分析二次函数中系数的作用

王欣

一、注意函数中对二次项系数的条件限制

例1.若函数是二次函数，求k的值。

解：由题意可得k2-3k+2=2，解之得k1=0，k2=3。∵当k=3时，二次项系数k-3=3-3=0，不合题意，∴符合题意的k的值为k=0。

例2.若二次函数有最大值为0，求m的值。

解：由题意可知，该函数顶点的纵坐标为，解之得，m2=2。∵当m=2时，二次项系数m-1=2-1>0，原函数只有最小值而无最大值，∴符合题意的m的值为。

分析：在根据题意求得二次函数中未知字母参数的具体取值后，必须将其代入二次项系数进行检验，如果该字母的取值不符合题意（如：使二次项系数的值为0或二次项系数的正负性不满足题目要求等等），那么这个值就必须舍去。

二、注意函数中其它项系数的符号限制

例3.已知对称轴在y轴右侧的二次函数的图象经过原点，求k的值。

解：由题意可得k2+k-2=0，解之得k1=-2，k2=1。∵函数图象对称轴在y轴右侧，∴，∴符合题意的k的值为k=1。

例4.若抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），且该抛物线与y轴的交点位于x轴上方，求m的值。

解：由题意，将（3，0）代入抛物线解析式得，解之得m1=4，m2=-1。∵抛物线与y轴的交点位于x轴上方，∴9m>0，即m>0，∴符合题意的m的值为m=4。

分析：在求得二次函数中未知字母参数的具体取值后，除了应检验是否使二次项系数的值为0外，有时还需根据题目条件对一次项系数或常数项的符号进行检验。

三、注意判别式对字母取值范围的限制

例5.若抛物线与x轴有A、B两个交点，且A、B两点关于y轴对称，求m的值。

解：由题意可得，解之得m=±6。∵当m=-6时，原函数即，此时，不合题意，∴符合题意的m的值为m=6。

分析：在已知抛物线与x轴的有交点（有两个交点或一个交点）或无交点的情况下，求得二次函数中未知字母参数的具体取值后，一般还需对函数的判别式进行检验。

四、注意函数中自变量取值范围的限制

例6.如图所示，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x（m），面积为S（m2），求此花圃可围成的最大面积，并说明理由。

解：由题意可得S=x（24-3x），即S=-3x2+24x。

∵墙的最大可用长度为10m，∴，解之得。

将原函数配方成可知，此函数图象的顶点坐标为（4，48），显然此顶点不在自变量的取值范围内。

∵，且在顶点右侧，函数图象逐渐下降（即函数值S随自变量x的增大而减小），∴当时，S有最大值，m2。

分析：在实际问题中求二次函数的最值（最大或最小值）时，必须结合自变量的取值范围来综合加以考虑，如果所求函数的顶点不在自变量的取值范围内，则不能利用配方或顶点的纵坐标公式直接计算函数的最值。