用构造法巧解初中代数题

文广西省贺州市富川县富阳镇初中 廖建光

用构造法巧解初中代数题

文广西省贺州市富川县富阳镇初中 廖建光

由于初中代数是学生第一次接触的知识内容，对学生的思维转变要求比较高，不少学生在这个学习过程中遇到困难.原因之一就是学生没有掌握合适的学习方法和解题技巧.而构造法是根据解题的需要，构造出题目所没有提及的代数式、方程、不等式、函数，等等，将已知条件和所求问题联系起来，达到解题目的的一种创造性数学方法.它能起到发散学生思维作用，提高学生的创造性思维.笔者结合例题，谈谈构造法在初中代数题中的应用.

一、构造辅助函数法

对于一些复杂的基本函数，学生无法很好地厘清结构，导致无从下手解题.教师可以用构造辅助函数法，来帮助学生解题.构造辅助函数法是根据题意和结论，重新构造出一个新的函数解析式，转而利用函数的一些性质来解题.

例题1：已知x，y，z∈（0，1），求证：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1.

这题用构造辅助函数法，构造出f（x）=（1-y-z）x+y（1-z）+z，x∈（0，1）则有f（0）=y（1-z）+z=（y-1）（1-z）＜1，f（1）=1-y-z+y（1-z）+z=1-yz＜1，所以当时0＜x＜1，都有f（x）＜1，所以有（1-y-z）x+y（1-z）+z＜1，即（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1.

上题中，直接证明会比较困难，学生也不容易理解.用构造法就能利用函数的性质巧妙解题，增加学生对函数的深刻认识.

二、构造辅助代数式

对于一些从正面思考比较困难的题目，可以考虑构造一个联系已知条件和结论的代数式，用反证法证明出假设错误或者矛盾，从而达到解题的目的.

例题2：求证：在［0，1］内的有理数为无穷个.

此题适合用反证法和构造法结合，可假设在［0，1］内的有理数个数为n个，a1，a2，…，an.因为任意两个有理数的乘积都是有理数，于是可以构造出一个新的有理数p= a1，a2，…，an，又因为a1，a2，…，an∈［0，1］，所以p∈［0，1］，这说明在［0，1］内的有理数个数为n+1个，与假设矛盾，所以在［0，1］内的有理数为无穷个.

这题体现了学生构造的思维和逆向思维的结合，对学生有一定的启发作用，教师可以在课堂上多引导学生思考这类问题，以达到提高学生发散思维的作用.

三、构造辅助方程法

有些初中数学题是和方程紧密结合的，需要用到解方程的思想，这时教师就应该引导学生通过分析问题，构造出辅助方程或者方程组，然后结合方程的求解或者方程解的性质来解决问题.

四、构造辅助不等式法

如果从题意中我们可以明显看出有不等关系，就可以考虑用构造辅助不等式法来解.将题目中的数量关系用不等式或不等组来表达，使问题得到解决.

例题4：某企业生产一种工具，其固定成本为30000元，而单个工具的成为是4元，出厂价为6元，缴税额为销售总额的，如果要使固定成本小于利润，那么企业至少要生产销售多少个工具？

题目中出现关键字眼“小于”、“至少”，提示我们这是数量之间的不等关系，要构造出相应的不等式来求解.这里可以设问题为x，即企业至少要生产销售x个工具，则由题意构造出不等式：6x-（4x+6x× 10％）＞30000，解不等式即可求出答案.

这类题关键是要学生抓住题目中的关键字眼，挖掘数量之间的不等关系.教师在讲解过程中，应该多用变式来提高学生对关键字眼的敏感度.

使用构造法就是学生的创造性思想的具体表现，其一方面提高了学生的灵活性和创新型，另一方面又将不同的数学思维和知识结合起来了，能帮助学生走出固化的思维困境，开拓学生的智力和探索能力.

责任编辑 罗 峰