角三等分器的巧作

黄驹

摘 要 介绍角三等分器的结构、使用方法及制作原理。

关键词 初中数学；角三等分器；尺规

中图分类号：G633.63 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2015）21-0024-03

1 前言

初中数学人教版八年级上册“角平分线的性质”一节介绍了尺规二等分已知角的方法，学生学习以后往往提出如何三等分已知角？教材没有也不可能有尺规三等分已知角，用度量的方法三等分，学生虽然易学，但太乏味。为了迎合学生的求知欲，笔者制作了“角三等分器”，既能复习“等腰三角形的性质”，渗透“切线长定理”，又能激发学生的学习积极性。

2 简图结构及使用方法

角三等分器的简图结构 如图1所示，线段A1M1垂直平分AO于点A1，A1A2是半圆O的直径，其中A1M1=30，AO=12。

简图结构的使用方法 如图2所示，调节角三等分器与被三等分角之间同时满足“一切二过”，便能作出已知角的二条三等分线（以三等分已知∠GHN为例），步骤如下。

1）调节角三等分器的半圆与∠GHN的一边相切。（一切）

2）调节角三等分器，使线段A1M1经过角的顶点H（若角的边较长，可调节点M1与角的顶点H重合）。（一过）

3）调节角三等分器，使∠GHN的另一边HG经过点A。（二过）

4）分别记下点A与点O的位置。

5）分别作射线HA1和HO，则射线HA1和HO就是∠GHN的二条三等分线。

【注】此时利用了角三等分器的点A2（即利用过点A2的半圆）、O、A1（利用过点A1的垂线）和点A。为了便于利用图4三等分已知角，在此把A2、O、A1、A称为“第一组有效点”。

3 制作原理

已知：如图3所示，△HAO中，HA=HO，HA1⊥AO于A1，半圆O分别切HA1和HN于A1、P。

求证：HA1、HO是∠GHN的二条三等分线。

证明：∵HA=HO，HA1⊥AO于A1

∴∠α=∠β（等腰三角形底边上的高平分顶角）

∵半圆O分别切HA1和HN于点A1、P

∴∠β=∠γ（切线长定理）

∴∠α=∠β=∠γ

即HA1、HO是∠GHN的二条三等分线。

4 简图结构的局限性

如图3所示，∵线段A1M1=30，而AA1=1/2·AO=1/2×12=6

∴在Rt△M1AA1中，ctgα=A1M1 /AA1=30/6=5

∴∠α=11°19′

∴3∠α=11°19′×3=33°57′

即简图结构存在只能三等分大于或等于33°57′的角的局限。

5 简图结构的完善制作及使用方法

简图结构的完善制作 如图4所示，为了能够三等分小于33°57′的角（且不用延长角的两边），必须对简图结构加以完善，完善制作过程如下。

1）作出半圆O的半径OA1的六等分点B1、C1、D1、E1、F1。

2）分别过点B1、C1、D1、E1和F1作OA1的垂线B1M2、C1M3、D1M4、E1M5和F1M6。

3）作半圆O的半径OA2的六等分点B2、C2、D2、E2和F2。

4）以O为圆心，分别以OB2、OC2、OD2、OE2和OF2为半径作出五个圆心角为直角的同心扇形，至此初步完善了角三等分器的结构，则：点B2、O、B1和B为第二组有效点；点C2、O、C1和C为第三组有效点；点D2、O、D1和D为第四组有效点；点E2、O、E1和E为第五组有效点；点F2、O、F1和F为第六组有效点。

不延长角的两边，利用三等分器三等分小于33°57′的角的方法 如图5所示，不延长角的两边，利用角三等分器三等分等于27°的∠RIQ。因为不延长角的两边，若利用简图结构（即利用第一组有效点A2、O、A1、A）三等分此角，显然无法同时满足“一切二过”，所以必须考虑利用第二组有效点（B2、O、B1、B）来三等分。容易发现利用第二组有效点仍无法同时满足“一切二过”，故改用第三组有效点（C2、O、C1、C）来三等分此角。步骤如下。

调节角三等分器，使过点C2的弧与角的一边IQ相切；使过点C1的垂线C1M3经过角的顶点I；使角的一边IR经过点C；记下点C1和O的位置；分别作射线IC1和IO，则IC1和IO就是∠RIQ的二条三等分线。

【注】∵线段DD2、EE2、FF2都小于CC2

∴利用第四组、第五组和第六组有效点均能三等分∠RIQ

增设第七组有效点能够三等分最小的角的度数为2°51′ 如图6所示，以O为圆心，以F1O为半径作小半圆O交F1F2于点F1和F2′，过点F1′作M7F1′⊥F1F2，则F2′、O、F1′、F1为第七组有效点。

过点M7作小半圆O的切线M7N，切点为N，连结M7F1得∠F1M7N，为被三等分的最小的角（射线M7F1′和M7O为二条角的三等分线）。

在Rt△F1F1′M7中，F1F1′=0.5，M7F1′=30

∴tg∠F1M7F1′=F1F1′/M7F1=0.5/30≈0.0167

∴∠F1M7F1′=57′

∴∠F1M7N=3∠F1M7F1′=3×57′=2°51′

被三等分角（θ）的取值范围 2°51′≤θ≤270°。endprint