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关于双曲函数的Cusa-Huygens型不等式的改进

2015-12-08何灯李云杰

关键词:几何平均双曲福清

何灯,李云杰

(福清第三中学,福建福清350315)

关于双曲函数的Cusa-Huygens型不等式的改进

何灯,李云杰

(福清第三中学,福建福清350315)

本文将双曲函数的Cusa-Huygens型不等式作了进一步的改进,所建立的双边不等式优于现有的诸多结果,文末导出一条涉及算术平均、几何平均、对数平均的不等式链.

双曲函数;Cusa-Huygens型不等式;Seiffert平均;不等式

0 引言

文献[1-2]建立了著名的Cusa-Huygens不等式,文献[3]给出了双曲函数的Cusa-Huygens不等式,针对文献[3]所建立的不等式的改进与推广,现有诸多结果[4-13].本文研究sh x/x更优的上下界形式,从而可将双曲型Cusa-Huygens不等式作进一步的推广和改进,并由此建立了涉及算术平均、几何平均、对数平均的一条不等式链.

1 预备知识

Cusa-Huygens不等式[1-2]:设,则有.

双曲函数的Cusa-Huygens不等式[3]:设x∈(0,+∞),则有

朱灵[7]将式(1)推广为:设x>0,,则有.

E.Neuman与J.Sándor改进式(1)为:设x>0,则.

成立当且仅当q≥3.

朱灵[15]将式(2)推广为:设x>0,p>1或p≤8/15,则当且仅当q≥3(1-p).特别地,令p=1/2,q=3/2,可得

杨镇杭[11]将式(3)推广为:

最近,杨镇杭[16]证得如下两个结论:

结论1设p,x>0,双边不等式

结论2设x>0,则

综合上述结论,可得不等式链

2 引理及证明

引理1设n∈N*,n≥7,则22n>(1+p)2n+0.57n(1+p)2n,其中(下同).

引理2设an=89×22n+121-(2n+1)[25(1+p)2n+25(1-p)2n+34+75p2n],n∈N*,则an≥0.

证明当n=1,2,3,可求an=0.可求.

当n≥7,由引理1得

综上,引理2成立.

3 主要结论及其证明

从而式(5)右端不等式成立.又

由引理2可证最后一个不等式成立,则有式(5)左端不等式成立.

结合式(4),可得式(6)成立.

4 定理2的等价形式

两个正数a,b的幂平均定义为[17]

A2,A1,A0分别称为这两个数的平方根平均,算术平均及几何平均.

四类Seiffert平均分别定义为

从而定理2等价于下定理3.

定理3设a,b>0,a≠b,则如下不等式链成立

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Im provement of Cusa-Huygens Type Inequality for Hyperbolic Functions

HE Deng,LI Yunjie
(Number 3 Middle School,Fuqing 350315,Fujian,China)

In this paper,Cusa-Huygens type inequalities for Hyperbolic Functions are improved.The double inequality is obtained.An inequality chain about arithmetic mean,geometric mean,logarithmic mean is derived.

Hyperbolic functions;Cusa-Huygens type inequality;Seiffert mean;inequality

O 178

A

1001-4217(2015)02-0028-07

2014-09-08

何灯(1984-),男,福建福清人,学士,全国不等式研究会成员.研究方向:解析不等式及不等式机器证明.E-mail:hedeng123@163.com.

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