套管井贴壁声源激发的非轴对称声场的有限差分模拟及结果分析

陈雪莲，唐晓明，张聪慧，魏涛，董兴蒙，魏周拓

1中国石油大学（华东）地球科学与技术学院，青岛 266580

2中海油田服务股份有限公司油田技术事业部，北京 101149

1 引言

贴井壁的声波测井方式是声波测井中新发展起来的一种测量方式，在油气田动态开发和检测中受到广泛关注，尤其是在套管井水泥胶结评价中，例如原美国阿特拉斯公司的SBT（Segmented Bond Tool）测井仪器利用推靠臂把6个贴壁板推靠到套管内壁上，采用补偿式的衰减测量得到套管井环向6个方位上的衰减率，实现了水泥环第一界面方位胶结评价（魏涛，2010）.目前SBT是检查水泥环第一界面的固井质量及管外窜槽的最新最有效的测井仪器之一，我国一些油田测井公司陆续引进SBT仪器并进行自制研发，且开发了一个新的功能，即可以记录贴井壁的全波波形（魏涛，2010）.本文以SBT测井仪为参考，利用有限差分算法研究了贴井壁声源在套管井中激发的声场，并首次在数值计算模型中考虑了测井仪器贴壁滑板的存在对激发套管中传播的模式波的影响，模拟的波形与实际测井仪器记录的波形吻合较好，这为进一步开发贴井壁声源在套管井中的潜在应用、形成具有国家自主知识产权的固井质量探测方法和技术，例如利用记录的贴井壁全波波形评价水泥环第二界面方位胶结状况，提供理论支持.

现有的轴对称套管井井孔声学理论已不能直接指导贴井壁声源激发声场的测井解释，贴井壁声源激发的声场是典型的非轴对称声场，张海澜和沈建国等利用实轴积分法计算了大偏心声源激发的声场（沈建国和张海澜，2000；张海澜等，2004），并开展了实验室物理模拟研究（沈建国等，2002），但没有考虑贴井壁声源以及贴壁滑板的存在（即测井仪器存在）对套管中传播模式波的影响；另外，实轴积分法在模拟非轴对称井孔声场时有其局限性，即难以用于模拟非轴对称测井仪器本体的影响，因此宋若龙等（2010，2012）采用有限差分的模拟方法研究了套管井中井眼居中仪器偏心时激发的声场，井眼居中和贴井壁声波测井仪器的响应差异明显，何峰江等（2006）开展了贴井壁声波测井仪在裸眼井的有限差分模拟研究，但未涉及到径向分层的套管井的测井响应.国外有关贴井壁声源激发声场的数值研究未见公开发表.本文在此背景下利用三维高阶交错网格有限差分法（王秀明等，2003）模拟了测井仪器存在时贴壁声源在套管井中激发的声场，可以帮助人们认识此类声源在套管、水泥以及地层等各介质中激发声波的传播特征以及发生的一些物理现象（例如泄漏波），这将对优化仪器设计、提高声波测井资料的处理和解释能力等方面起到重要作用.

2 物理模型和计算方法

SBT测井仪通过推靠臂把贴壁滑板推靠到套管内壁上，滑板上安装了发射和接收探头，为了较好地模拟SBT测井仪的测井响应，建立了图1所示的数值计算模型，图1从内向外依次为井内流体、套管、水泥和地层，在套管内壁的6个方位上耦合与套管材质一样的弧形钢条，以模拟实际测井时贴壁滑板对激发声场的影响，声源位于钢条和套管内壁之间，例如图1中T表示声源位置，接收器R60（与声源方位相差60°）和R120（与声源方位相差120°）是实际测井仪SBT接收器位置（魏涛，2010），为了显示不同接收源距上的波形，在60°方位的贴壁滑板上放置了若干接收器.整个套管井模型的尺寸为0.4m×0.4m×0.8m，计算模型中各层介质的声学参数和尺寸见表1.本文中描述的自由套管模型井是指在套管和地层之间不耦合水泥，全部充满水；水泥环第二界面胶结差的套管井模拟是指套管与水泥界面耦合好、水泥和地层之间存在一个5mm的流体环.

