级联双稳随机共振和基于 Hermite 插值的局部均值分解方法在齿轮故障诊断中应用

第一作者李永波男，博士生，1986年8月生

通信作者徐敏强男，教授，博士生导师，1960年生

级联双稳随机共振和基于Hermite插值的局部均值分解方法在齿轮故障诊断中应用

李永波,徐敏强，赵海洋，张思杨，黄文虎

(哈尔滨工业大学深空探测基础研究中心，哈尔滨150001)

摘要：针对于弱信号在齿轮故障中难以提取问题，提出了一种基于级联双稳随机共振 (Cascaded Bistable Stochastic Resonance，CBSR)降噪和局部均值分解(Local Mean Decomposition，LMD)齿轮故障的诊断方法。随机共振可有效削弱信号中的噪声，利用噪声增强故障信号的微弱特征；LMD方法可自适应将复杂信号分解为若干个具有一定物理意义上PF分量之和，适合处理多分量调幅调频信号。首先将振动信号进行CBSR消噪处理，然后对消噪信号进行LMD分解，通过PF分量的幅值谱找到齿轮的故障频率。通过齿轮磨损故障诊断的工程应用，表明该方法可以有效提取齿轮故障微弱特征，实现齿轮箱的早期故障诊断。

关键词：级联双稳随机共振 局部均值分解 故障诊断 齿轮

基金项目：国家自然科学基金资助项目(10772061)

收稿日期：2013-09-09修改稿收到日期：2014-02-20

中图分类号:TH165.3文献标志码：A

Application of cascaded bistable stochastic resonance and Hermite interpolation local mean decomposition method in gear fault diagnosis

LIYong-bo,XUMin-qiang,ZHAOHai-yang,ZHANGSi-yang,HUANGWen-hu(Deep Space Exploration Research Center, Harbin Institute of Technology, Harbin 150080, China)

Abstract:Aiming at the difficulty of extracting the weak signal in gear fault diagnosis, a method for gear fault diagnosis based on cascaded bistable stochastic resonance(CBSR)denoising and local mean decomposition(LMD)was proposed. The technique of stochastic resonance can remove noise in signals effectively and make use of noise to strengthen the weak fault feature; LMD can decompose a complicated signal into several stationary PF (product function) components with reality meanings, so it is very suitable to analyze the multi-component amplitude-modulated and frequency-modulated signals. Here, the CBSR was employed in the pretreatment to remove noise in vibration signals, the denoised signal was decomposed with LMD, and then the fault frequency of gear was found by inspecting the amplitude spectra of PF components. The engineering application of the method in fault diagnosis of gear wear demonstrated that it can extract the weak feature of gear fault effectively and realize the early gear fault diagnosis.

Key words:cascaded bistable stochastic resonance; local mean decomposition; fault diagnosis; gear

在实际的旋转设备中，由于现场环境恶劣，例如振动传递路径的多变、强背景噪声以及多分量的振动源激励等，导致测点信号的信噪比低、特征微弱且噪声污染信号严重[1]。因此在设备早期故障阶段，特征信号往往会被淹没，难以实现早期故障诊断。微弱特征提取方法较多，多是以尽量消除或抑制噪声为主，然而对于特殊非线性系统，此方法在降低噪声同时也削弱了特征信号。随机共振[2]是利用输入信号的噪声，在非线性系统的协同作用下达到共振输出，使能量从高频向低频转移，从而在削弱噪声的同时加强微弱信号，实现微弱的特征有效提取。文献[3]提出了采用级联双稳随机共振的方法，使能量不断从高频向低频转移，即高频噪声能量逐级削减，低频调制信号能量逐级被加强，适用于从强背景噪声下提取微弱信号。

对齿轮进行故障诊断时，多采用振动信号来获取齿轮故障的特征，由于齿轮在传递过程中产生振动信号为多分量的调幅调频信号，在处理过程中常采用时频的处理方法如：窗口傅里叶变换[4]、小波变换[5]和Hilbert-Huang[6]变换(HHT)等。但这些方法都有局限性，窗口傅里叶变换的时频窗口不可调，小波变换的时频窗口虽可调，但对信号的局部特征不具有自适应性。HHT是一种自适应的信号处理方法,但是在解调过程中会出现端点效应、模态混淆和无法解释的负瞬时频率等。在此基础上Smith等[7-8]提出一种新的自适应的时频分析方法-局部均值分解LMD,并首先在脑电图领域上使用。LMD可将一复杂的叠加信号分解为一系列的PF(Product Function)分量和一个余项之和，每个PF分量是由一个包络信号a(t)和一个纯调频信号sn(t)相乘得到，包络信号可由瞬时幅值的乘积得到，而瞬时频率可由纯调频信号求得，因此LMD方法可自适应将多分量信号自适应分解为若干个单分量的调幅-调频信号[9],鉴于齿轮振动信号具有的多分量耦合特性，LMD是其理想的信号分析方法。

