利用Excel表格计算椭圆任意段弧长

摘要：利用Excel表格计算椭圆任意段弧长的一种方法，从理论上计算出椭圆的弧长，为金属结构特殊管件（弯管、岔管）下料与组装检查提供了理论数据（标准值），对指导金属结构特殊管件下料与组装检查验收有现实的意义。

关键词：Excel表格；椭圆任意段；半轴；椭圆弧长；金属结构特殊管件 文献标识码：A

中图分类号：O185 文章编号：1009-2374（2015）31-0070-02 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.2015.31.035

亭子口水利枢纽设计了4条相同引水压力钢管，钢管内径8700mm，其中下立弯段，转弯半径27000mm，转弯角度51.3402°，板厚22mm，均匀分成6节制造，受钢板尺寸限制，每节由3个长度相同的瓦块组成，即每个瓦块组成的圆心角为120°。为了检查瓦块的下料是否正确，必须要知道这3个瓦块的边缘外弧长的标准值。

我们知道：弯管是通过圆柱按一定的角度斜截，然后按弯管分节示意图拼装而成，这个斜截面就是椭圆面，求瓦块的边缘外弧长实际上就是求椭圆的一段弧长。对于本钢管就是按51.3402/12°斜截直径为（8700+22+22）mm的圆柱，从此可知道，这个椭圆的长半轴：a=（8700+22+22）/[2×COS（51.3402/12°）]=4384.217mm，短半径b=4372mm。假如以椭圆的中心为坐标原点，以长半轴为X轴，向右为正，则依据椭圆的标准方程式X2/a2+Y2/b2=1（a≠0、b≠0），得出该椭圆的标准方程为：

则A点的坐标为A（-4384.217，0），B点的坐标为：X=-b×cos120°/COS（51.3402/12°）=2192.109，将其代入上式，Y=3786.263，求第1段弧的长度实际上就是求该椭圆上两点A（-4384.217，0）与B（2192.109，3786.263）间的弧长。求第2段弧的长度实际上就是求该椭圆上两点B（2192.109，3786.263）与C（2192.109，-3786.263）间的弧长。

由于椭圆任意段弧长不能用定积分的方法求出，那么可以利用微分元的理论，在A（-4384.217，0）与B（2192.109，3786.263）两点间插入很多点，只要相临点间距离足够小，所有相邻点间距离之和就是A（-4384.217，0）与B（2192.109，3786.263）两点间的弧长。只要△X越小，就能够使△S越小，计算的精度就越高；在实际应用中，△S太小会增加计算的复杂性，△S太大又不能满足计算精度要求，那么究竟间隔值取多少合适呢？这与计算点的曲率有关系，曲率越大，△X取值要求就越小，△X取值要通过计算精度要求确定。

通过这种利用两点间的距离公式求距离，再求累加和的办法求椭圆的弧长，在△X取值一定的情况下，曲率越大，计算误差越大。只要最大曲率下计算圆周长误差满足精度要求，则以△X取值计算椭圆的弧长值同样能满足精度的要求。因为圆的周长可以通过计算求出，因此，以计算最小曲率半径的圆周长误差比较来确定△X取值。

Excel工具计算椭圆任意段弧长的步骤：

第一步：利用椭圆曲率公式ρ=[（b2-a2）（cosθ）2+a2]3/2/ab计算椭圆的最小曲率半径。椭圆的最小曲率半径在椭圆的长轴端点，该椭圆的最小曲率半径为：ρ=4359.817mm。

第二步：制作表格，在第1行第2列填入a值4359.817mm，在第1行第5列填入b值4359.817mm。

第三步：在第3行第4列填入0值，在第3行第5列、第6列分别编辑公式计算Y2和Y值。

第四步：将第3行第5列、第6列公式对应的复制到第4行，在第4行第7列编辑两点间的距离公式计算相邻两点的距离△s，第8列编辑公式计算累加∑△s值。在第一列第4行位置填入△x初步值30，在第4行第4列编辑公式使第4行第4列的值等于第3行第4列的值加上第4行第3列的值，在第5行第3列编辑公式等于第4行第3列。

第五步：将编辑公式往下复制，直到X的值刚好大于或等于4359.817为止。

第六步：检查最后一行的X值，若X≠4359.817，则调整△x使X=a=4359.817。此时最后一行的∑△s值（6848.21）为1/4弧长（见表1）。即为半径为4359.817mm的1/4周长值。

第七步：验证计算结果：

依据圆公式验算，使a=b=4359.817，△x=30mm，比较见表1：

通过验算比较，利用公式计算周长与利用表格计算周长的误差为-0.701mm。依据《水电水利工程压力钢管制造安装及验收规范》（DL/T 5017-2007）实测周长与设计周长差为±3D/1000，且极限偏差±24mm，该压力钢管±3D/1000计算值为±26mm，所以应该按±24mm控制，依据误差传播理论，单个瓦块的弧长误差控制在±8mm以内，27393.538mm长度其计算误差值小于1mm，能满足制造要求，所以△x间隔值取值合理，可以进行椭圆弧长计算。否则调整△x值，重复第五、六、七步，直到△x间隔值取值合理。

第八步：计算第1段椭圆弧长，在第1行第2列填入a值4384.217mm，在第1行第5列填入b值4372mm。将X的初始值-4384.217填入第3行第4列。

第九步：将编辑公式往下复制，直到X的值刚好大于或等于2192.109为止。

第十步：检查最后一行的X值，若X≠2192.109，则调整△x使X=2192.109。此时该行的∑△s值（9171.77）为第1段弧长值（见表3）。同理：第2段弧长值为9163.64mm。

同理，只要更改起点X坐标值和控制终点X坐标值，就可以计算出任意段椭圆弧长。

利用Excel表格计算椭圆任意段弧长的方法，通过不同△x取值，可以满足不同的计算精度要求，在计算过程中没有复杂的积分公式，简单容易掌握。

参考文献

[1] 张志军，石智永，丁江涛，等.加强电源维护管理提高通信网络可靠性[J].广东科技，2011，（24）.

[2] 李卫东.通信电源的实际使用与维护管理[J].电力系统通信，2007，28（9）.

作者简介：胡洪浪，贵州道真人，四川二滩国际工程咨询有限责任公司高级工程师。

（责任编辑：秦逊玉）endprint