关于双曲函数的Cusa-Huygens型不等式的改进

何灯，李云杰

(福清第三中学，福建福清350315)

关于双曲函数的Cusa-Huygens型不等式的改进

何灯，李云杰

(福清第三中学，福建福清350315)

本文将双曲函数的Cusa-Huygens型不等式作了进一步的改进，所建立的双边不等式优于现有的诸多结果，文末导出一条涉及算术平均、几何平均、对数平均的不等式链.

双曲函数；Cusa-Huygens型不等式；Seiffert平均；不等式

0 引言

文献[1-2]建立了著名的Cusa-Huygens不等式，文献[3]给出了双曲函数的Cusa-Huygens不等式，针对文献[3]所建立的不等式的改进与推广，现有诸多结果[4-13].本文研究sh x/x更优的上下界形式，从而可将双曲型Cusa-Huygens不等式作进一步的推广和改进，并由此建立了涉及算术平均、几何平均、对数平均的一条不等式链.

1 预备知识

Cusa-Huygens不等式[1-2]：设，则有.

双曲函数的Cusa-Huygens不等式[3]：设x∈（0，+∞），则有

朱灵[7]将式（1）推广为：设x>0，，则有.

E.Neuman与J.Sándor改进式（1）为：设x>0，则.

成立当且仅当q≥3.

朱灵[15]将式（2）推广为：设x>0，p>1或p≤8/15，则当且仅当q≥3（1-p）.特别地，令p＝1/2，q=3/2，可得

杨镇杭[11]将式（3）推广为：

最近，杨镇杭[16]证得如下两个结论：

结论1设p，x＞0，双边不等式

结论2设x＞0，则

综合上述结论，可得不等式链

2 引理及证明

引理1设n∈N*，n≥7，则22n＞（1+p）2n+0.57n（1+p）2n，其中（下同）.

引理2设an=89×22n+121-（2n+1）[25（1+p）2n+25（1-p）2n+34+75p2n]，n∈N*，则an≥0.

证明当n＝1，2，3，可求an＝0.可求.

当n≥7，由引理1得

综上，引理2成立.

3 主要结论及其证明

从而式（5）右端不等式成立.又

由引理2可证最后一个不等式成立，则有式（5）左端不等式成立.

结合式（4），可得式（6）成立.

4 定理2的等价形式

两个正数a，b的幂平均定义为[17]

A2，A1，A0分别称为这两个数的平方根平均，算术平均及几何平均.

四类Seiffert平均分别定义为

从而定理2等价于下定理3.

定理3设a，b>0，a≠b，则如下不等式链成立

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Im provement of Cusa-Huygens Type Inequality for Hyperbolic Functions

HE Deng，LI Yunjie
（Number 3 Middle School，Fuqing 350315，Fujian，China）

In this paper，Cusa-Huygens type inequalities for Hyperbolic Functions are improved.The double inequality is obtained.An inequality chain about arithmetic mean，geometric mean，logarithmic mean is derived.

Hyperbolic functions；Cusa-Huygens type inequality；Seiffert mean；inequality

O 178

A

1001-4217（2015）02-0028-07

2014-09-08

何灯（1984-），男，福建福清人，学士，全国不等式研究会成员.研究方向：解析不等式及不等式机器证明.E-mail：hedeng123@163.com.