针对齿轮振动信号的强背景噪声和多分量耦合特性，提出一种基于CBSR消噪和Hermite插值的LMD齿轮故障研究方法。该方法利用CBSR系统将高频噪声能量逐级向低频故障特征转移，可有效降低高频噪声对LMD分解的影响，同时借助Hermite插值作为极值点包络线拟合方法，得到更精确的包络估计函数，从而实现对含噪信号的准确分解。通过仿真信号验证该方法的有效性，并将其应用到齿轮箱振动信号的故障诊断中。

1基于CBSR消噪和Hermite插值的LMD方法

LMD作为一种新时频分析方法，具有良好的非线性、非平稳信号分析能力，已在机械故障诊断领域得到了广泛应用。但是由于实际振动信号中往往夹杂大量噪声，LMD在进行由高频到低频自适应分解时，由于受到噪声影响，得到的PF分量数目增加，产生冗余分量，严重时会导致不收敛。当噪声较大，而故障调制信号微弱时，LMD分解会致使故障信号与噪声信号的混叠，难以提取故障特征，甚至会导致信号的突变，导致分解结果严重失真，影响了LMD分解的准确性。

由于LMD存在上述问题，因此在进行分解时需要对信号进行降噪预处理，文献[10]提出了小波包降噪和LMD相结合的方法，即首先使用小波包进行降噪处理，后进行LMD分解。但由于小波降噪实质是通过抑制噪声的方式来提高信噪比，当噪声频率与故障特征频率相近时，在削弱噪声的同时会削弱故障信息，使得故障信号难以提取[11]。本文提出基于CBSR消噪与LMD相结合的方法，CBSR能够逐级削弱噪声，同时加强弱故障信号，相比于小波包降噪更加适用于弱故障信号的特征提取。将信号经过CBSR处理，降低噪声对LMD的影响，提高LMD分解质量。

1.1级联双稳随机共振理论

(1)随机共振基本原理

双稳随机共振系统[12]是指小周期信号驱动下，系统输出不能发生跃迁，只能在一个稳态上，而当在弱噪声和小周期信号共同作用下，随着噪声强度的增加，当两者达到最佳匹配关系时，系统输出发生跃迁，输出信号放大最明显。双稳随机共振系统如图1所示：

图1　双稳随机共振系统 Fig.1 Bistable stochastic resonance system

随机共振系统由3个不可缺少的因素组成：非线性系统、周期信号s(t)和噪声信号n(t)，通常用非线性郎之万方程(Langevin)来描述双稳态系统：

(1)

E[n(t)n(t′)]=2Dδ(t-t′)

(2)

式中:D为噪声强度，δ(t)为冲击函数。

当A=D=0时，即没有外部周期驱动力和噪声，由上式联立得出势陷阱方程为：

(3)

图2　双稳系统势陷阱图 Fig.2 Bistable system potential pitfalls diagram

实际采样过程中，采样频率一般设置较高，不满足随机共振的绝热近似理论小参数的要求[11]。本文采用二次采样的方法，首先对大参数信号进行重新采样，从高频到低频进行线性压缩，使其变为小参数信号，将小参数信号输入随机共振系统进行共振处理，然后将处理完的数据按照压缩尺度还原为大参数信号，使得随机共振在大参数下得以应用。

(2)CBSR系统

CBSR系统是将单个双稳随机共振系统前后进行串联得到，流程如图3所示。通过双稳随机共振系统的输出信号，具有洛伦兹分布的特性，即高频谱能量被逐级递减，低频谱能量则被加强。图4(a)是含噪声的两正弦信号的叠加，频率分别为f1=20 Hz，f2=400 Hz，在图4(b)中可以清楚的看到两个特征频率。图4(c)、(e)和(g)是经1级、2级和3级CBSR系统输出后的时域波形图，其相对应的频谱图为图4(d)、(f)和(h)，将图

