，建议采用AR模型模拟互相相关多重脉动风速时程。Owen等[7]采用AR模型模拟了平稳随机风荷载，并用于斜拉桥的风振响应分析。Saramas等[8]采用ARMA模型模拟了多变量平稳随机过程。以上模拟主要针对的是平稳高斯随机过程的模拟。张文福等[9]通过时变函数均匀调制基于AR模型的平稳脉动风速来生成了下击暴流非平稳脉动风速。Li等[10]通过建立AR和ARMA模型输入与输出统计特征之间的关系，建立了基于AR和ARMA模型的非高斯平稳随机过程模拟，并通过非高斯平稳脉动风荷载的模拟验证了模拟的有效性。本文将进一步探讨基于时变AR模型的非平稳非高斯随机过程的有效模拟。

1非平稳高斯随机过程的时变AR模型

设时变AR模型阶数为p，非平稳高斯随机过程模拟样本点数为N，采样时间间隔为Δt，则基于时变AR(p)模型的非平稳高斯随机过程模拟公式可表示为：

(1)

1.1时变模型系数Ai(t)的确定

在某时刻t=t′时，有

(2)

对于Ai(t′)的确定，将式(2)两边同时右乘f(t′-jΔt)，并取数学期望，有

E[f(t′)f(t′-jΔt)]=

E[L(t′)w(t′)f(t′-jΔt)]

(3)

Rff(t′,jΔt)=

对于右二项，Rwf(t′,jΔt)可理解为w(t′)与f(t′-jΔt)的互相关函数。w(t)为该系统的输入，而f(t)为系统的输出。当前的输出只依赖于当前和过去的输入，而与将来的输入无关，因此w(t′)与f(t′-jΔt)互相独立，故

Rwf(t′,jΔt)=0

(5)

将式(5)代入式(4)，可确定Ai(t′)

(6)

其展开式为

1.2时变模型系数L(t)的确定

在某时刻t=t′时，将式(2)两边同时右乘w(t′)，并取数学期望，有

Rfw(t′,0)=

(7)

当前输入w(t′)与过去输出f(t′-iΔt)互相独立，则

Rfw(t′-iΔt,iΔt)=0

(8)

将式(8)代入式(7)，可得

Rfw(t′,0)=L(t′)Rww(t′,0)

(9)

根据白噪声的特性，有Rww(t′,0)=1，则

Rfw(t′,0)=L(t′)

(10)

再一次将式(2)两边同时右乘f(t′)，并取数学期望，有

L(t′)Rwf(t′,0)

(11)

又因为

Rwf(t′,0)=E[w(t′)f(t′)]=

E[f(t′)w(t′)]=Rfw(t′,0)

(12)

将式(10)和(12)代入式(11)，有

Rff(t′,0)=

(13)

令A0(t′)=-1，则

(14)

因此，时变模型系数Ai(t′)和L(t′)，t′=1,2,3,…，可分别根据式(6)和(14)来确定。

2非线性平移过程

非高斯随机过程y(t)可通过潜在高斯随机过程f(t)进行非线性平移转换。

h4(f3(t)-3f(t))]

(15)

(16)

(17)

为了使得式(15)的非线性平移可逆，形状系数需满足

(18)

则非高斯随机过程的偏度和峰度需满足下列关系

(19)

当具有目标功率谱的标准化高斯随机过程，经过式(15)非线性平移前后，生成的标准化非高斯随机过程的功率谱必然发生非线性变化。因此，标准化非高斯随机过程的目标功率谱不能直接作为高斯随机过程目标功率谱进行模拟。为此，需要建立标准化非高斯随机过程的目标功率谱与高斯随机过程目标功率谱的转化关系。根据Pristley的“进化谱”理论[11]，一零均值非平稳随机过程可表示为：

(20)

式中:A(ω,t)为非均匀调制函数；Z(ω)为一正交过程，且满足

E[dZ(ω)]=0

(21)

E[dZ*(ω)dZ(ω′)]=J(ω)δ(ω-ω′)dωdω′

(22)

其中:*表示共轭，δ为狄拉克函数。则非平稳随机过程的均值为

(23)

相关函数为

Rff(t,τ)=E[f*(t)f(t+τ)]=

τ)e-iωteiω′(t+τ)E[dZ*(ω)dZ(ω′)]=

(24)

当τ=0时，

(25)

因此，进化谱S(ω,t)可通过一时频函数A(ω,t)对功率谱的非均匀调制来表示[12]，即

(26)

根据式(24)和式(26)，可建立非平稳随机过程的相关函数与时变功率谱之间的关系

Rff(t,τ)=E[f*(t)f(t+τ)]=

(27)

根据相关函数与功率谱之间的相互转换关系，非高斯随机过程与高斯随机过程的目标功率谱之间的非线性关系，可通过目标相关函数之间的非线性关系进行表达。

根据式(15)的非线性平移，标准化的非高斯随机过程的相关函数可表示为

ρx(t,τ))·dx(t)·dx(t+τ)=

α[f(t+τ)+h3(f2(t+τ)-1)+

h4(f3(t+τ)-3f(t+τ))]×

φ(f(t),f(t+τ),ρf(t,τ))·df(t)·df(t+τ)

(28)

其中:ψ为具有相关系数ρx的两非高斯随机过程的联合概率密度函数；φ为具有相关系数ρf的两高斯随机过程的联合概率密度函数。

(29)

