МАТЕМАТИЧЕСКОЕМОДЕЛИРОВАНИЕДИНАМИКИСИЛРЕЗАНИЯПРИВЫСОКОСКОРОСТНОМФРЕЗЕРОВАНИИСИСПОЛЬЗОВАНИЕМРАЗРЫВНЫХФҮНКЦИЙ

С. В. Биленко, П. А. Саблин, Чжан Дань

(Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет, Россия 681000)



МАТЕМАТИЧЕСКОЕМОДЕЛИРОВАНИЕДИНАМИКИСИЛРЕЗАНИЯПРИВЫСОКОСКОРОСТНОМФРЕЗЕРОВАНИИСИСПОЛЬЗОВАНИЕМРАЗРЫВНЫХФҮНКЦИЙ

С. В. Биленко, П. А. Саблин, Чжан Дань

(Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет, Россия 681000)

ББК:TG702

Код статьи：2095-7262(2015)01-0075-07 Код условия:A

Abstract:This paper begins with a consideration of the influence of feed per revolution upon the depth of a cut and the impact of the machining method on the direction of tool pressure average and subsequent description of efficient cutting directions and the methods for load cell orientation. The paper goes further into the key conclusions concerning the dependences of the cutting depth at high-speed milling as in the case of discontinuous functions. It ends with recommendations offered for positioning of load cells for cut-up milling and cut-down milling.

Key words:high-speed milling; load cells; tools; tool pressure; depth of cut

doi:10.3969/j.issn.2095-7262.2015.01.017

CLC:TG702

Article ID:2095-7262(2015)01-0075-07 Document code:A

Разработка новых эффективных технологий для машиностроительного производства немыслима без исследований динамики технологических систем механической обработки. При проектировании, изготовлении и эксплуатации современных высо-

коскоростных металлорежущих станков все чаще возникает необходимость решения задач, связа-

нных с динамикой процесса обработки. В первую очередь это относится к обеспечению условий устойчивого движения инструмента и загото-вки[1].

1Определение основных параметров

фрезерования

Наиболее нестационарным из всех процессов механической обработки и, обладающий вследствие этого наиболее сложной динамикой, является процесс высокоскоростного фрезерования.

1.1Траектории рабочих движений любой точки режущего лезвия

Для практического исследования динамики фрезерования достаточно часто бывает полезным знать примерное значение суммы силF1,F2, …,Fkрезания, приложенных к режущим кромкам инструмента, и направление вектораFравноде-йствующей этих сил в координатах станка. Да-нные параметры являются основополагающими, как при расчетах погрешностей размерной точно-

сти обработки вследствие упругих перемещений технологической системы, так и при построении моделей процесса фрезерования (рис. 1).

Рис. 1　Силовая схема процесса высокоскоростного фрезерованияFig. 1　Force of high speed cutting process

действующей сил резания и телесного угла её разброса ΔF, позволят корректно, в соотве-

тствии с наиболее информативным пространстве-

нным направлением, расположить на станке систему датчиков для проведения эксперимента-

льных исследований. В дальнейшем сигналы с этих датчиков с минимальной предобработкой могут быть использованы для исследования методами нелинейной динамики.

Как известно[2], при фрезеровании траекторией относительного рабочего движения любой точки режущего лезвия является удлиненная циклоида-трохоида (рис.2). Высота трохоиды равна диаметру D фрезы,а расстояние между её петлями равно величине подачи SOна один оборот фрезы. Траектории движения лезвий отдельных зубьев сдвинуты друг относительно друга на величину подачи SZна один зуб фрезы, равное SO/z, где z-число зубьев фрезы.

Для упрощения расчета сил резания и вычисления размеров срезаемого слоя при фре-зеровании трохоиду нередко заменяют окружно-

стью. При этом предполагается[2]что, ошибка от указанной замены не будет превышать 1%.Однако в условиях высокоскоростной обработки (ВСО) даже такая незначительная погрешность может иметь существенное значение. Зачастую высокая скорость процессов пластической дефо-

рмации при ВСО в совокупности с существенной нелинейностью зависимости силы резания от толщины среза и скорости резания приводят к возникновению особого типа поведения динами-

ческой системы-детерминированному хаосу, в результате чего динамическая система станка становится очень чувствительной даже к незначительным возмущениям[3-4]. В режиме детерминированного хаоса любая погрешность, проявляющаяся вследствие какого-либо неучте-

нного фактора или неточности расчетов, подвергается экспоненциальному усилению и, в итоге, динамика реальной динамической системы сильно отличается от расчетных данных.

1.2Математическое описание траектории рабочих движений зубов

Таким образом, для условий высокоскоростного фрезерования следует использовать более тонкие расчеты силы резания. Для этого представим траекторию рабочего движения режущего лезвия при фрезеровании в виде кривой, описываемой точкойA(x,y), отстоящей на фиксированном расстоянииR=D/2 от центраO(x0,y0) круга, причем круг вращается по часовой стрелке с угловой скоростьюω=Vр/(2π·D) (гдеVр- скорость резания), а центр круга перемещается по оси абсцисс с линейной скоростьюv=SO·ω/(2π). Тогда запишем траекторию движения зуба фрезы (сплошная линия на рис.3) в виде системы параметрических уравнений:

гдеφ0=π-начальный угол поворота фрезы;- параметр времени.

