Duffing振子激励下平板声振特性研究

第一作者周奇郑男，博士生，1985年2月生

通信作者王德石男，教授，博士生导师，1963年2月生

Duffing振子激励下平板声振特性研究

周奇郑，王德石

(海军工程大学兵器工程系,武汉430033)

摘要：针对非线性振动激励下结构声辐射问题，由变分原理导出Duffing振子激励下平板声振耦合动力学方程，由模态展开法及增量谐波平衡法导出轻流体中耦合动力学方程的近似解析解，给出多频激励下平板表面平均振速及辐射声功率表达式，研究激励力频率、非线性项对系统振动及声辐射特性影响。结果表明，Duffing振子激励下平板的声振耦合问题为含离散与连续系统的复杂动力学问题；耦合运动下Duffing振子出现二次跳跃现象与新的共振特性；平板声振特性主要由三次谐波决定。研究结果可为隔振结构的声振设计提供理论依据。

关键词：Duffing振子；平板；非线性激励；增量谐波平衡法；声振特性

收稿日期：2013-06-09修改稿收到日期：2013-09-10

中图分类号:THO322文献标志码：A

基金项目：国家自然科学基金(61071198)；浙江省自然科学基金(LY13F010015)；宁波市自然科学基金(2012A610019)

Vibro-acoustic characteristics of a plate under Duffing oscillator’s excitation

ZHOUQi-zheng,WANGDe-shi(Department of Weaponry Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China)

Abstract:Aiming at the acoustic radiation problem of a structure under nonlinear vibration excitations, the vibro-acoustic coupled dynamic equations of a plate under Duffing oscillator’s excitation were derived based on the variational principle. The approximately analytical solution to the coupled equations in light liquid was obtained with the modal expansion and incremental harmonic balance method (IHBM). The expressions of the average vibration velocity of the plate surface and the acoustic radiation power under multi-frequency also were derived. Then, the influences of excitation frequency and nonlinear stiffness on the nonlinear vibration and acoustic radiation of the plate were investigated. The results showed that the vibro-acoustic coupled problem of the plate under Duffing oscillator’s excitation is a complex dynamic problem containing discrete and continuous systems; there are second jump phenomena and new resonant characters in Duffing oscillator’s motion; the vibro-acoustic characteristics of the plate depends upon the third harmonic component. The results provided a theoretical base for the vibro-acoustic design of vibration isolation structures.

Key words:duffing oscillator; plate; nonlinear excitations; IHBM; vibro-acoustic characteristics

由于非线性振子运动状态不唯一，导致激励力频率特性不确定，使非线性振动激励下结构振动及声辐射问题成为研究难点。Duffing振子系统为一类典型的非线性动力学系统，研究其激励下平板的声振耦合问题更具普遍意义。

文献[1]对含弱非线性项Duffing方程的近似解析解各种求法进行系统总结。文献[2]用FFT及谐波平衡法对非线性隔振系统动力学特性进行研究。文献[3]通过总结增量谐波平衡法(IHBM)在分析干摩擦问题、概周期振动分析、分段线性非线性振动问题等方面应用，认为IHBM可与有限元法结合成为对复杂结构非线性振动进行频域分析的通用方法。Maidanik等[4-7]通过计算无限大刚性障板中简支板单模态辐射阻抗，分别采用傅里叶变换、Rayleigh-Ritz及泰勒级数替代等方法对简谐激励下板的声辐射问题进行研究。Li等[8-9]采用坐标变换与级数替代研究矩形板的互辐射阻抗发现，耦合模态对模态辐射效率及声功率影响较小，并导出所有频段内板声辐射阻抗的级数表达式，为本文研究非线性激励下平板声辐射特性奠定了基础。目前，板非线性振动方面研究主要集中在非线性应力或应变引起的非线性振动问题[10-11]，关于非线性激励的研究较少。

本文针对非线性振动激励的结构声辐射问题，建立Duffing振子激励下平板结构声振耦合动力学模型，由变分原理推导系统的动力学方程。采用IHBM及模态展开法获得耦合动力学方程近似解析解，研究激励力频率、非线性项对平板振动及声辐射特性影响。

1Duffing振子激励下板声振动力学分析

Duffing振子激励下板的声振耦合动力学模型见图1。在支撑薄板上建立坐标系，板长为a，宽为b。设在质量为m的设备上作用激励力f(t)=Fcos(ωt)，弹簧的线性与三次非线性刚度系数分别为k1及k3，隔振器作用于薄板位置为(x0,y0,0)，不考虑板振动时，设备的振动方程即为典型的Duffing方程。

图1　Duffing振子激励板声振模型 Fig.1 Vibro-acoustic model ofplate under Duffing oscillator’s excitation

设板厚h，材料密度ρ，杨氏模量E，泊松比μ，中面各点只作沿z轴方向微幅振动，振动位移为w。据变分原理推导Duffing振子激励下平板的声振耦合动力学方程。据薄板理论，板的势能可表示为

(1)

板的动能为

(2)

设备的动能为

(3)

弹簧的弹性势能为

(4)

外力做功包括施加于设备的激励力与作用于平板的声压。设该声压为p(x,y,0,t)，则声压做功为

(5)

施加于设备的外力做功为

Wf=f(t)η(t)

(6)

据变分原理，获得隔振器-平板声振耦合动力学方程为

(7)

即有

k3[η(t)-w(x0,y0,t)]3=Fcos(ωt)

k1[η(t)-w(x0,y0,t)]-k3[η(t)-

(8)