图1 数值模拟的套管井模型示意图Fig.1 Cased－well model for simulations

表1 各介质的声学参数和尺寸Table 1 Acoustic parameters and size of model

针对上述物理模型，采用三维交错网格高阶有限差分程序进行模拟计算.根据运动学平衡方程，不考虑外部体积力的影响，速度－应力所表示的弹性波动方程组微分形式写成矩阵的形式：

式中，V＝ （vx，vy，vz）T，

在应力和速度迭代过程中，拉梅系数λ和μ、介质密度ρ都会随着空间网格节点而变化.为了提高有限差分的精度，剪切模量μ采用相邻区域四个节点的调和平均数，而弹性介质的密度ρ则采用相邻网格两个节点的算术平均值（Kostek，1991；Cheng et al.，1995；Liu et al.，1996），这样就能保证固液交界面的剪切模量为零.计算的具体表达式为：

由于交错网格的有限差分算法是一种显式差分格式，所以时间步长必须满足公式（4）才能使得速度应力迭代过程收敛

可以看出，有限差分的时间步长Δt由空间网格尺寸 （Δx，Δy，Δz）和波在介质中的传播速度c决定.在数值模拟中，为了保证稳定性条件的严格满足，c选取介质中最大的速度值.本文使用了PML（Perfectly Matched Layer，完全匹配层）吸收边界，声波在PML区域内的衰减可以通过指数函数表征：

其中，Λ为波长，δ为PML匹配层的厚度，执行过程中将吸收边界的厚度δ转化成对应的网格数Npml，a0为比例系数，用于优化吸收效果.

在本文的计算中，使用了400×400×800的网格，X，Y，Z轴上的空间步长均为0.001m，时间步长为0.0834μs.声源脉冲取为余弦包络脉冲函数（张海澜等，2004），中心频率为80kHz.

3 数值计算结果及分析

3.1 贴壁滑板的存在对套管中传播的模式波的影响

在100kHz以下的工作频段，常用套管厚度都远小于波长，在接近自由状态下，套管中可传播低阶的弯曲型Lamb波（A0模式，反对称Lamb波）和拉伸波（S0模式，对称Lamb波），统称为Lamb波，测井中习惯称此S0模式波为套管波.图2是自由套管模型不加贴壁滑板（也即不考虑测井仪器）时模拟的波列图以及从波列中提取的频散曲线，声源位于套管内壁上，接收器与声源处于同一方位，从图2a的时域波形可见全波中有拉伸波和弯曲型Lamb波，弯曲型Lamb波（A0）的幅度与拉伸波（S0）相比明显较大.图2b对比了从图2a波列中利用频谱相干法（Liu et al.，1996）提取的拉伸波和弯曲型Lamb波的频散曲线（O型离散曲线）与理论计算（Rose，1999）的频散曲线（解析解，实线），两者吻合较好，初步说明了数值计算的可靠性.

若考虑测井仪器的贴壁滑板，把声源加载到贴壁滑板和套管内壁之间，数值模拟的全波波形中拉伸波的幅度相对变大，弯曲型Lamb波的幅度减弱，见图3a所示，接收器与声源在同方位上，贴壁滑板的厚度是5mm.图3b是对接收的波列利用频谱相干法提取到的拉伸波和弯曲型Lamb波频散曲线（O型离散曲线），与理论计算的频散曲线（无贴板，实线）相比，拉伸波的速度稍有下降，这与滑板的存在相当于加厚了套管厚度有关，弯曲型Lamb波的速度稍有增加.在贴壁板厚度增加到10mm时，即与套管厚度相等时，模拟全波列中拉伸波的幅度增大更明显（见图4），且从全波列提取的频散曲线中较难观测到弯曲型Lamb波的成分，也即在贴壁滑板的厚度增加后，贴壁滑板对套管的弯曲振动起到了明显的压制作用，从而使得拉伸波被相对加强.综上可见，在模拟贴壁声源激发的井孔声场时要考虑测井仪器的存在对套管中传播模式的影响.

