例谈高中物理“等时圆”模型的应用

朱宗奎

在高中物理学习中，学生若能在理解的基础上记住了一些物理模型或“二级结论”，可 以帮助学生提高解决高中物理问题的效率和准确性。本文主要介绍高中物理中的等时圆模型及其应用.

一、“等时圆”等时性介绍

1.如图1所示，若小球从圆上的顶端A点沿光滑的弦轨道由静止开始滑下，则小球滑到弦轨道与圆的交点的时间都相等，且都等于小球沿竖直直径做自由落体运动的时间，即：

tO= 2d g = 4R g =2 R g ，其中R为圆的半径.

2.如图2所示，若小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道由静止开始滑下，则小球滑到圆的底端B点的时间都相等，且都等于小球沿竖直直径做自由落体运动的时间，即： tO= 2d g = 4R g =2 R g ，

其中R为 圆的半径.

图1 图2

二、“等时圆”等时性的推导

如图1所示，已知圆的半径为R，A为圆的顶点，某物体从A点由静止开始沿光滑弦轨道下滑，光滑弦轨道与水平方向的夹角为α.由牛顿第二定律得，物体沿光滑弦轨道做匀加速直线运动的加速度为：a=gsinα，位移为：s=2Rsinα，所以运动时间为：

tO= 2s a = 4Rsinα gsinα =2 R g

（2）如图4，设粒子在第n层磁场中运动的速度为vn，轨迹半径为rn（各量的下标均代表粒子所在层数，下同） 图4

nqEd= 1 2 mv2n-0 ⑤

qvnB= mv2n rn ⑥

粒子进入第n层磁场时，速度的方向与水平方向的夹角为αn，从第n层磁场右侧边界穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn，粒子在电场中运动时，垂直于电场线方向的速度分量不变，有

vn-1sinθn-1=vnsinαn ⑦

由图5可得：

rnsinθn-rnsinαn=d ⑧

由⑥⑦⑧式得： 图5

rnsinθn-rn-1sinθn-1=d ⑨

由⑨式看出r1sinθ1，r2sinθ2，…， rnsinθn为一等差数列，公差为d，可得：

rnsinθn=r1sinθ1+（n-1）d ⑩

当n=1时，由图5看出

r1sinθ1=d B11

由⑤⑥⑩B11式得：

sinθn=B nqd 2mE B12

（3）若粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出，则θn= π 2 ，sinθn=1.

在其他条件不变的情况下，换用比荷更大的粒子，设其比荷为 q′ m′ ，假设能穿出第n层磁场右侧边界，粒子穿出时速度方向与水平方向的夹角为θn′，由于 q′ m′ > q m ，则导致sinθn′>1，说明θn′不存在，即原假设不成立，所以比荷较该粒子大的粒子不能穿出该层磁场右侧边界.

思维拓展 粒子恰好不能从第n层磁场右侧边界穿出时，粒子的运动轨迹恰好和磁场右侧边界相切，进而可推出θn= π 2 ，另外假设法是求解物理试题的一种好方法，当我们思路打不开时，可以大胆地采用假设法，假设法相当于多给题目增加一个条件，采用假设法往往独辟蹊径，柳暗花明.

平时遇到物理题目时，要展开联想，对题进行拆分，对知识进行铺垫，多练多想，时间久了就会水到渠成，碰到物理题时就不感觉那么难了.

所以，若物体从圆上的顶点A沿光滑的弦轨道由静止开始滑下，滑到弦轨道与圆的交点的过程中，时间都相等，与弦轨道的长度、倾角均无关.

同理可证明上面图2的等时性.

三、应用等时圆模型解典型例题

图3

例1 如图3所示，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于M点，与竖直墙相切于A点，竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆轨道的圆心.已知在同一时刻，a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M点；c球由C点自由下落到M点.则（ ）.

A.a球最先到达M点

B.b球最先到达M点

C.c球最先到达M点

D.c、a、b三球依次先后到达M点

解析 设圆轨道半径为R，据“等时圆”模型结论有，

tO=2 R g ；B点在圆外，tb>ta，c球做自由落体运动tc= R g ；所以有tb>ta>tc.C、D正确.

例2 倾角为30°的长斜坡上有C、O、B三点，CO=OB=10m，在A点竖直地固定一长10 m的直杆AO.A端与C点间和坡底B点间各连有一光滑的钢绳，且各穿有一钢球（视为质点），将两球从A点由静止开始、同时分别沿两钢绳滑到钢绳末端，如图4，则小球在钢绳上滑行的时间tAC和tAB分别为（ ）（取g=10 m/s2）

A.2s和2s B. 2 s和2 s

C. 2 s和4 s D.4 s和 2 s

图4

图5

解析 由于CO=OB=OA ，故A、B、C三点共圆，O为圆心.又因直杆AO竖直，A点是该圆的最高点，如图5所示.两球由静止释放，且光滑无摩擦，满足“等时圆”条件.设钢绳AB和AC与竖直方向夹角分别为α1、α2，该圆半径为r，则对钢球均有2rcosα= 1 2 gcosα·t2.

解得 t= 4r g ，钢球滑到斜坡时间t跟钢绳与竖直方向夹角α无关，且都等于由A到D的自由落体运动时间.代入数值得t=2 s，选项A正确.

例3 如图6所示，AB是一个倾角为θ的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假设其光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？

图6 图7

解析 借助“等时圆”理论，可以以过P点的竖 直线为半径做圆，要求该圆与输送带AB相切，如图7所示，C为切点，O为圆心.显然，沿着PC弦建立管道，原料从P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等.因而，要使原料从P处到达输送带上所用时间最短，需沿着PC弦建立管道.由几何关系可得：PC与竖直方向间的夹角等于θ/2.

图8

例4 如图8所示，圆弧AB是半径为R的1/4圆弧，在AB上放置一光滑木板BD，一质量为m的小物体在BD板的D端由静止下滑，然后冲向水平面BC，在BC上滑行L后停下.不计小物体在B点的能量损失，已知小物体与水平面BC间的动摩擦因数为μ.求：小物体在BD上下滑过程中，重力做功的平均功率.

解析 由动能定理可知小物体从D到C有WG-μmgL=0，所以WG=μmgL，由等时圆知识可知小物体从D到B的时间等于物体从圆周的最高点下落到B点的时间，即为t= 4R g ，所以小物体在木板BD上下滑过程中，重力做功的平均功率为P= WG t = μmgL 2 g R .

以上只是平时所见到几例习题，由以上几例不难看出，只要学生心中建立了等时圆模型，可以极大地提高学生解决这一类物理问题的效率和准确性.