基于喷管结构参数公差的纵向距离散布
2015-12-26骆晓臣
封 锋，骆晓臣，陈 军
（南京理工大学 机械工程学院，南京210094）
能量特性是固体推进剂的重要性能之一，也是固体火箭发动机设计、性能参数分析及优选推进剂等方面不可缺少的重要环节，是比较和评价固体火箭发动机性能优劣的主要指标［1］。比冲是评价固体火箭发动机能量特性的综合因子，与固体火箭发动机结构参数有关，在固体火箭发动机的生产制造过程中，其制造公差必然会引起比冲的散布，进而对火箭武器射程具有较大的影响［2］。
本文以俄罗斯“旋风”TG－300发动机为背景，结合能量特性模型和质点弹道模型，对发动机结构参数（喉径、扩张半角和膨胀比）公差［3］引起的比冲散布量进行研究，进而考察其对火箭纵向射程散布的影响。
1 计算模型及方法
1.1 能量特性模型
固体火箭发动机燃烧产物是一个十分复杂的混合物体系，包含s种气相组分（q＝1，2，…，s），m种凝聚相组分（j＝1，2，…，m）和l种元素（k＝1，2，…，l），当处于平衡状态时，由化学元素守恒原理知：
式中：aqk和ajk为当量系数；ngq和ncj表示1kg燃烧产物中气相组分q和凝聚相组分j的物质的量，下标g表示气相，c表示凝聚相；Nk为1kg燃烧产物中元素的总原子数。
根据Gibbs自由能判据方程，化学反应系统的吉布斯自由能在平衡时应达到最小，燃烧产物总自由能等于产物中各组分的自由能之和，由文献［4］可得：
式中：G为吉布斯自由能；R0为通用气体常数；T为燃烧总温；p为混合燃气压强；g0为标准压强下1mol组分的吉布斯自由能；ng为气相组分总的物质的量。
令混合燃气的吉布斯自由能为G（x）＝G／（R0T），cgq＝／（R0T）＋lnp，式（2）变换为为在满足自由能G（x）最小的同时满足质量守恒方程（1），需引入Lagrange乘子λ，对式（3）构造新的Lagrange变换式：
在一定条件下，使混合产物自由能G（x）达到最小的极值条件为
对式（5）按极值条件求导可得：
联立式（5）和式（6）求解燃气组分的热力方程组，式（5）包括s＋m＋l个方程，可求解s＋m＋l个未知数，即s个ngq，m个ncj，l个λk。在求解过程中，式（5）还可以线性化处理，并可进一步消去气相组分ngi以减少方程组的数目。
1.2 弹道模型
对于火箭弹在空中的运动，可做如下假设：①火箭弹飞行攻角δ＝0；②标准气象条件，忽略科氏加速度；③地表面为平面；④重力加速度为常量，且竖直向下。
将火箭弹运动简化为质点平面运动，得到以时间t为自变量在平面自然坐标系内的质心运动方程组［5］：
式中：v为质心运动速度；t为飞行时间；ap为加速度；Cb为弹道系数；H（y）为空气密度函数；F（v，Cb）为阻力函数；g为重力加速度；θ为弹道倾角；x，y分别是水平方向和垂直方向的坐标。
式（7）可采用四阶龙格库塔法进行求解，积分初始条件为：t＝t0时，v＝v0，θ＝θ0，x＝x0，y＝y0。
2 计算与讨论
2.1 结构尺寸公差对比冲的影响
2.1.1 喉径公差对比冲的影响
喉径dt对燃烧室压强pc有直接的影响，pc又对比冲Isp有着重要的影响，内弹道平衡压强计算关系式为
式中：M为装填参量；ν为压强指数。
对给定推进剂而言，装填参量M与喷喉面积At成反比例关系，有
式中：dt为喷管喉径。
由式（9）知，对式（8）两边取对数后微分，考虑压强变化与喉径变化相反，有
考虑到“旋风”TG－300发动机所选推进剂信息未知，参考国内8610推进剂，TG－300发动机参数参考pc＝13.0MPa，Δdt＝0.22mm，压强指数ν＝0.45，喉径公差Δdt引起压强跳动量Δpc＝－0.104MPa，结合程序SRPS的能量预示模块［6］，不同压强条件下的比冲值Isp如图1所示。
图1 比冲和压强的关系曲线
从图1中可看出，比冲Isp随压强pc的增加而增加，且增加趋势逐渐缩小，当压强差Δpc＝－0.104MPa时，根据Isp和pc的关系曲线进行插值，比冲散布量ΔIsp＝1.5N·s／kg。
2.1.2 扩张半角公差对比冲的影响
对于TG－300发动机，αi和αe分别为特型喷管扩张段入口扩张半角和出口扩张半角，令α＝（αi＋αe）／2，在扩张半角α下的比冲修正系数为
对式（11）两边微分，在扩张比一定的条件下，有
式中：“－”表示比冲变化与扩张半角变化相反；Δα为扩张半角α的公差。
比冲的修正表达式为
对式（13）两边微分，有
将式（12）代入，有
对于TG－300发动机，在pc＝13.0MPa，喷管扩张比ζe＝2.55时，比冲Isp＝2 619.3N·s／kg。将扩张半角及公差代入式（15），有
从计算结果可以看出，扩张半角公差引起的比冲散布量为0.953N·s／kg。
2.1.3 膨胀比公差对比冲的影响
当膨胀比εe为已知条件时，可通过等熵等压问题计算出该膨胀比εe条件下的燃烧产物平衡组分和热力参数，最后计算出比冲值。
