不等式恒成立问题“三步走”策略

冯刚

江苏卷考试说明中《不等式》一章有两个C级要求，一是基本不等式，二是一元二次不等式，并未提及对“不等式恒成立问题”的要求，而新高考中2008年第14题、2011年第19题，2014年第10题和第19题都涉及处理恒成立问题，平时各大市的模考卷中解决此问题的也有很多，而且要求较高，难度大。因此，笔者结合一线教学经验，归纳此类问题的“三步走”策略。

第一步策略：常规思路

（一）可分一般的恒成立和特殊的恒成立两类

1.一般的恒成立问题可由三步解决：

例1.已知函数f（x）=2x.

（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）+af（2x），x∈（-∞，0]的最大值；

（Ⅱ）若存在x∈（-∞，0），使f（2x）-af（x）>1成立，求a的取值范围；

（Ⅲ）若当x∈[0，3]时，不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立，求a的取值范围.

（Ⅰ）（Ⅱ）略

（Ⅲ）分析：对于恒成立问题，第一步是认清自变量和参数，可与解不等式问题对比理解。解关于x的不等式x2-2ax+（a2-1）≤0问题过程为[x-（a-1）][x-（a+1）]≤0，即（a-1）≤x≤（a+1）。感受到a为参数，x是自变量，即解不等式求的是自变量的范围。而恒成立问题已知的是自变量的范围，求的是参数的范围。如果没认清，可能会产生问题（见例2）；第二步是看能否分离参数，再根据示意图找等价条件；第三步就是研究等价条件中的最值问题。

2.特殊的恒成立一般有两种情况：

（1）一次在闭区间上恒成立

例2.若不等式kx2-2x+1-k<0对满足-2≤k≤2的所有k都成立，求x的取值范围.

分析：如果按一般恒成立步骤，先认清自变量和参数，k为自变量，x为参数，然后讨论分离参数，再找等价条件，较烦。

再深入分析，由于f（k）=kx2-2x+1-k为一次函数，图象是一条直线，无论这个图象是单调增，还是与x轴平行或重合，只要保证两端都小于0，那在闭区间上的所有函数值都小于0，甚至图象是单调减时也只要保证两端都小于0（如示意图），因此，可以直接写出等价条件f（-2）<0f（2）<0。因此对于一次在闭区间上的恒成立这种特殊情况，只需要将闭区间两端点值代入不等式即可。

（2）二次在R上恒成立

由此可见，对于二次在R上恒成立的这种特殊情况，只需根据图象利用Δ解决。

（二）针对用常规思路解决的恒成立问题，一般可能考查五个难点

1.可能难在对不等式的处理。

2.可能难在认清自变量和参数，如例2，若分不清，可能看成关于x的二次不等式。

3.可能难在能不能分离参数，如例1，明显是方法一分离参数法简单，原因是如果能分离参数，那第三步研究最值的函数就是不含参数的函数，若不分离，那第三步研究最值的函数就是含参的函数，因此能分离参数最好要分离参数。

4.可能难在最值问题的处理，如例1，方法二要研究的是含有参数的二次函数在区间上的最值。

5.可能难在等价条件的“修正”。

第二步策略：应用恒成立条件，缩小参数范围

例4.若不等式（mx-1）[3m2-（x+1）m-1]≥0對于任意m∈（0，+∞）恒成立，则实数x的值是 .

分析：如果按第一步策略即常规方法，一是不大可能分离参数，二是不分离参数时要研究的函数的最值又很难求。此时可由“解决恒成立问题”的思路调整为“恒成立是条件”，因此，可取m∈（0，+∞）上的一个值代入不等式从而来缩小a的范围，可能对分离参数有帮助。本题若取m=1，可得（x-1）2≤0？圯x=1。当然这里比较特殊，取值代入后可直接求出参数的值，有时可能没这样特殊，求不出值，但此策略也可缩小参数的范围，从而为分离参数法做好准备。

第三步策略：数形结合

例5.已知函数f（x）=x2+mx-1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）<0成立，则实数m的取值范围是 .

例6.设f（x）=4x3+mx2+（m-3）x+n（m，n∈R）在[0，1]上是单调减函数，则m的取值范围为 .

分析：此题先可转化为f′（x）=12x2+2mx2+（x-3）≤0对于x∈[0，1]恒成立，前两策略处理较烦，根据f′（x）示意图，等价条件为f′（0）≤0f′（1）≤0？圯m≤-3。