图2 不加贴壁滑板时模拟的波列（a）和提取的频散曲线（b）Fig.2 Simulated waveforms（a）and extracted dispersion curves（b）for no sidewall pad

图3 加厚度为5mm的贴壁滑板后模拟的波列（a）和提取的频散曲线（b）Fig.3 Simulated waveforms（a）and extracted dispersion curves（b）with sidewall pads

3.2 数值计算结果与SBT测井仪实测结果的对比

为了进一步验证数值模拟结果的可靠性，图5对比了SBT测井仪器在实际的自由套管井中测量的波形与数值模拟波形.数值模拟时建立的套管井模型尺寸和实际井一致，套管外径139.7mm，厚度7.72mm，井眼直径216mm，套管和地层之间充满流体.可见在拉伸波及来自水泥环界面的反射波等时间段内（0～150μs）两者相似性较好，验证了数值模拟的可靠性.

3.3 SBT测井响应的数值模拟结果及分析

在套管井中，套管被置于泥浆和水泥之间，沿着套管传播的Lamb波在套管中传播时还会向速度比其低的周围介质辐射声波（只要Lamb波的传播速度大于周围介质中的声速），其传播能量会有损耗，此时的Lamb波也称为泄漏Lamb波.图6是在自由套管模型井模拟SBT测井仪的一个发射器工作时在包含此发射器的XOZ截面的声场快照（应力分量），可见拉伸波在沿着套管传播时能量不断地泄漏到与其耦合的流体中（红色椭圆内），泄漏到流体中的声波传播到流体和地层的界面时会发生反射，反射波（绿色椭圆内）传播到套管外壁并被耦合到套管继续向前传播，可被接收器接收到.从声场快照中还可明显看到流体环中除了泄漏波之外，还有来自声源处的扩散波，这些波在井壁处也被反射回流体环中，又被耦合到套管被接收器接收，因此从贴壁接收器接收到的全波波形成分较多.

图4 加厚度为10mm的贴壁滑板时的模拟波列Fig.4 Simulated waveforms with thick sidewall pads

图5 数值模拟和实际测量波形的对比Fig.5 Comparison of full waveforms between simulation and field measurement

图6 自由套管模型井XOZ截面的声场快照Fig.6 Snapshots of XOZplane for free casing model

在套管外胶结了水泥后，由于水泥的纵波和横波速度均比套管中拉伸波的速度低，沿着套管传播的拉伸波会向水泥环中泄漏纵波和横波.图7是在套管胶结了常规水泥后的声场快照（与图6取得的截面相同），可明显观测到沿着套管传播的拉伸波向水泥中除了泄漏水泥纵波还有横波（见图中绿色椭圆内），泄漏的纵波和横波到达水泥第二界面后也会发生反射，若水泥环第二界面胶结差，例如在界面处存在流体时，泄漏横波的反射系数将明显大于水泥环与地层胶结良好时的反射系数，这为利用反射波信息评价水泥环第二界面的胶结好坏提供了可能.图8描述了套管波（例如拉伸波）向低速的水泥层泄漏（或辐射）纵波以及横波时的传播示意图，泄漏到水泥中的纵波（或横波）的波阵面与套管成一角度θ，波阵面沿套管传播的视速度vcement／sinθ等于套管波的相速度，由此得到图8所描述的套管波的辐射和在水泥环第二界面反射的路径图，反射波（水泥中的纵波或横波）的到时可用公式（5）表示.

式中x是发射器和接收器之间的传播距离，d2是水泥环厚度，vS0是拉伸波的相速度（较低频率下频散弱），θ是泄漏纵波或横波的辐射角度（图8中的θP或θS），vcement是水泥中的纵波或横波速度.