4(b)与图4(d)、(f)和(h)相对比，发现高频谱能量被逐级递减，低频谱能量则被加强。将图4(a)与(c)、(e)和(g)相对比，发现随着级联级数的增加，高频成分被逐级滤除，在时域上呈现为输出波形变得逐渐光滑，提高信噪比的同时达到了对信号的整形。

图3　CBSR系统 Fig.3 CBSR system

图4　含噪信号级联双稳随机共振输出 Fig.4 Noisy signals and CBSR output

1.2基于Hermite插值的LMD算法

LMD分析方法的本质是从原始信号中分离出一个纯调频信号和一个包络信号,将该纯调频信号和包络信号相乘便可以得到一个单分量的PF,将具有物理意义的PF分量从原始信号中分离出来并进入下一次迭代，循环处理至所有的PF分量被分离出来，剩余一单调函数为止。其中PF分量的幅值为对应包络函数，瞬时频率由纯调频信号sin(t)通过式(4)求出。

(4)

LMD在分解过程中，局部均值函数m(t)和包络估计函数a(t)都是采用滑动平均法获得，由于滑动平均法在平滑处理过程中会产生相位误差，导致局部均值函数m(t)和包络估计函数a(t)的失真，影响了LMD分解结果的准确性。三次样条(spline)插值法[13]可有效解决上述问题，但因其在节点处具有二阶导数连续的特性，对于非光滑信号会产生过包络和欠包络现象。标准三次 Hermite 插值法是一种工程中广泛应用的插值曲线构造方法，相比于三次样条插值，它构造的曲线仅要求节点处一阶导数连续，这样既能保证各点的连续性和平滑性又使其具有优良的保形特性，更适合于具有非平稳非线性的齿轮箱振动信号的包络拟合。因此本文采用Hermite插值的方法构造包络线，首先利用Hermite插值函数分别拟合信号的局部极大值点和局部极小值点，获得信号的上包络线Eup(t)和下包络线Elow(t)，然后局部均值函数m(t)由式(5)求得，包络估计函数a(t) 由式(6)求得。

(5)

(6)

完成局部均值函数m(t)和包络估计函数a(t)后，则按照LMD原方法循环求解各PF分量，直至循环结束。

1.3基于CBSR消噪和Hermite插值的LMD方法的算法流程

该算法首先将含噪信号输入CBSR系统降噪，然后将共振输出信号进行LMD分解，提高其分解质量，具体步骤如下：

(1)将原始含噪信号x(t)进行二次采样使其满足随机共振绝热小参数的要求。

(2)将小参数信号输入CBSR系统进行降噪得到xn(t)。

(3)将xn(t)还原为原始信号采样频率。

(4)计算得出原始信号xn(t)的极值点序列nk，对其进行端点延拓，得到新的极值点序列Xk。

(5)从极值点序列Xk一端开始，选取局部相邻的极大(或小)值点，利用Hermite插值法进行连线，生成上下包络线，分别记为Eup(t)和Elow(t)。

(6)利用式(5)和式(6)计算得到局部均值函数m(t)和包络估计函数a(t)。

得到局部均值函数和包络估计函数后，继续执行LMD的后续步骤即可以实现基于CBSR消噪和Hermite插值的LMD的算法，算法流程见图5所示。

图5　基于CBSR消噪和Hermite插值的LMD算法流程图 Fig.5 Flow chart of the CBSR denoising and Hermite interpolation LMD

2仿真数据试验

为了说明经CBSR系统降噪处理后可提高LMD的分解质量，本文选取仿真信号x(t)的表达式为：

该仿真信号由一个调幅信号x1(t)和一个调频信号x2(t)组成，同时掺杂有白噪声，设定采样频率为1 000Hz,采样点数为2 048。

图6　含噪信号的时域波形 Fig.6 Waveforms of noisy signal

为了说明级联双稳随机共振和Hermite-LMD方法的优越性，分别同小波降噪和spline-LMD方法、级联随机共振和spline-LMD方法进行对比，三种方法均以镜像延拓法降低端点效应的影响，迭代终止条件误差设置为10-4。设定二次采样频率为5 Hz, 随机共振参数a=0.1，b=1，采用2级随机共振降噪。三种方法的分解结果如图7、图8和图9所示。

图7　小波降噪输出后spline-LMD分解结果 Fig.7 spline-LMD results of the wavelet denoising output

