一元函数连积法用于水工建筑物流量定线研究

唐荣桂 王一帆 卢 曦

（1.江苏省洪泽湖水利工程管理处，江苏 淮安 223100；2.江苏省灌溉总渠管理处，江苏 淮安 223200）

1 概述

随着社会经济的发展，对洪涝灾害的有效管控和对水资源的保护利用已成为迫切需求，为此，各地兴建了大量的水利控制工程，依水工建筑物设立的水文站日渐增多，就本省而言，水工建筑物类水文站占全部水文站的85%。研究这类水文站的各种技术方案和现代化管理手段是水文部门的重要任务之一，特别是研究能够提高精度、应用广泛的流量定线整编方法有着重要的意义。

目前，水工建筑物流量整编方法是应用水力学基本公式或以此为基础而拓展的简化形式。主要方法有：

（1）水力学公式法。由于该方法对各种系数分类很细，很难依据实测的资料来逐个率定系数，且该方法计算相对繁琐，故现实中很少应用。虽然《水文资料整编规范》［1］（以下简称《规范》）没有列出这种方法，但有些科技工作者根据实测资料，用改正系数［2］的办法，对该方法的应用作了探讨，并在无实测资料站的流量整编与工程设计中常用这种方法推算流量。

（2）流量（效率）系数法。即依据水力学基本公式，将公式主体剥离出来，并把各类系数合并为一个系数（称为流量系数或效率系数），再依据率定资料建立相关因素与系数的关系。该方法优点是适应范围广，只要选择到较为合适的相关因素，就能满足一定的精度要求。由于对该方法的研究应用已十分深入，各系数规律在一定范围内都有结论性成果，因此可以在特殊情况下用以推算流量。

（3）经验公式法。《规范》中给出的经验公式，是流量（效率）系数法的一种延伸，其用调整主体公式中固定参数的办法［2］，使流量系数成为常数，实现流量公式化的目的。但是，这种调整不能完全反映实际情况，它只能应用于少部分测站。

以上几种方法都包含有特定公式主体，均属于“模型函数”的范畴。

2 一元函数连积法简介

本方法的主要理论缘于“黑箱效应”［3］，其变量可分离公式建立是依据独立变量对“黑箱效应”作用的单一性，定线方法为逐步解析法。由于各测站的边界条件和水力条件不尽相同，故应用这种方法得到的函数关系也千差万别，但对于某个具体工程的同一种流态，其函数形式应该具有延续性。根据经验公式的定义，本方法属于经验公式的范畴。

本方法选择实测资料范围内最合适的自由函数进行描述，摆脱了模型函数的束缚，主要优点是定线精度高，适应范围广。

图1 水工建筑物出流的黑箱效应示意图

经验公式中用模型函数给水工建筑物流量定线，如前面所述，存在一定的局限性。下面着重探讨经验公式中用自由函数给水工建筑物流量定线的可行性。

2.1 “黑箱效应”与自由函数的应用

在自然界中，很多要素与现象之间的作用机理已被熟知，但由于其局部的千差万别，我们对具体细节的作用过程很难进行逐一量化，为解决这一问题，应用最为广泛的方法就是“黑箱效应”。“黑箱效应”即不管细节如何作用，根据要素与现象之间的对应关系，用统计学的方法建立量化经验模型（公式）。这方面的应用，在水文气象学科中最为常见，如：水文预报模型、中长期天气预报模型等。

水工建筑物及其上下游水尺之间的河段水流受到的影响是十分复杂的，但对于某一具体的工程而言，在外界硬件条件不发生改变的情况下，其对水流的总体作用效果不变，流量仅随水力因子的改变而改变。因此，无需知道每一个细节的作用机理和具体的作用效果，只要知道在特定因子条件下流量是多少即可，如图1 所示。

独立的、必要的水力因子用xi表示，自由函数用F 表示，则上述效应可表示为：

式（1）不是固定函数模式，不同的测站条件对水流的作用不同，函数形式也不尽相同，但应满足与实测资料高度拟合并符合相应的水文规律。用式（1）进行定线，自由度更大，适应性更强，理论上其定线精度更高。

2.2 自由函数可解形式的建立

由于式（1）用模糊函数表达，目前还无法直接用来定线，故需要对其进行可解化转换，才能够达到实用的目的。

在概率论与数理统计学［4］中，对于独立的随机变量表述是：若（X1，X2，…，Xn）为n 维随机变量，其联合分布函数为F（x1，x2，…，xn），若随机变量Xi的分布函数为FXi（xi），对于任意的xi，有：

