用数学语言写就的物理之诗——重温傅里叶《热的解析理论》

■ 叶梦姝

用数学语言写就的物理之诗
——重温傅里叶《热的解析理论》

■ 叶梦姝

【编者语】

热的作用服从于一些不变的规律，如果不借助于数学分析，就不可能发现这些规律。傅里叶阐明的这个理论的目的就是要论证这些规律：它把热传导的所有物理研究都归结为已经有实验所给出的那些积分运算问题。

法国物理学家、数学家傅里叶（1768—1830年）的论著《热的解析理论》是科学史上公认的划时代经典著作。从研究对象上来看，它突破了牛顿以来所规定的理论力学范围，开创了数学物理学的崭新领域；从研究方法上来看，它记载着傅里叶级数与傅里叶积分的诞生经过，被恩格斯和麦克斯韦评为“一首优美的数学的诗”。本书的另一个震撼之处在于其命题的宏大与数学处理的普遍性，傅里叶希望解释的热现象是包括大气、海洋、地壳等在内广泛的自然热现象，他希望为这个太阳辐射笼罩的星球上无处不在的热对流和热交换建立一个基于数学的统一理论体系。

一、热学：19世纪物理学的使命

19世纪初时，力学已经发展到了一个较为完善的阶段，欧拉和拉格朗日引入了更多数学方法使得矢量力学发展成为了分析力学，并得到了适用于广义坐标和广义力的拉格朗日方程，力学研究的范围大大扩展了。但于此同时，热学和电学等现象的研究仍然游离于数学方法之外，一方面由于其本质尚未被人类透彻了解，另一方面表达其物理过程的数学模型较为复杂。对于热学来说，几个世纪以来，人们一直为热到底是一种物质还是一种运动而争论不休。整个18世纪，人们都用热质说来解释能量守恒定律、比热、潜热等现象，甚至在拉瓦锡的元素列表中，也把热算作是一种无重量流体。虽然18世纪末时，伦福德和戴维通过实验向“热质说”和“燃素说”发起了有力的挑战，但直到1860年能量守恒及转化定律建立之前，“热质说”一直支配着主流的热学研究。

二、适用于广泛热现象的数学规律

傅里叶对热现象的兴趣来源于其对气候、天气、天文、潮汐等自然现象的观察。他在《热的解析理论》的绪论中声称，“和重力一样，热贯穿在宇宙间一切物质之中，它的射线充斥于空间的所有部分”，他思考了气候带与纬度、海拔、地形、盛行风向的关系，观察到了太阳辐射引起的空气的大规模运动，以及不同高度的气温差异。但是，他并没有陷入到对热本质的纠缠中，也没有执着于某个热定的热现象（当时的观测资料也不足够），而是致力于从现象出发建立关于热的普遍理论，集中解决了热在非均匀加热的固体中的分布传播问题。“当热贯穿到流体物质中，并在它们之中以不断改变每一分子的温度和密度而决定内部运动时，我们能够用微分方程来表示这样的复杂作用的规律吗？流体动力学一般方程中的有效变化是怎样的”，傅里叶希望“揭示这种元素（热）所服从的数学规律”，因为热的理论是“构成物理学的最重要的分支之一”。对于物理学来说，他把物理问题表述为线性偏微分方程的边值问题来处理，也极具创新。

三、造福后人的数学工具

数学分析是傅里叶的工具。原书题目下面柏拉图的名言“数控制着火”表明了傅里叶新柏拉图主义者的身份，他声称“数学的分析同自然界本身一样广阔” ，早年作为中学数学教员和拉格朗日助教的经历使得傅里叶对于线性偏微分方程的处理驾轻就熟。为了解析热的过程，他开创了“傅里叶分析”这一数学分支：即任意函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦和余弦函数在物理上是已被充分研究的一类函数，其性质和计算方法都相对简单。正如傅里叶所说，“对自然的深入研究是数学发现最丰富的源泉”，他从大气等的热现象抽象出来的数学问题推动了纯数学的研究。现代数学发现，傅里叶变换具有非常好的性质，它既有用、又好用，以至于各学科科研与工程技术中，傅里叶积分和傅里叶变换都是广泛应用的数学方法。

四、未完成的数学与物理之诗

作为一名理论学家，傅里叶论著的简洁性、清晰性和普遍性一直为人称道。他的理论有很强的几何直观，每一个数学表达式都有其对应的物理意义。科学史家认为，这与傅里叶广泛参与社会活动，而非在象牙塔中苦心孤诣有关。傅里叶的科学研究几乎都是业余完成的，年轻时他曾是一名文学爱好者，后来成为了一名数学助教，而后从政，以埃及研究院秘书的身份随拿破仑远征埃及，并作为地方行政长官历经多次宦海沉浮，年近半百才到科学院任职，有时间专心完成学术专著。

傅里叶对热现象的研究并没有随着《热的解析理论》一书的出版而画上句点， 大气的热现象持续吸引着这位科学家的好奇心，使他成为了大气层保温效应的发现者。在阅读了洪堡的《论等温线的温度报告》后，傅里叶计算出，一个物体，如果有地球那样的大小，以及到太阳的距离和地球一样，如果只考虑入射太阳辐射的加热效应，那它应该比地球实际的温度更冷。傅里叶猜测，是星际辐射或者地球的大气层的隔热作用使得大气保持了现在的温度。事实上，他原计划将他对热的相关研究的物理工作也扩充成一本书，名为《热的物理理论》，这也是他晚年一直钻研的问题。此书或许能对《热的解析理论》中未能充分讨论的热的动力效应进行解释，大气热力学和动力学的发展历史或许能够改写。然而傅里叶于1830年溘然长逝，本书最终未能完成，在科学史上留下了永恒的遗憾。