而相关函数与相关系数的转化关系为

R(t,τ)=ρ(t,τ)·σ2

(30)

根据式(28)～(30)，可建立非高斯随机过程与高斯随机过程的相关系数或相关函数之间的转换关系。

3非平稳非高斯风荷载的数值模拟

为了验证上述非平稳非高斯随机过程模拟方法的有效性，本节将以具有非平稳非高斯特征脉动风速的模拟作为数值算例。在数值模拟过程中，脉动风速的目标非平稳特征主要表现在功率谱随时间变化的时变功率谱S(t,ω)，该时变功率谱可采用Davenport非均匀调制函数[13]

(31)

调制Davenport谱

(32)

目标非高斯特征主要通过偏度γ3、峰度γ4来考虑，分别假定为偏度γ3=-1.2、峰度γ4=8。根据式(16)、(17)可进一步确定非线性平移变换的形状系数h3=-0.140 6、h4=0.075 3，以及参数α=0.965 1。由该非线性平移变换可知，在生成具有目标非高斯特征的非平稳随机过程之前，首先需要模拟潜在的非平稳高斯随机过程。根据式(27)～(30)，可建立非平稳非高斯随机过程与潜在的非平稳高斯随机过程之间的相关系数转换关系如1图所示。

图1　高斯与非高斯随机过程相关系数之间的转换关系 Fig.1 The transformation relationship of the correlation coefficients between Gaussian and non-Gaussian random processes

基于时变AR模型生成潜在的非平稳高斯随机过程见图2，并将其经过非线性平移变换生成的非平稳非高斯脉动风速见图3。对多组脉动风速样本进行功率谱估计，其估计谱(见图4)明显具有如图5所示的目标时变功率谱的时变特征。任意时刻估计谱与目标谱的对比见图6，在该图中四个任意时刻的估计谱均与目标谱基本吻合，且相应的相关函数也与目标相吻合见图7。在时间上统计平均的功率谱、相关函数也均与目标基本吻合见图8、9。因此，模拟的脉动风速具有目标特征的非平稳特性。

图2　模拟的非平稳高斯随机过程 Fig.2 Thesimulated non-stationary Gaussian stochastic process

图3　非线性平移生成的非平稳非高斯脉动风速 Fig.3 Thegenerated non-stationary non-Gaussian fluctuating wind velocity through nonlinear translation

图4　脉动风速样本时变谱 Fig.4 The time-varying power spectrum of the fluctuating wind velocity

图5　脉动风速的目标时变谱 Fig.5 The target power spectrum of the fluctuating wind velocity

图6　脉动风速瞬时估计谱与目标谱的对比 Fig.6 Instantaneous power spectrums of the fluctuating wind velocity with regard to the corresponding targets

图7　脉动风速的瞬时相关函数与目标相关函数的对比 Fig.7 Instantaneous correlation functions of the fluctuating wind velocity with regard to the corresponding targets

为了进一步说明模拟的有效性，图10、11展示了脉动风速高阶统计特征值(即偏度值、峰度值)的估计。图中所示的脉动风速的任意时刻偏度和峰度尽管都在其各自均值附近有一定的离散性，但其方差均较小分别为0.2和2.4；而其偏度均值为-1.18接近于目标偏度值-1.2，峰度均值7.7也接近于目标峰度值8，说明了模拟的脉动风速具有目标非高斯特征。因此，模拟的脉动风速具有目标非平稳、非高斯特征，说明了非平稳非高斯随机过程模拟方法的有效性。该方法建立在AR模型基础上，受到AR模型本身模拟精度的影响，尽管在模拟中存在一定误差，但在工程中是可以接受的。因此，该方法可应用于精度要求较低的工程中。

图8　脉动风速统计平均估计谱与目标谱的对比 Fig.8 Temporal average power spectrum of the fluctuating wind velocity with regard to the corresponding target

图9　脉动风速统计平均相关函数与目标相关函数的对比 Fig.9 Temporal average correlation function of the fluctuating wind velocity with regard to the corresponding target

图10　脉动风速的偏度 Fig.10 The skewness of the fluctuating wind velocity

图11　脉动风速的峰度 Fig.11 The kurtosis of the fluctuating wind velocity

4结论

为了有效地模拟具有目标非平稳、非高斯特征的随机过程，本文提出了基于时变AR模型的非平稳非高斯随机过程的模拟方法。该方法通过建立非高斯与高斯随机过程之间相互转换的非线性平移关系，以及非线性平移前后高斯与非高斯随机过程的功率谱或相关函数的转换关系，可将非平稳非高斯随机过程转化为非平稳高斯随机过程的模拟。而非平稳高斯随机过程可通过建立的时变AR模型进行有效的模拟。为了验证该方法的有效性，文中进行了具有目标非平稳非高斯特征的脉动风速模拟。脉动风速的时变功率谱估计表明：模拟生成的脉动风速样本的时变功率谱和相关函数均与目标基本吻合，模拟的脉动风速具有目标特征的非平稳特性。脉动风速高阶统计特征值(即偏度值、峰度值)的估计表明：非平稳脉动风速的任意时刻偏度和峰度在其各自均值附近有一定的离散性，但其方差均较小；而其偏度均值、峰度均值都非常接近于目标值。因此，模拟的脉动风速具有目标非平稳与非高斯特征，说明了非平稳非高斯随机过程模拟方法的有效性。

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