图7是原信号进行小波降噪后的spline-LMD分解结果，从图中可以看出，分解的结果严重失真，失去分解的物理意义。

图8　级联随机共振输出后spline-LMD分解结果 Fig.8 Spline-LMD results of the CBSR output

图8和图9是原信号进行2级CBSR降噪后的spline-LMD和Hermite-LMD分解结果，从图8中可看出经CBSR处理后spline-LMD分解为5个PF分量和一个残余分量，高频成分有所减少，未见高频分量，其中PF1分量对应调频信号x2(t),PF2分量对应调幅信号x1(t)，虽然都存在局部失真，但较图7已有较大改进。图9中可看出Hermite-LMD分解为三个PF分量和一个残余分量，高频成分基本滤除，能够清晰地找出调频信号x2(t)和调幅信号x1(t)(分别对应PF1分量和PF2分量)，能够较准确分解出有效成分。与图7对比发现，经过CBSR处理后， LMD的分解层数减少，分解的准确度明显提高，优于其他两种方法分解的结果。

图9　级联随机共振输出后Hermite-LMD分解结果 Fig.9 Hermite-LMD results of the CBSR output

3齿轮磨损故障诊断实例

本文中采用的试验台是江苏千鹏旋转机械振动故障试验平台，如图10(a)所示，该试验台可变速模拟在不同转速条件下的故障特征，其型号为QPZZ-Ⅱ，该试验台的组成为：电力驱动系统、齿轮箱及磁粉制动器。电力驱动系统为变频异步电动机，其调速范围是0~1 500 r/min；本实验台所用的齿轮箱从输入端到输出端只有一对齿轮啮合形成单级传动，即为一级齿轮箱，具有减速的特性，表1为齿轮的几何参数。通过磁粉制动器模拟齿轮箱工作负载，其型号为CZ-0.5，额定转矩为5N·M。小齿轮的转速为1 500 r/min,由此可得齿轮的啮合频率为fm=1 375 Hz, 大齿轮轴的转动频率为f1=18.33 Hz，小齿轮轴的转动频率为f2=25 Hz，设定采样频率为fs=10 000 Hz。

表1　齿轮箱齿轮的几何参数

图10　机械振动故障试验平台 Fig.10 The fault experiment platform of mechanical vibration

本试验台所用故障件是齿轮箱中的大齿轮，在试验过程中，利用已磨损的齿轮，模拟齿轮箱传动机构长期使用的磨损故障。在轮齿齿面两侧各磨0.1 mm，其故障注入部位如图10(b)所示。

根据齿轮箱的结构特点，在齿轮箱轴承底座处故障敏感部位设置了测点，利用加速度传感器测试齿轮箱振动信号，振动信号的时域波形如图11所示。

图11　齿轮箱轻度故障的加速度信号 Fig.11 The acceleration signal of gear with tiny faults

在齿轮故障诊断中，齿轮的故障振动信号是以齿轮箱系统的共振频率为载波频率，以齿轮故障特征频率为调制频率的调幅信号，由于内部运动部件较多，实测信号可认为是由多个调幅信号耦合而成。因此，齿轮箱的振动信号是典型的非平稳多分量信号，适合用LMD方法进行分解。当齿轮存在局部磨损故障时，在啮合时会产生冲击振动，其信号的幅值和相位发生变化，产生幅值和相位调制，在频域上产生以啮合频率为中心以磨损轴转频为间隔的调制边频带，通过对边频带识别可以对齿轮故障进行诊断。而当齿轮出现断齿故障时，其边频带变现为数量较多、幅值较大、分布较宽。当齿轮出现点蚀故障时，其边频带数量稀少且分布稀少。

为验证本文提出方法对齿轮箱故障特征的提取能力的优越性，分别采用基于小波降噪和spline-LMD、基于CBSR降噪和spline-LMD和基于CBSR降噪和Hermite-LMD的方法对故障信号进行分解。分解过程中以镜像延拓法降低端点效应，迭代终止条件的误差设置为10-3，采用2级CBSR系统降噪，参数设置如下：二次采样频率为10 Hz,a=1，b=1，进行2级降噪。由于分解结果中的前几个PF分量包含了设备状态的主要信息，所以仅给出了各种方法分解结果的前四个PF分量，分别如图12~图14所示。

图12是三次样条(spline)插值法的分解结果，发现PF3分量在0.5至1 s时间段产生了突变，无法继续分解，而另两种方法能顺利完成分解，说明了随机共振降噪相比于小波降噪的优越性。

