以“等比数列第一节）”为例谈“数列”全章教学的整体设计
2015-12-21罗德建
以“等比数列(第一节)”为例谈“数列”全章教学的整体设计
罗德建
(北京师范大学附属中学，北京100052)
【摘要】高中数学内容由函数、几何、概率统计等几条主线组成，每条主线都有相应的研究思路与方法，教材上的每一章节都是这几条主线的有机组成部分，如能站得高，在进行每节课的设计前，对全章进行整体的教学设计，这对于学生更好地理解数学，进而应用数学帮助巨大．
【关键词】数列全章教学整体设计
“数列”是高中数学中代数内容的重要组成部分，它是函数主线的延续，与学生现实生活联系紧密．在实施本章教学前，笔者对全章进行了整体教学设计，首先明确了以下几个问题：
1.“数列”在高中数学中的定位
数列是学生在学习了指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等特殊函数后接触到的又一特殊函数模型，但与之前学习的函数不同的是，数列是一种离散的函数，其定义域为N*或其子集，这就决定了数列对应的图像是平面直角坐标系中离散的点．通过对数列的学习，能提高学生的类比、归纳、化归等能力．众所周知，概念是数学学科知识体系中最基本、最核心的构成元素，也是思维的基本单位．本章涉及的概念众多，通过本章的学习和自我体验，学生能进一步感受数学概念的一般研究过程，加深对运用类比的方法研究新概念的理解．
2.课标和考纲对“数列”的要求
新课标[1]要求通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数．通过实例，理解等差数列、等比数列的概念．探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系．
2015北京高考考纲对“数列”的要求是：
考试内容要求层次ABC数列数列的概念数列的概念和表示法√等差数列、等比数列等差数列的概念√等比数列的概念√等差数列的通项公式与前n项和公式√等比数列的通项公式与前n项和公式√
3.“数列”全章研究思路[2]
“数列”这一章先研究数列的一般概念和表示，再从一般到特殊，研究两个非常重要的特殊数列——等差数列和等比数列．可构建知识框图如下：
4.学情分析
学生在小学时就已经接触到了数列，很多学生还知道等差数列的前n项和公式．但是在学习本章前，学生对数列的了解大多是知识碎片，缺乏系统性和严谨定义，知道公式却不知道公式的由来和意义．因此，教师在组织教学时需充分考虑到学生的认知基础，通过概念同化或概念转变帮助学生学习新概念，可设计多种教学活动，提高学生的课堂思维参与度，由学生自觉地形成数列的相关概念，推导相应公式，并且了解研究数列的一般过程和方法．
形成全章知识内容和思想方法的整体理解后，本章中的每一节课都应体现数列的一般研究思路，比如我对“等比数列(第一节)”进行了如下设计：
首先需明确本节内容在全章中的地位和作用：本节内容是人教B版《必修5》第二章“数列”的第2.3.1节，这节课是研究等比数列的起始课，涉及等比数列的概念和通项公式的推导及应用，也为后面探索等比数列的性质，研究等比数列的前n项和公式做好铺垫．等比数列是学生在高中阶段需要重点掌握的特殊数列之一，在生活中有许多具体模型，同时一些复杂的数列通项问题还可借助等比数列予以解决；等比数列的定义过程和对通项的研究方法也对许多别的数列问题的解决提供了可以借鉴的思路．通过等比数列与指数函数的关系还可帮助学生进一步理解数列与函数的关系．
其次明确课标对本节内容的要求：课标要求通过对实际问题的分析建立等比数列模型，理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，理清公式中基本量之间的关系；体会等比数列与指数函数之间的关系.
