基于高斯牛顿迭代法的无损检测眼镜镜片折射率方法

侯蕊/上海市计量测试技术研究院

基于高斯牛顿迭代法的无损检测眼镜镜片折射率方法

侯蕊/上海市计量测试技术研究院

针对传统测量眼镜镜片折射率的有损方法，提出通过测量眼镜镜片透射比，采用高斯牛顿迭代法拟合透射比曲线来无损检测眼镜镜片基底折射率。实验结果表明，此无损检测方法可快速检测镜片折射率，测量相对误差不超过±1%，基本满足对镜片折射率区间的判定。

透射比；高斯牛顿迭代；无损检测；折射率

0 引言

折射率是表征材料特性的重要参数。在相同情况下，使用高折射率材料可以减小眼镜镜片的边缘厚度，使眼镜更美观、轻薄。并且，由于现在的镜片材料普遍为树脂，镜片在制作过程中需在设计好的模具中成型，其曲率半径是一定的，若折射率不正确，会影响顶焦度的正确性。

我国轻工行业标准QB 2506-2001《光学树脂镜片》[1]明确规定，使用准确度不低于3×10-4的折射仪对树脂眼镜片折射率进行测量。这种方法需要将镜片切割成带有直角的小样块，而且对被测样品尺寸和厚度有一定要求，因此只适用于未切割的毛边树脂眼镜片，对于已经装配好的眼镜镜片则不适用。此外，采用最小偏向角法、阿贝折射仪临界角法以及V形棱镜法[2-4]等方法进行镜片的折射率测量，均需要制作样片。上述各种方法都需要将镜片制作成试样，在检测结束后，镜片已不可再使用。

光束在镜片各界面上的折射和反射会引起干涉效应。在全光谱范围内反透射比和镜片的基底以及各膜层的光学参数有着唯一的对应关系。本文根据镜片折射率和镜片透射比的关系，采用高斯牛顿迭代法拟合透射比测量曲线，提出一种无损检测镜片折射率的方法。

1 原理

1.1 透射比与折射率函数模型

图1所示为一个镜片系统。此系统中含有空气-镜片、镜片-空气两个界面以及空气、镜片和空气三个区域，其中n1、n2分别为空气和镜片基底的折射率，θ1为光线的入射角，θ2、θ3为光线的折射角，d为镜片基底厚度。

图1 光线反透射模型

强度为I0的光以θ1角度入射到镜片基底上，在空气-基底表面发生反射，同时折射进入基底。在通过厚度为d、吸收系数为α的基底时将被吸收一部分，在基底-空气界面一部分光反射回去，一部分光通过界面折射出去，通过此系统透射光的透射比T为

式中：R1—空气—基底界面的振幅反射比；

R2—基底—空气界面的振幅反射比

且R2= -R1，，k为消光系数

根据菲涅尔原理[5]：

综上可得式（1）：

在此，考虑镜片的光散现象，特征表现为折射率会随波长的增大而减小，呈单调下降趋势，可采用Cauchy模型来描述，即。

由上式可以看出，透过基底的透射比T为折射率、入射角以及消光系数的函数。测出透射比T，根据式（1），采用高斯牛顿迭代法拟合透射比曲线，即可求出镜片折射率。

1.2 高斯牛顿迭代

设空气折射率为1，x1、x2、x3分别为上述折射率参数A、B、k，根据式（1）可构造方程f（x1, x2, x3），见式（2）。

高斯牛顿迭代法[6-7]的基本思想是，使用泰勒级数展开式近似代替非线性回归模型，然后通过多次迭代，多次修正回归系数，使原模型的残差平方和达到最小。根据高斯牛顿迭代，对f（x1, x2, x3）分别求x1、x2和x3的偏导数，（x1, x2, x3）初始值为（x10, x20, x30），组成雅可比矩阵：

由此可求出：

第t + 1次牛顿迭代的初始值为

用最小优化目标函数P（x1, x2, x3）来评价拟合效果：

式中：x1，x2，x3—待测变量；

l—测量次数；

m—变量的个数；

i—每次测量的点数

当第t次迭代的残差平方和满足设定要求时，则x1t，x2t，x3t为所求值。

2 实验测量

使用英国AQUILA公司nkd-8000高级薄膜厚度仪进行透射比测量，如图2所示。该仪器的具体参数为：测量波长范围200～1 000 nm，光波入射角度10°，入射光斑直径5 mm，入射光波为P偏振波。