则称X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量。

由于水工建筑物流量定线所选取的水力因子也是相互独立的随机变量，故不考虑相关的概率分布性质，流量所构成的函数也应当符合式（2）。用fi表示各水力因子代表的自由函数，用q 表示单宽（或单机）流量，则式（1）简化为：

对比式（3）与经验公式（模型函数），后者的流量关系是用各因子的幂函数或是指数函数连积的形式表达，而式（3）是用因子的自由函数连积的形式表达，两者既有因子函数连积的共同之处，又有函数取用固定与任意之区分。正因其存在共性与区别，我们可以得出：一元函数连积法不仅符合水工建筑物的出流规律，而且增加了与实测资料拟合的自由度，更能符合实际情况。

经过简化的式（3）能够进行变量分离，这样就可以用逐步解析的方法求解某一因子的函数关系式（或用曲线节点系数描述），从而得到流量计算公式。因此，其可以作为水工建筑物流量定线的基本公式之一。

3 一元函数连积法用于水工建筑物流量定线解析步骤

影响水工建筑物出流的因子只有1～2 个，由一个因子定线的可以直接点绘相关图，用图解或回归分析法确定关系，这里主要给出有2 个因子的函数关系解析方法。

3.1 一元函数连积法的逐步解析原理

将式（3）写成2 个变量形式，用Yxi表示逐步计算的过渡因变量，经过简化转换得：

若知道其中一个函数关系，如已知f2（x2），就可以根据实测资料用式（4）计算出Yx2，建立Yx2～x1相关关系，选用最合适的函数解析求得f1（x1），利用同样方法，再依据f1（x1）计算Yx1求得f2（x2）。逐轮循环计算，直至函数关系稳定为止。

3.2 一元函数连积法的流量定线具体方法

（1）初始函数的确定。从式（4）可看出，求某变量的函数关系，必须知道另一变量的函数关系，因此，初次分析计算时就需要设定一个初始函数。由于“次敏感因子”对流量的影响程度较小，在图解过程中变化也较小，故一般选取其经验函数（流量系数法主体公式中的幂函数）为初始函数，如此选择可以减少解析轮次。用f0表示初始函数，表1 为各种出流状态的初始函数。

（2）明确解析的数据关系与推求的解析函数（如表2）。

（3）得出解析轮次与解析成果说明（如表3）。

（4）使用解析工具与步骤。一元函数连积无需手工绘图和人工计算，其主要是依靠Excel 的图表功能进行解析。步骤如下：

根据实测流量和表1 中的初始函数，计算过渡因变量，按照表2 中对应的相关因子，添加散点图。参照散点图，先用表格中的添加趋势线功能进行常见函数的优选拟合。根据经验，此函数形式一般都比较简单，大部分都能得到理想的“敏感因子”函数关系。若拟合不好，可以摘录曲线节点用数据规律分析法［5］进行复合函数拟合，也可以分段拟合。再根据实测流量和“敏感因子”函数，计算过渡因变量，仿照上述过程，可确定“次敏感因子”函数。

以上即完成了第一轮解析。第二轮解析可将第一轮解析获得的“次敏感因子”函数作为初始函数，同第一轮一样进行解析。接着以此类推进行其它轮次解析，直至得到稳定的函数关系为止。最后将各轮次解析结果与表3 对照分析，如果区别很大，就要检查计算分析过程是否正确。

（5）关于解析结果。对于初始函数，当然也可以选择“敏感因子”的经验函数，这样由于2 种初始函数不同而导致的解析结果不同，其实质是主体公式有一个系数包含在哪一个子函数之中的问题，对流量计算不存在影响。

（6）注意事项。所拟合的函数在实测数据段内要符合单调增加的水文规律，如分段处理，临界点处要连续平滑。

表1 各种流态初始函数

表2 各种流态解析图及函数关系

表3 各个轮次的解析要点与一般解析结果

4 一元函数连积法用于水工建筑物流量定线实例

随机抽选几个典型的流态类型，用本文方法进行定线，并与原用方法进行对比。由于定线3 种检验绝大部分相关关系都能满足，特别是t 检验的统计量，随着误差指标的减少而变小，更容易满足要求，对比中只列出3种全部通过的总结论。具体的分析对比情况如表4。