再次进行本节课前的学情分析：学生在这节课之前刚刚结束了对等差数列的学习，通过等差数列的学习已经对数列的研究脉络有了一定的了解，即通过递推公式给出一个新数列的定义后，我们希望能得到它的通项公式，用通项公式表示数列可以更方便地求得这个数列中的任意一项，并且能借助函数工具研究这个数列的性质．在这一节中，我们将类比等差数列的研究过程来研究等比数列．
这样可以设定教学目标如下：
(1)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，体会等比数列通项公式的函数意义，运用等比数列的通项公式解决相关问题．
(2)通过具体的例子抽象出等比数列的概念，类比等差数列去研究等比数列，进一步体会数列的一般研究思路，在这个过程中培养学生探索、发现、分析、归纳和论证的能力．
(3)体会类比的数学方法，培养探究意识和建模能力，感受数列的应用价值．
进而设定教学重点、难点：这节课的教学重点为等比数列的概念与通项公式的推导、应用；教学难点为通项公式的推导，以及用函数观点来研究等比数列.
在教学环节的设定上体现数学概念课的一般思路：引入概念、概念形成、概念深化、应用概念、小结．
(1)引入概念
问题1：在前一节中，我们是按照什么样的思路去研究等差数列的，在研究等差数列的过程中我们用到了哪些特殊方法？
接着，通过两个例子引出等比数列的定义．
引例1：观看拉面制作视频，拉面馆的师傅将一根很粗的面条，拉伸、捏合、再拉伸、再捏合，如此反复多次，就拉成了许多根细面条. 你能从中发现一个数列吗？
引例2：取边长为4的正方形各边上的中点，并连线形成一个新的正方形，以此类推，得到一系列正方形，请写出其边长所形成的数列．
问题2：这两个数列具有什么共同的特征？
由学生完成对特征的归纳：从第二项起每一项与它的前一项的比都是同一个常数．
设计意图：通过提问帮助学生回顾等差数列的研究过程，为等比数列的学习做好铺垫. 以两个具体例子归纳出这类数列所具有的共同的关键特征，引出等比数列的概念，让学生感受到数列的实用价值.
(2)概念形成
从一般到特殊，通过学生自己举例，体会等比数列的共同属性．
问题3：请大家自己举出一些等比数列的例子．
问题4：你能不能举出一个数列既是等比数列又是等差数列？等比数列的首项和公比有什么要求？
接着类比等差中项的概念，由学生定义等比中项：如果三个数x,G,y成等比数列，则称G为x和y的等比中项．
我们已经用递推公式定义了等比数列，跟等差数列一样，我们也希望能得到等比数列的通项公式，这样对等比数列的理解就会更加深刻．
问题5：等比数列的通项an可能与哪些量有关？可能会是什么样子？为什么？
接着，请学生自己证明：
跟等差数列类似，由递推公式先写出若干个式子来：
由此得到等比数列的通项公式：an=a1qn-1(a1≠0,q≠0).
类比叠加法，这种证明方法可以叫作叠乘法．
设计意图：在由学生归纳得到等比数列的概念后，类比等差数列的研究过程和方法研究等比数列的通项公式，让学生体会数列的研究脉络，同时提高推理论证能力．
(3)概念深化
n123456an1.536122448
问题6：这些点位于一条什么样的曲线上？你能求出这个函数的解析式吗？(f(x)=3·2x-2)
问题7：进一步，对一个一般的等比数列来说，如何利用f(x)来研究an的性质，比如增减性？
借助f(x)的单调性，师生共同总结完成下表：
a1a1>0a1<0q的范围0
设计意图：由一个特殊的等比数列的增减性的研究推广到一般情形，采用数形结合的方法，用函数的思想处理数列的增减性问题，进而加深对等比数列的理解．
(4)应用概念
设计意图：巩固等比数列的通项公式，体会公式中基本量的重要性.
(5)小结
请学生总结这节课的思想方法和知识内容，尤其强调类比的研究方法．
①知识内容：等比数列的概念和通项公式；
②思想方法：类比，由特殊到一般，函数．
设计意图：培养学生归纳总结的意识和能力．
综上所述，高中数学内容由函数、几何、概率统计等几条主线组成，每条主线都有相应的一般的研究思路与方法，教材上的每一章节都是这几条主线的有机组成部分，如能站得更高，在进行每节课的设计前，对全章进行整体的教学设计，这对于学生更好地理解数学，进而应用数学无疑是帮助巨大的．
参考文献
[1]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(实验)，北京：人民教育出版社，2003.
[2]王尚志，张思明.走进高中数学新课程．上海：华东师范大学出版社，2008.