对于TG－300发动机，选取燃烧室压强pc＝13.0MPa时，计算不同膨胀比εe下的比冲，如图2所示。
图2 比冲和膨胀比的关系曲线
从图2中比冲数据可看出，比冲随膨胀比的增加而增加，当膨胀比差 Δεe＝9时，比冲变化了266.5N·s／kg。
为考察膨胀比公差对比冲的影响，对膨胀比εe定义式微分，有
式中：de为喷管出口直径，Ae为喷管出口面积。
式（16）可进一步简化，有
对于TG－300发动机，将结构参数代入式（17），有
对于TG－300发动机，膨胀比εe＝6.502 5，膨胀比跳动量为Δεe＝0.007 8，则喷管膨胀比公差引起的最小膨胀比为
比冲和膨胀比的对应关系为
其中：Isp1和Isp2分别为2个参考插值点。
在ε′e＝6.494 7点进行插值，有
因此，比冲散布量为
从计算结果可以看出，膨胀比公差引起的比冲散布量为0.19N·s／kg。
2.2 比冲对纵向距离散布的影响
对于某远程火箭武器，结合质点外弹道程序，比较以上3种因素引起的比冲散布量对纵向距离散布的影响，其参数如表1所示。表中，D为弹径，i为弹形系数，θ0为射角，v0为初速度，m0为发射前总质量，mp为推进剂总质量，tw为工作时间。
表1 旋风TG－300火箭弹道诸元参数
参考2.1节喉径公差、扩张半角公差和膨胀比公差所引起的比冲散布量及其总极限比冲散布量，其相应纵向距离散布量如表2所示，表中，Isp为比冲，X为射程。
表2 结构参数公差引起的纵向距离散布
从表2中纵向距离散布量可以看出，其极限公差引起的纵向距离散布量在－147.91～＋149.72m范围，最大射程为70 927.1m，最小射程为70 627.7m。
3 结论
以旋风TG－300火箭发动机为背景，开展了基于喷管结构参数公差（喉径、扩张半角和膨胀比）的纵向距离散布性研究，主要结论如下：
①综合极限喷管结构参数公差下，发动机比冲散布量达±2.62N·s／kg，引起的纵向距离散布为－149.9～＋149.7m，不容忽视；
②喷管结构参数公差中，喉径公差对比冲散布量影响较大，扩张半角公差次之，膨胀比公差影响最小；
③TG－300发动机结构公差总体较合理，改进加工工艺或条件，可对喉径公差和扩张半角公差做进一步限制。
［1］武晓松，陈军，王栋.固体火箭发动机原理［M］.北京：兵器工业出版社，2010.WU Xiao－song，CHEN Jun，WANG Dong.Solid rocket engine principle［M］.Beijing：Ordnance Industry Press，2010.（in Chinese）
［2］张成，杨树兴.姿态稳定火箭弹射程散布的仿真研究［J］.弹道学报，2004，16（3）：21－27.ZHANG Cheng，YANG Shu－xing.The simulation study of the range dispersion of attitude stabilized rocket［J］.Journal of Ballistics，2004，16（3）：21－27.（in Chinese）
［3］王元有.固体火箭发动机设计［M］.北京：国防工业出版社，1984.WANG Yuan－you.Solid rocket engine design［M］.Beijing：National Defense Industry Press，1984.（in Chinese）
［4］GORDON S，MCBRIDE B J.Computer program for calculation of complex chemical equilibrium compositions and applications.NASA－RP－1311［R］.1994.
［5］徐明友.火箭外弹道学［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2004.XU Ming－you.External ballistics of rocket［M］.Harbin：Harbin Institute of Technology Press，2004.（in Chinese）
［6］封锋，陈军，郑亚.基于能量特性配方设计专家系统的开发与实现［J］.固体火箭技术，2009，32（2）：206－209.FENG Feng，CHEN Jun，ZHENG Ya.Development and realization of formula design expert system based on energy characteristic［J］.Journal of Solid Rocket Technology，2009，32（2）：206－209.（in Chinese）