为说明Hermite插值形成包络线的优越性，截取分解过程中0.005-0.007 s时间段信号进行对比，如图15所示。其中三次样条插值的构成的上下包络线为实

图12　小波降噪后进行spline-LMD法的分解结果 Fig.12 Spline-LMD decomposition results of the wavelet deniosing output

图13　级联随机共振输出后spline-LMD法的分解结果 Fig.13 Spline-LMD decomposition results of the CBSR output

图14　级联双稳随机共振输出 Hermite-LMD法的分解结果 Fig.14 Hermite-LMD decomposition results of the CBSR output

线，从图中发现有明显的过包络现象，从而导致LMD分解结果失真。同样应用Hermite插值法对该段信号进行上下包络，如图15中虚线所示，发现采用Hermite插值较好避免了过包络现象，对信号包络较好，说明了Hermite插值法对非平稳信号具有良好的适应性。

图15　三次样条和Hermite插值的包络结果 Fig.15 The envelopes of the cubic spline and Hermite interpolation

由于齿轮故障信号激起的共振频率多分布在信号的高频段，调制频率分布于低频段。因此，进一步对PF(t)分量的瞬时幅值a(t)做FFT变换，得到瞬时幅值的幅值谱，进行频谱分析，可得出齿轮箱内部运动部件的激励频率，以此评定设备运行状态。分别对基于小波降噪和spline-LMD、基于CBSR消噪和spline-LMD和基于CBSR消噪和Hermite-LMD的方法的第一个PF分量的瞬时幅值进行频谱分析，频谱图如图12和图13所示。

由图16可知，在基于小波降噪和spline-LMD方法的频谱中没有找到故障频率(即故障齿轮的转动频率为f1=18.33 Hz)，而在基于CBSR降噪和spline-LMD、基于CBSR降噪和Hermite-LMD方法的频谱中在故障频率处均出现了峰值，说明信号经CBSR系统处理后，故障调制信号被加强，噪声信号被减小，提高了信号的信噪比，然后经LMD分解后能够发现故障信息。验证了CBSR降噪和LMD方法应用于齿轮故障诊断的有效性，相比于小波降噪方法，它能够更加准确的捕捉到故障微弱特征，并提高LMD分解的质量。

图16 基于小波和spline-LMD方法的PF1分量幅值频谱Fig.16TheamplitudespectrumsofthePF1componentsofwaveletandspline-LMDmethod图17 基于CBSR和spline-LMD方法的PF1分量幅值频谱Fig.17TheamplitudespectrumsofthePF1componentsofCBSRandspline-LMDmethod图18 基于CBSR和Hermite-LMD方法的PF1分量幅值频谱Fig.18TheamplitudespectrumsofthePF1componentsofCBSRandHermite-LMDmethod

对比图17和18可以发现，三次样条插值法中，故障频率周边有较多峰值干扰，故障频率不明显，而Hermite插值法比三次样条插值法的故障频率以及其它倍频的峰值更加显著。为了进一步说明本文提出方法的有效性，将两种方法的幅值频谱进行归一化对比，如图19所示。可以看出，spline-LMD方法的故障频率幅值明显低于Hermite-LMD方法且在故障频率的二倍频处没有峰值。因此，基于CBSR消噪和Hermite插值LMD方法可以更加准确地诊断出齿轮磨损的早期故障。

图19　级联双稳随机共振输出后 spline-LMD和Hermite-LMD的幅值谱 Fig.19 The amplitude spectrum of the spline-LMD and Hermite-LMD method after the CBSR output

4结论

提出了CBSR与基于Hermite插值的局部均值分解相结合齿轮故障诊断的方法。

(1)针对强背景噪声下，直接采用LMD法难以提取弱的故障特征，提出将信号进行CBSR降噪处理后进行LMD分解的方法，CBSR系统基于非线性低通滤波原理，将高频噪声能量逐级向低频故障特征转移，降低高频噪声对LMD分解的影响，提高LMD分解的准确性；

(2)给出了CBSR消噪与LMD分解相结合的算法流程，并通过仿真数据试验验证了该方法优越性；

(3)以齿轮箱齿轮故障振动信号为对象，验证了该方法对弱故障信号提取的有效性，实现了齿轮箱早期磨损故障的准确诊断。

此外，在CBSR中二次采样频率取值范围的确定仍无理论依据，还有待进一步研究。

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