基于FFT与db10小波变换的电网谐波综合分析

熊荆州 卢家暄

（贵州大学，贵州 贵阳 550025）

随着现代电力电子技术的快速发展，电网中非线性设备的广泛运用，导致电网中出现大量谐波，使电力系统产生畸变，电能质量严重下降。其主要影响表现在：（1）能降低非线性设备的效率；（2）影响电力系统的正常工作状态，使设备老化缩短使用寿命；（3）容易引起电气设备误动作；（4）在电网中产生谐振；（5）干扰通信系统等。因此快速而精确的检测电力系统谐波尤为重要。目前非常经典的谐波分析方法就是傅里叶分析方法，它是一种在频域上的分析方法，其中快速傅立叶变换(Fast Fourier Transformation，FFT)是应用最为广泛的谐波检测方法，在稳态的谐波检测中，能够简易快速地得出精确的谐波幅值和相位。但是由于FFT 是在频域上对信号进行分析，无局部时域特性，在非稳态的畸变信号中的分析就略显不足，会产生较大的误差。而小波变换(wavelet Transformation，WT)是一种具有时频局部特性的信号分析方法，十分适用于分析非稳态的畸变信号，在电压暂降、电压暂升等快速变换的谐波信号检测有显著优势。因此将FFT 和小波变换的优点结合起来，既能准确地检测稳态信号，也能很好的检测暂态信号。

1 傅里叶变换基本原理

傅里叶变换是能将满足狄里赫莱条件的某个函数表示成三角函数（正弦或余弦函数）的线性组合，把信号从时域变换到频域，在频域上分析是信号分析处理。相当于对一个谐波傅里叶变换就是把这个波形分解成许多不同频率的正弦波之和。其傅里叶变换可表示：

式中ω 是角频率。傅里叶反变换公式为：

离散傅里叶变换（DFT）是傅里叶变换在时域和频域上都是离散的形式，将时域信号的采样转换到在DFT 频域上的采样。将函数xn点定义在离散点上，还要满足有限性以及周期性条件。这种情况下，使用DFT 将函数xn表示为下面的求和形式，n＝0，1，2….N-1；离散傅里叶变换把有限长序列的频域离散化，但计算量大，快速傅里叶变换FFT 是根据离散傅里叶变换的奇、偶、虚、实等特性，对其进行改进产生的。FFT 将一个长度为N 的离散傅里叶变换逐级分解为较短的序列进行计算，而这些较短的序列又可重新组合成原序列，这样计算次数比直接用离散傅立叶变换计算要少很多，从而可以提高计算速度。但是傅里叶变换是在所有的时域上分析信号，不具有局部时域特性，因此在检测非稳态信号时明显不具有优势。

2 小波变换基本原理

小波变换是对傅里叶变换的重大突破，其提供了一个可以变动的时间-频率窗。当分析高频信号时，时间窗会自动变窄；当观察低频信号时，时间窗会自动变宽，具有局部时频特性。小波变换还能表征信号的奇异性，在不同的尺度上模极大值能很好的反映谐波信号的畸变情况。同时小波变换不仅实现了信号的时频局部化的分析研究，而且还可以在多尺度下对信号进行观察分析，即具有多分辨分析能力。

若ψ∈L2(R)满足条件，则称ψ 是一个基小波，或者是母小波，因此信号x（t）的连续小波变换（CWT）可表示为

式中：a，b∈R，a>0 是和频率变量对应的尺度因子，b 是和时间变量对应的位移因子；ψa,b(t)是基小波平移与伸缩后形成的小波函数族，叫小波基函数。

若小波ψ∈L2(R)满足重构条件，则可以得到信号的小波变换重构公式：

将尺度因子a 和位移因子b 进行离散化，就能得到离散小波变换（DWT）。ψa,b(t)小波基中，尺度因子a 的作用是将基小波进行伸缩变动；位移因子b 的作用是将其在时间上进行平移变动来确定对x（t）分析时的时间位置。在ψ(t)换成ψ(t/a)情况下，当a>1 时a 越大ψ(t/a)的时域就越宽；当a＜1 时a 越小ψ(t/a)的时域就越窄。这样就可以用一族宽度不断变化的基小波来来对信号x（t）进行分析处理时在不同频率范围里有不同的分辨率。具体可以理解为在小波变换中的分析窗口可自动变化，其在高频范围的频率分辨率不好，而时域分辨率很好；在低频范围时域分辨率不好，而频率分辨率很好。在a 值变化时，分析窗口的面积不变，也就是说时频分辨率会相应地作出变化。一般情况下，谐波信号中的高频部分对应着谐波的非稳态信号，而谐波的低频部分对应着谐波的稳态信号。对于高频部分，要求时域分辨率很高，频域分辨率可以不高；对于低频部分，要求频域分辨率较高，时域分辨率不高，这也正是小波不换的时频局部性的优势所在。