图2 透射比测量装置

在进行数据处理时，因镜片材质普遍可滤掉紫外光，故采用450～695 nm处的透射比数据。每5 nm测一组透射比数据，共50组数据进行牛顿迭代。重复测量5遍，取平均值作为测得折射率的数据。镜片标称值由国家眼镜产品质量监督检验中心采用有损检测方法测得。由于测得标称值所用的折射仪波长是545 nm，故在545 nm处测量两种常用折射率，检测结果如表1所示。

分析表1可知，基于高斯牛顿迭代法无损测量的镜片基底折射率的绝对误差均在±0.01以下，相对误差不超过±1%。测量曲线与拟合曲线如图3所示，采用高斯牛顿迭代法拟合后的评价函数P值在0.000 1以内。

图3 透射比拟合图

表1 两种不同规格镜片折射率测量结果

3 不确定度评定

对测量结果进行不确定度评定[8]。主要考虑测量仪器引入的标准不确定度分量u1和测量重复性引入的标准不确定度分量u2。折射率的合成标准不确定度uc为：，k = 2时的扩展不确定度为U = 2uc。

根据测量透射比的仪器NKD-8000的技术手册，其测量透射比的最大允许误差为±1%，服从均匀分布，采用B类评定方法评定，则

由式（1）（2）可求得两种折射率在545 nm处由仪器引入的标准不确定度u1。

u2采用极差法来评定。测量次数为5次，从极差表中可取Cn= 2.33，545 nm处极差为R，则u2为：。则两种折射率在545 nm处的u1、u2、uc、 U如表2所示。

表2 两种折射率在545 nm处的u1、u2、uc、U

4 结语

针对现阶段检测镜片折射率的有损检测方法，根据镜片透射光谱与折射率的关系提出了无损检测镜片折射率的方法。首先测量了镜片的透射比数据，建立折射率与透射比的函数关系，通过高斯牛顿迭代法拟合透射比曲线测得折射率，采用最小优化目标函数来判定拟合的结果，最后评定了测量结果的不确定度。

采用上述无损检测法对镜片基底折射率进行无损测量，相对误差不超过±2%，基本满足对折射率区间的判定。此种无损检测方法可检测框架眼镜，且不破坏眼镜的构造，为质量监督部门的监督抽查提供了一定的技术支持，为维护消费者的正当权益提供了保障，同时也为生产商的质量监控提供了新的方法，在一定程度上规范了眼镜产品的制造与经销。

[1]全国眼睛标准化中心.QB 2506-2001 光学树脂眼镜片[S].北京：2001.

[2]全国仪表功能材料标准化技术委员会(SAC/TC 419).GB 7962.1 -2010 无色光学玻璃测试方法 第1部分：折射率和色散系数[S].北京：中国标准出版社，2010.

[3]周凯宁，肖宁，陈棋，等. 3种测量三棱镜折射率方法的对比[J].实验室研究与探索，2011，30（4）：22-25.

[4]孙香冰，任诠，杨洪亮，等.测量薄膜折射率几种方法[J]，量子电子学报，2005,22（1）：13-18.

[5]郁道银，谭恒英.工程光学[M].北京：机械工业出版社，2005，277-278.

[6]Timothy Sauer.数值分析[M]. 北京：机械工业出版社, 2014∶168-210.

[7]Ababneh O Y. New Newton’s method with third-order cinvergence for solving nonlinear equations [J].Inter J Math Comput Sciences, 2012(6)∶119-121.

[8]全国法制计量管理计量技术委员会.JJF 1059-2012测量不确定度评定与表示[S]. 北京：中国计量出版社，2012.

Non-destructive method of measuring the refractive index of spectacle lenses based on Gauss-Newton iterative method

Hou Rui

（Shanghai Institute of Measurement and Testing Technology）

In view of the traditional destructive method for measuring the refractive index of spectacle lenses, a non-destructive method was proposed by measuring the lens’ transmittance and fitting the curve by Gauss-Newton iterative method. The experimental results showed that the non-destructive method could measure the refractive index quickly, and the relative error was less than ±1%, and the measurement accuracy could basically met the judgement of the lens refractive index.

transmittance; Gauss-Newton iterative method; nondestructive measurement; refractive Index