图7 套管后胶结水泥时的声场快照Fig.7 Snapshots for cement bonded casing model

图8 套管波的辐射和在水泥环第二界面反射的路径图Fig.8 Cased wave radiation and reflection travel paths

沿着套管传播的拉伸波泄漏到水泥环后，泄漏的纵波和横波再传播到水泥环外侧时会发生反射，水泥与地层界面的胶结状况会影响反射波的幅度和相位信息.图9显示了模拟的套管井水泥环第二界面胶结差（蓝色波列）和胶结良好（红色波列）时60°方位接收器R60记录的全波波形（径向分量），第一界面胶结良好.纵坐标是接收器与声源之间的轴向距离，图中黑色倾斜曲线是拉伸波（S0）的到时曲线，绿色曲线是水泥环中纵波反射的到时曲线，水泥环厚度是40mm.可见，沿着套管传播的拉伸波不受水泥环第二界面胶结状况的影响，但来自水泥环外侧的反射波受其胶结状况的影响较大，水泥环第二界面胶结差时反射波的幅度增强.为了对比水泥环第二界面胶结良好和胶结差时来自水泥环外侧反射波的差异，分别将两种胶结状况下的波形与水泥环厚度无限大的套管井模型下（也即地层的声阻抗与水泥相同）模拟的波形相减，得到了水泥环外侧的反射波，图10a和10b分别是水泥环厚度为24mm和40mm时的反射波波列图.可见在水泥环厚度增加时来自水泥环外侧的反射波到时明显滞后，红色曲线是水泥环中纵波反射波的到时曲线，蓝色曲线是水泥环中横波反射波的到时曲线，绿色曲线是水泥环中横波的2次反射波的到时曲线.

图9 水泥环第二界面胶结良好（红色波列）和胶结差（蓝色波列）时的波列对比图Fig.9 Comparisons of wavetrains between well bonded model（red）and poorly bonded model（blue）at the interface between cement and formation

图10 水泥环第二界面胶结良好（红色波列）和胶结差（蓝色波列）时来自水泥环外侧的反射波Fig.10 Comparisons of reflected wavetrains from the interface between cement and formation for well bonded model（red）and poorly bonded model（blue）

图11 水泥环第二界面胶结差（a）和胶结良好（b）时XOZ截面声场快照图Fig.11 Snapshots of XOZplane for poorly bonded condition（a）and well bonded condition（b）

另外，通过XOZ和XOY截面上的声场快照（见图11和图12）也可清晰地看到，在水泥环第二界面胶结差时，透射到地层中的声场能量减弱明显，水泥环中的反射波强度增强，此反射波耦合到套管中可被套管内壁上的接收器接收到，因此，可以利用来自水泥环外侧的反射波特征对水泥环第二界面的胶结状况进行评价，由于发射器和接收器布置在套管内壁的圆周上，相邻的一发一收装置所对应的圆心角为60°，所接收的信号仅包含了两换能器之间区域胶结状况的信息，利用此信息对水泥环第二界面胶结状况进行评价，可以实现类似SBT测井仪对水泥环第一界面胶结状况的方位评价需求.

4 结论

（1）声波测井仪器的存在会影响井孔中声波的传播特征，有限差分模拟结果表明贴壁声源仪器的存在明显改变了套管中模式波的传播特征，将SBT测井仪贴壁滑板贴到套管内壁后，大大压制了套管中弯曲型Lamb波的幅度，从而使得全波中拉伸波的幅度明显增强，数值模拟波形与SBT测井仪测量到的波形吻合较好；另外从有限差分计算的声场快照中可明显见到拉伸波沿着套管传播时会向与其耦合的泥浆和水泥中泄漏速度比其低的波，例如水泥环中有泄漏的纵波和横波.

