分类思想在数学中的运用

张兴彩

数学思维是数学学习的重要组成部分，用以实现数学探究、猜想、转化等思想方法，近年来，在初中数学教学中培养学生良好的思想品质，是每一位数学教师积极探索、努力践行的方向，也是符合新课改标准，推行素质教育的有效途径。

数学分类思想是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分为几个不同种类的一种数学思想它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。  在初中数学教学中分类讨论的思想贯穿始终，应用分类讨论的思想解决数学问题能起到事半功倍的效果，对学生高效解决问题带来极大的方便，而分类的过程又能充分培养学生思考问题的严谨性和提升学生对数学规律的探索能力。

教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用。

一、渗透分类思想，养成分类的意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握滲透的契机。如数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。

整数、分数、正有理数、零、负有理数、教授完负数、有理数的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法。为下一步分类讨论奠定基础。

认识数a可表示任意数后，让学生对数a 进行分类，得出正数、零、负数三类。讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。

又如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。

结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。

二、学习分类方法，增强思维的缜密性

在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。

分类的方法常有以下几种：

1.根据数学的概念进行分类。有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。

例1、化简解：

2.这是按绝对值的意义进行分类。

例2、比较 与 易得 的错误，导致错误在于没有注意到数 可表示不同类的数。而对数 进行分类讨论，既可得到正确的解答：

〉0 时 ，= 0 时 ，< 0 时 ，2、根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类

学习一元二次方程 ， 根的判别式时，对于变形后的方程。用两边开平方求解，需要分类研究 大于0，等于0，小于0这三种情况对应方程解的情况。而此题  的符号决定能否开平方，是分类的依据。从而得到一元二次方程 的根的三种情况。

例3、解关于x的不等式：ax+3>2x+a

分析通过移项不等式化为（a-2）x>a-3的形式，然后根据不等式的性质可分为a-2>0，a-2=0，和a-2<0三种情况分别解不等式。

当a-2>0，即a>2时，不等式的解是x>

当，a-2=0，即a=2时，不等式的左边=0，不等式的右边=-1

因为01-1，所以不等式的解是一切实数。

当a-2<0，即a<2时，不等式的解是x<

3.根据图形的特征或相互间的关系进行分类。如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。

在证明圆周角定理时。由于圆心的位置有在角的边上、角的内部，角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易解决的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明（圆心在圆周角的一条边上）的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。教材中在证明弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。也是如此分圆心在弦切角的一条边上，弦切角的内部、弦切角的外部三种不同情况解决的。

三、引导分类讨论，提高合理解题的能力

初中数学相对来说还不是特别难，对于很多的题目也不是必须使用分类讨论思想才能解体，有时一道题可以有多种解题方法。只要你掌握了其中的一种就可以，只是有些题目虽然不是用分类讨论也可以得到解答，只是不使用分类讨论思想解得过程很复杂，也很容易出现错误，因为条理不清晰很容易忽略某种情况，或重复出像一种情况下的解答过程。因此，弄清题目类型在解答时相当重要，掌握分类讨论思想可以使好多复杂的题目简单化。初中数学经常利用分类讨论思想解的题目主要有函数式或方程的解答过程中根据参数的取值范围进行分类讨论，然后再将分类讨论的结果进行归总，得出在参数取不同范围时解的情况。另外就是几何中根据点线位置进行分类讨论，把几何问题转化为代数问题解决运用了转化思想同时也使用到了分类讨论的思想，使问题得到简化。

四、在新课讲解中贯穿分类讨论思想

定理公理的探索推到是初中学习数学的一大项，学生不仅要知道公理的形式还要知道公理的推理这样不仅有利于记忆，而且在这个推理过程中学生还能学到很多东西，公理的探索推理有好多会用到分类讨论思想，让学生自己去进行公理的推到对学生的思维开发有很大作用。

利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。

学生在学习中掌握分类讨论思想解题的过程也就是不多学习不断成长的过程，在学习解题思想时能有效地激发学生学习的热情，有层次的集体步骤让同学觉得很明了，也就会产生一种成就感，对他们身心健康也有很大的作用。这样的学习有效地提高了课堂教学的效率。