结合表4，可以比较2 种方法的优劣。

（1）水力因子函数类型的变化。对于堰闸站，两个因子的函数变化都很大，可见“模型函数”并不符合实际情况；流量（或效率）系数法中用实测的系数曲线弥补了主体“模型函数”带来的影响，其定线精度受到的影响较小，而图解分析法定线精度整体偏低。对于电力抽水站或水力发电站，单机功率与流量在实测区域内并不是简单的正比例关系，如淮安二站，功率函数的改变较大地提高了质量；水头函数在2 个案例中虽然都符合指数函数关系，但此处并不建议其它站借用该模式，而应结合实际，因地制宜。

（2）误差分析。5 个案例中，因淮安抽水三站（发电）是单变量函数关系，笔者将其作为特例列出，其它4个案例都是本文方法定线精度较高，特别是与图解分析法定线相比，标准差减少达到或超过1%。高良涧闸（由孔）原定线的随机不确定度超过10%，已经不满足一类精度水文站的要求，而用本文方法定线，随机不确定度只有7.8%，有了很大改善。

5 相关问题的讨论与建议

5.1 目前应用经验公式定线存在的问题

经验公式（模型函数）定线不一定适用于所有状况，如：有的站在图解时只好采用折线分段的办法，将定线关系转换成流量关系后发现，在分段的过渡处虽然连续，但不符合平滑的水文规律。以运西闸站（沉堰）为例，2 种方法定线关系如图2，按实测资料将平均水头转换成流量关系如图3。

5.2 各水力因子相关性及其对流量关系的影响

（1）完全相关型。水力发电站或电力抽水站的流量关系中有N、h 2个参变量，如果是定桨定速水轮机，则N～h 有完全的相关关系，此时流量关系可以只用一个因子（h）表达，若仍用2 个因子，不但增加工作量，其关系也不一定有所优化。最明显的例子如：淮安抽水三站（抽水或发电）的定线关系为q～h；江都抽水站以叶片某一固定角度来建立q～h 关系，均是合理的。

（2）具有一定的相关度（包含暗相关）。在流量（效率）系数法定线中，相关因素的选择至关重要，有的因素用比值表示，这种比值实际上就是为了消除2 个因子之间相关度的影响，从而达到提高定线精度的目的。反映在经验公式法定线中，就是过渡因变量与因子的关系点散乱，次敏感因子的关系中更加明显。

相关度影响流量定线的处理方法：在上面的典型例子中，还没有出现由于变量之间的相关性导致精度不能满足定线要求的情况，但在实际案例中不排除这种因素的影响，如果出现精度很差的情况，可以尝试用因子改正法或流量改正法进行修正。

5.3 《规范》中关于经验公式的建议

（1）关于经验公式中系数的定义。在流量（效率）系数法中，公式由能量守恒原理推导出来，将各种影响因素和的数值归结到系数中，而公式主体含有流量的物理意义（的单位包含其中），故称其系数为无单位概念的流量系数。经验公式中的公式主体已经不具有流量的物理意义，Cc、Mb、Mc、ηk、ε 等就是经验公式系数。

（2）关于对经验公式法定线的检验。《规范》中没有对经验公式法定线检验作出明确要求。用多要素进行定线，其成果理论上应对每一个因子与过渡因变量的关系分别进行检验，需全部符合要求方可。实际上，除“敏感因子”外，其它因子的关系往往较差，检验的目的是确定因子与流量之间的关系是否满足特定的要求，基于这一点，只需用“敏感因子”与流量之间的关系作出检验，而无需检验因子与过渡因变量的关系。目前在实际整编中，只提供“敏感因子”与过渡因变量的相关图（如图2）以及“敏感因子”与实测流量的关系检验（如表4），这在今后的规定中应予以明确。

表4 典型流态两种方法定线成果对照

图2 运西闸（淹堰）2 种定线方法对照

图3 运西闸（淹堰）2 种方法流量关系（局部）对照

（3）对于二维以上变量的相关关系，诸如汇流模型、比降法推流、一潮推流等，习惯上都是按照既定的函数模式（经验公式）进行分析处理和误差评判，这些经验公式虽然是经过很多实例总结得出的，但由于各个案例都有其特殊性，若全部生搬硬套，不一定都能取得最优化的拟合结果。笔者利用数学分析的方法来优化水工建筑物流量关系，可以为其它多变量函数关系的分析提供借鉴。

［1］楚恩国.三河闸水工建筑物测流应用探讨［J］.水文，2000，20（4）：48-50.

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［3］关君蔚.生态控制系统工程［M］.北京：中国林业出版社，2007：101-103.

［4］陈晓龙.概率论与数理统计［M］.南京：东南大学出版社，2011：83.

［5］卢玉成，王一帆，卢曦.数据规律分析法在流量系数曲线公式拟合中的应用［J］.水文，2013，33（3）：69-76.