由式(8)知，Duffing振子激励下板的声振耦合动力学方程为离散系统与连续系统的结合。由于存在非线性三次刚度，致声振耦合方程中含强非线性项，故本文采用增量谐波平衡法及模态展开法推导耦合动力学方程的近似解析解。

2耦合方程求解

由于空气中声压对耦合系统影响很小，因此忽略式(8)中声压影响。对四边简支平板，其弯曲振动位移w可采用分离变量法求解[12]，设

(9)

(10)

令

τ=ωt

(11)

则式(10)成为

(12)

增量谐波平衡法为研究强非线性系统常用方法之一。该法第一步为增量，设η0，ω0，a0mn为式(12)的解，则其附近点可表示为

η=η0+Δη，ω=ω0+Δω，amn=a0mn+Δamn

(13)

代入式(12)，略去高阶小量，可得增量方程为

式中：

第二步为谐波平衡过程。由于Duffing方程的解只含余弦奇次谐波项[3]，故可设

η0(t)=a1cos(τ)+a3cos(3τ)+…

(15)

Δη(t)=Δa1cos(τ)+Δa3cos(3τ)+…

(16)

由叠加原理知

a0mn=a1mncos(τ)+a3mncos(3τ)+…

(17)

Δamn=Δa1mncos(τ)+Δa3mncos(3τ)+…

(18)

为便于推导，仅取两个谐波项。将式(15)~式(18)代入式(14)，并令方程两边相同谐波项系数相等，得

KΔa=N

(19)

式中：K的具体表达式见附录；

Δa=[Δa1，Δa3，Δa111，Δa112，…，

式中：

显然，式(19)中所含未知量数较方程数多一个，因此求解时须指定其中之一。因Δω为给定值，其余增量可唯一确定。获得Duffing振子激励的平板振动响应后即可求出平板的声辐射特性。

结构受外部激励时会发生机械振动，进而向外压缩空气并辐射噪声。利用结构振动表面声强积分可得结构辐射声功率，即

(20)

式中：H表示共轭转置。

据Rayleigh积分公式，可将空间任一观察点的声压表示为

(21)

(22)

将式(21)、(22)代入式(20)，将声功率表示为矩阵形式，即

(23)

(24)

声辐射阻抗级数表达式见文献[9]。结构表面法向振速均方值为

(25)

(26)

3系统声振特性分析

声振系统参数为：设备质量m=100 kg，k=157 200 N/m，振子与板接触位置为(a/3,b/3,0)；板的参数为：

长a=3 m，宽b=2 m，厚h=0.002 m，杨氏模量E=2.1×1011N/m2，密度ρ=7.8×103kg/m3，泊松比υ=0.3；空气密度ρ0=1.293 kg/m3，c0=344 m/s。据式(19)计算所得a1，a3随激励频率变化曲线见图2~图4。不考虑耦合运动时Duffing振子共振频率为ω= 39.6 rad/s，平板一阶共振频率为ω=113 rad/s。比较图2与图3、图4看出，a1，a3的幅频特性曲线在ω=33 rad/s、65 rad/s处发生跳跃现象，在ω=38 rad/s、74 rad/s、100 rad/s、116 rad/s、151rad/s处出现共振，其中ω=100 rad/s为主共振，主要因考虑振子及平板的耦合运动，使整个系统固有频率发生变化。在ω<65 rad/s范围内，Duffing振子三次谐波分量a3远小于基波分量a1。故在计算低频段振动响应时可不考虑高次谐波成分；而在ω>98 rad/s，Duffing振子三次谐波分量a3远大于基波分量a1。增大三次非线性刚度系数k3可降低振动分量幅值。

图2 k3=5k1时激励力频率对a1,a3影响Fig.2Theeffectofexcitationfrequencyona1anda3atk3=5k1图3 激励力频率对a1影响Fig.3Theeffectofexcitationfrequencyona1图4 激励力频率对a3影响Fig.4Theeffectofexcitationfrequencyona3

图5 谐波分量对表面平均振速影响Fig.5Theeffectofharmoniccomponentonquadraticvelocity图6 激励力频率对表面平均振速影响Fig.6Theeffectofexcitationfrequencyonquadraticvelocity图7 激励力频率对辐射声功率影响Fig.7Theeffectofexcitationfrequencyonacousticradiationpower

谐波分量及激励力影响见图5~图7。比较图5与图6、图7看出，在研究频段内，平板振动三次谐波分量起主要作用，与Duffing振子情况相反；平板表面平均振速及辐射声功率共振峰出现在ω=38 rad/s、74 rad/s、100 rad/s、116 rad/s 及151 rad/s处，与Duffing振子共振特性一致；增大三次非线性刚度系数k3可降低平板表面平均振速及辐射声功率幅值；当激励频率高于4倍Duffing振子的共振频率时，平板表面平均振速及辐射声功率幅值较低。因此，隔振器的共振频率低于设备工作频率的1/5时，才能有效降低整个系统的振动与声辐射。

4结论

本文由变分原理导出Duffing振子激励的平板声振耦合动力学方程，据边界条件，由模态展开法表示平板的弯曲振动；结合增量谐波平衡法导出轻流体中耦合动力学方程近似解析解；研究激励力频率、非线性项对系统振动及声辐射特性影响，结论如下：

(1)Duffing振子激励的平板声振耦合为包含离散与连续系统的复杂动力学问题，可用增量谐波平衡法与模态展开法推导耦合动力学方程的近似解析解；考虑振子与平板的耦合运动时，Duffing振子出现新的共振特性。

(2)平板的声振特性主要由系统三次谐波决定，隔振器共振频率低于设备工作频率的1/5时，才能有效降低整个系统的振动与声辐射。

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附录