运用几何画板的深度迭代功能展现数学之美

■方　草

运用几何画板的深度迭代功能展现数学之美

■方草

随着新课程改革在全国的推进，信息技术在中学数学教学中的应用越来越广泛，几何画板凭着简单直观的操作界面和强大的作图、运算、编程、拓展能力，无疑成为了我们数学教学中应用得最为广泛的软件。几何画板中的深度迭代功能强大，能够将数学之美表现得淋漓尽致。但是大多数教师只会简单地运用几何画板展现图形或者动画，这些应用远远不能发挥几何画板的强大功效，更不能让学生感受到数学之美，也无助于激发学生学习数学的兴趣。那么几何画板如何才能较好地在中学数学中应用呢？如何运用几何画板和多媒体技术展现数学之美呢？本文就这些问题展开探讨。

一、什么是深度迭代

迭代在几何画板的“变换”下拉菜单中，深度迭代需要按住shift键再点开“变换”菜单才能显示出来，那么什么是迭代，什么是深度迭代呢？这是很多几何画板学习者所困惑的一个问题。迭代就像数学中的函数。函数是数到数的映射，例如：若给定y=f（x），参数a，计算f（a），其中a→f(a)就是迭代。若将函数值再代入函数计算f（f（a）），这就是按照上述方法进行两重迭代。在几何画板中选中参数a,选择迭代到f（a），然后设置迭代次数为两次即可完成上述操作。这是一个静态演示的过程，如果再新建一个参数n，先选中a，再选中n，按住shift点开“变换”选择“深度迭代”，将原象a对应到初象f（a）,最后选择的参数n即为迭代次数。对于参数n设置动画按钮，参数n的变化就能引起迭代相关对象的动态变化，配合相关图形，即能对学生形成视觉刺激，留下深刻的影响，奇妙的变化也能让学生产生探索的欲望。从上面我们可以看到几何画板中迭代的控制方式分为两种，一种是没有参数的迭代，另一种是带参数的迭代，我们称为深度迭代。两者没有本质的不同，但前者需要手动改变迭代的深度，后者可通过修改参数的值来改变迭代深度，因此我们可以制作参数的动画按钮来产生迭代的动画。

二、在中学教学中如何运用深度迭代

深度迭代比较适合在中学数学的大多数板块中应用，比如：平面几何、立体几何、函数、数列、概率模拟、微积分等等。

1.用深度迭代展示“二分法”求函数的零点

在我们平常的教学中大多是列表用计算器来算二分法表格中的函数值，不仅计算速度慢，而且枯燥乏味，不能激发学生的学习兴趣和学习热情。教材中给出了通过EXCEL利用二分法求函数零点的方法，由于界面不够形象美观，也很难激起学生的兴趣。如果我们用几何画板的迭代工具通过二分法求零点，不仅过程动态可见，而且能够较好地将数学之美通过几何画板展现出来，从而激发学生的学习热情。

2.利用几何画板的深度迭代模拟撒豆子估算圆周率

圆周率的认识历史实际上是一部数学发展史。我们可通过对前人研究圆周率的历程和方法介绍，引起学生对未知知识的探究兴趣。我们也可用计算机快速模拟撒豆子计算圆周率，这样在向学生展示现代信息技术魅力的同时，也可通过这个动画过程的演示向学生展示数学之美。

3.利用几何画板的深度迭代画树形图

（1）在垂直方向上画线段AB，在AB左上区域任取一点C。

（2）度量CB，AB的长度，计算CB/BA；度量∠CBA的大小。

（3）双击C点作为旋转中心，旋转角度为∠CBA，旋转B得到点E；继续以CB/BA为缩放比例。

（4）双击线段AB作为标记镜面，得到C、F、G关于线段AB的对称点D、H、I，连接GC、FC、ID。

（5）新建参数n=3。顺次选择A、B、C三点和参数n，作深度迭代，(A,B,C)⇒(B,C,G),(B,C,F),(B,D,H),(B,D,I)。

（6）移动C点的位置，改变树枝的形状。

深度迭代的过程是：

（1）顺次选择原像和参数n。（注意顺序）

（2）按住shift不放，单击菜单【变换】【深度迭代】（出现对话框后可以松开shift键）。

（3）依次选取初像。（注意顺序）添加映射的方法是按键盘“Ctrl+A”。

从上面的例子我们可以看到，利用几何画板的深度迭代，可以直接改变由听数学、练数学的传统教学模式为看数学、做数学实验的新型数学教学模式。这种方法既解决了教学的难点，突出了重点，优化了课堂，又能够极大地激发学生做数学、探究数学、体验数学的兴趣，使得学生不仅能够体会到学习新知的愉悦，还能体验到数学的美妙与信息技术的神奇之处，同时这也可以作为我们教改的一个有效的切入点。

数学美无论是概念之美、公式之美，还是图象之美、结构之美，都是一种自然的、真实的美。它不像艺术美那么外显，也就是说，数学美的信息是隐藏在数学知识、教学方法、教学语言之中的，是隐形的。数学教师的责任就是要努力挖掘、精心提炼数学教材中各种各样的美，让学生通过享受数学之美，从而真正热爱上数学学习。

（作者单位：武汉市第十九中学）

责任编辑王爱民