3 FFT 与DWT 的综合分析及其MATLAB 仿真

电力系统谐波存在大量稳态谐波分量的同时也存在着少量非稳态的突变分量。应用傅立叶变换处理谐波信号可以计算出稳态分量中各次谐波的幅值、频率和相位等参数，但是对突变信号就无法准确地检测了。而小波变换由于其局部时频特性，对非稳态的突变时刻有很好的定位功能。在对比研究了FFT 和DWT 的谐波检测方法以及各自的优势的基础上，提出了将FFT 和DWT 相结合的电网谐波检测算法。其基本思路为首先将采样到的原信号进行小波变换，使原信号分解成高频分量和低频分量，其中低频分量就是谐波中的稳态部分，高频分量是谐波中暂态部分。然后对低频分量适用FFT 进行计算，可以快速准确地得到稳态谐波的幅值和频率等。再对高频分量进行小波分析，可以确定突变信号的时刻和位置。

电网工作时谐波主要有3 次，5 次，7 次，11 次，13 次，17 次等稳态谐波，同时还存在一些畸变暂态谐波信号。因此在MATLAB 上建立如下谐波模型：

其中含有频率为50Hz 电压为220V 的基波以及3、5、7 谐波信号，还有按指数规律衰减的突变信号。该原始信号波形在MATLAB 上仿真波形如图1 所示。

图1 原始信号波形

由于建立的模拟信号的频率较低，根据采样定理，采样频率可以定为3200Hz，取1000个采样点数，再应用小波变换就能很容易地将高频部分和低频部分分离，因此分解层数只需4 层就够了。首先，对原始信号用db10 小波进行小波变换，将其分解为高频部分和低频部分，其中a1 对应的频率宽度为0～800Hz，d1 为800～1600Hz，a2 为0～400Hz，d2 为400～800Hz，a3 为0～200Hz，d3 为200～400Hz，a4 为0～100Hz，d4为100～200Hz。在MATLAB 上进行仿真所得仿真波形如图2 所示。

图2 db10 小波分解系数

从图2 中可以看出，将原始信号进行分解后再重构得到的a2 为稳态分量，a4 为基波分量，d1 为衰减的非稳态分量，同时根据图形证明了小波变换对稳态与暂态信号分解的有效性。然后，对稳态分量a2进行快速傅里叶变换，可以快速得出各次频率的幅值，其FFT 频谱图如图3。

图3 FFT 稳态频谱图

从上图里可以看出对由小波变换分解重构得到的稳态分量进行FFT 分析可以得到比较准确的频谱图，谐波包含3 次、5 次、7 次，其仿真所得幅值分别是159.53、108.97、50.14，与模型给出的值很近似。

4 结论

通过将FFT 与DWT 的优势相结合，对含有稳态分量和非稳态分量的谐波信号进行分析，并在MATLAB 平台上建立模型进行仿真分析。从仿真结果可以得出小波变换能有效地将高频部分与低频部分分离，并对畸变信号能进行准确的定位，再对分离出来的稳态部分FFT 分析能提高对谐波（包括稳态信号和突变信号）的检测速度和精度。

［1］George J.Wakilsh.Power Systems Harmonics Fundamentals，Analysis and Filter Design[M].徐政，译.北京：机械工业出版社，2011.

［2］周雪峰.基于FFT 算法的电网谐波检测方法[J].工矿自动化，2012(3)：38-40.

［3］郭京蕾.基于小波变换的电网谐波电流检测研究[J].计算机工程与设计，2009，30(3)：732-734.

［4］何正友.小波分析在电力系统暂态信号处理中的应用[M].中国电力出版社，2011.

［5］Clarkson P，Wright P S.A wavelet-based method of measuring fluctuating harmonics for determining the filter time constant of IEC standard harmonic analyzers[J].IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement，2005，54(2)：488-491.

［6］赵慧玲，周芸.基于小波变换的电力系统谐波检测的研究[J].电子设计工程，2012(1)：77-80.