（2）水泥中泄漏的纵波和横波传播到水泥与地层界面时会发生反射，来自水泥环外侧的反射携带了水泥环第二界面的胶结状况，从声场快照和贴套管内壁接收的全波波形中可明显见到水泥环第二界面胶结差时水泥环中的反射波幅度增强，因此在测井仪器记录了贴壁声源激发的全波波形时可以利用拉伸波之后的反射波信息反演水泥环第二界面的胶结状况，这有助于解决水泥环第二界面方位胶结状况定量评价的难题.

图12 水泥环第二界面胶结差（a）和胶结良好（b）时XOY截面声场快照图Fig.12 Snapshots of XOYplane for poorly bonded condition（a）and well bonded condition（b）

Cheng N Y，Cheng C H，Toksöz M N.1995.Borehole wave propagation in three dimensions.J.Acoust.Soc.Am.，97（6）：3483－3493.

He F J，Tao G，Wang X L.2006.Finite difference modeling of the acoustic field by sidewall logging devices.ChineseJ.Geophys.（in Chinese），49（3）：923－928.

Kostek S.1991.Modeling of Elastic Wave Propagation in a Fluid－Filled Borehole Excited by a Piezoelectric Transducer.Cambridge：Massachusetts Institute of Technology.

Liu Q H，Schoen E，Daube F，et al.1996.A three－dimensional finite difference simulation of sonic logging.J.Acoust.Soc.Am.，100（1）：72－79.

Rose J L.1999.Ultrasonic Waves in Solid Media.Cambridge：Cambridge University Press.

Shen J G，Zhang H L.2000.Numerical study on 3－D acoustic field generated by eccentric sources in borehole.ChineseJ.Geophys.（in Chinese），43（2）：279－286.

Shen J G，Chen Y，Zhang H L.2002.The experimental study on the acoustic field generated by a source on the wall of the aluminium tube.ActaAcoustica（in Chinese），27（3）：229－233.

Song R L，Liu J X，Yao G J，et al.2010.Parallel finite difference modeling of acoustic fields in nonaxisymmetric cased hole.ChineseJ.Geophys.（in Chinese），53（11）：2767－2775，doi：10.3969／j.issn.0001－5733.2010.11.026.

Song R L，Liu J X，Hou C H，et al.2012.Numerical simulation of Sector Bond log and improved cement bond image.Geophysics，77（4）：D95－D104.

Tang X M，Zheng C H.2004.Quantitative Borehole Acoustic Methods（in Chinese）.Zhao X M Trans.Beijing：Petroleum Industry Press.

Wang X M，Zhang H L，Wang D.2003.Modeling of seismic wave propagation in heterogeneous poroelastic media using a highorder staggered finite＿difference method.ChineseJ.Geophys.（in Chinese），46（6）：842－849.

Wei T.2010.Logging Evaluation of Cement Bonding in Cased Boreholes（in Chinese）.Beijing：Petroleum Industry Press.

Zhang H L，Wang X M，Zhang B X.2004.Acoustic Field and Waves in Borehole（in Chinese）.Beijing：Science Press.

附中文参考文献

何峰江，陶果，王锡莉.2006.贴井壁声波测井仪的有限差分模拟研究.地球物理学报，49（3）：923－928.

沈建国，张海澜.2000.井内偏心声源激发的三维声场的数值研究.地球物理学报，43（2）：279－286.

沈建国，陈宇，张海澜.2002.铝筒内贴井壁声源激发的声场的试验研究.声学学报，27（3）：229－233.

宋若龙，刘金霞，姚桂锦等.2010.非轴对称套管井中声场的并行有限差分模拟.地球物理学报，53（11）：2767－2775，doi：10.3969／j.issn.0001－5733.2010.11.026.

唐晓明，郑传汉.2004.定量测井声学.赵晓敏译.北京：石油工业出版社.

王秀明，张海澜，王东.2003.利用高阶交错网格有限差分法模拟地震波在非均匀孔隙介质中的传播.地球物理学报，46（6）：842－849.

魏涛.2010.油气井固井质量测井评价.北京：石油工业出版社.

张海澜，王秀明，张碧星.2004.井孔的声场和波.北京：科学出版社.