Рис. 2　Траектории рабочих движенийдвух смежных зубьев осевой цилиндрической фрезы (для z=4,SO=0.32D)

Fig. 2Machining trajectory on vertical cylindrical

milling cutter (z=4,SO=0.32D) between two blade edge

Теперь рассмотрим траекторию движения предыдущего зуба фрезы (штриховая линия на рис.3). Отложим отрезок от центраOфрезы до точкиAтекущего положения режущего лезвия. Очевидно, что мгновенное значение толщиныhZсрезаемого слоя равно расстоянию от точкиAдо точкиA1пересечения отрезкаOAи траектории движения предыдущего зуба. Найдем координатыx2иy2этой точки.

2Определение разрывной функции

толщины среза

Предположим, что центр фрезы в момент прохождения предыдущим зубом точкиA1нахо-

дился в точкеO1(x1,y1) (рис.3а), отстоящей от текущего центра фрезыOна расстояние, равное подаче на зуб SZ, то есть:

(1)

Рис. 3　Схема расчета мгновенного значения толщины hZ срезаемого слояFig. 3　Calculation of instantaneous cutting thickness

Теперь о точкеA1нам известно, что, во-первых, она принадлежит отрезкуOA:

(2)

0≤t≤1.

(3)

где:t-параметр принадлежности отрезку; а во-вторых, что она удалена от точкиO1на расстояние, равное радиусуRфрезы:

(4)

Подставляя формулы (1) и (2) в (4) получим следующее выражение:

(x0+t·(x-x0)-(x0-SZ))2+

(y0+t·(y-y0)-y0)2=R2.

которое после преобразований обращается в квадратное уравнение вида:

(5)

Решим уравнение (5) относительноtпоформуле:

что в конечном итоге приводит к выражению:

(6)

Так как по условию (3) параметрtнеотри-

цателен, то один из корнейt2уравнения (6), являющийся суммой двух отрицательных чисел и явно приводящий к отрицательному результату, можно отбросить. То есть получим:

Зная параметрt, из (2) найдем точкуA1(x2,y2). Однако при анализе рисунка 3а выявляется некоторая неточность-отрезкиOAиO1A1расположены относительно друг друга под угломβ. А это значит, что точкамAиA1соответствуют разные фазы поворота зубьев фрезы и, следовате-

льно, действительное расстояние между точками центров вращение не равно величине подачи SZ на зуб. Вычислим уточненное расстояние между точками центров вращения фрезы:

Для этого, воспользовавшись одним из свойств векторного произведения, вычислим значение углаβпо формуле:

которая после упрощения сводится к выражению:

(7)

Нетрудно заметить, что максимального своего абсолютного значения уголβдостигает при усло-

нным на рис. 2 и 3, получимSZ=0.08D=0.16R,βmax=±9.2°. То есть погрешность наших вычи-

слений может достигать величины ±9.2°/360°=±2.6%.

Чтобы скомпенсировать данную погрешность найдем уточненную точкуO2(x3,y3) (рис. 3б), в которой находился центр вращения фрезы в момент пересечения предыдущим зубом отре-

зкаOA:

(8)

Тогда в соответствии с вышеописанным алгоритмом найдем уточненную точкуA2(x4,y4), которая принадлежит отрезкуOA:

(9)

0≤ty≤1.

(10)

(гдеty—уточненное значение параметра) и находится на расстоянииRот точкиO2:

(11)

С учетом (7) , (8) и (11) получим следующее выражение дляty:

(12)

Следует отметить, что для расчетаSyмы использовали значение углаβ, вычисленное по формуле (7). Поэтому для оценки погрешности вычислений необходимо выяснить насколько реальное значение углаβyмежду отрезкамиOAиO2A2в наших уточненных расчетах отличается от значенияβ, взятого за исходное. Величинуβyрассчитаем по формуле, аналогичной (7), но с учетом того, что параметрыSyиyзависят от параметра времениτ:

Численная проверка с помощью компьютерных расчетов показала, что расхождение междуβyиβсоставляет ±0.05°, то есть погрешность вычи-

слений равна ±0.015%.

Зная значениеhZ(τ) толщины срезаемого слоя, согласно методике[5]найдем величину силы резания, приложенной к одному зубу:

Fz(τ)=hZ(τ)·tФ·KC,

(13)

гдеtФ-глубина фрезерования;KC-удельная сила резания, приходящаяся на единицу площади срезаемого слоя.

ВеличинаKCразлична для разных обраба-

тываемых материалов и определяется по формуле:

(14)

гдеKC1-удельная сила резания (для конкретного обрабатываемого материала) при толщине стружки 1 mm;mC-степенной показатель зависимости уде-

льной силы резания от толщины стружки.

Исходя из (13) и (14) получим:

Fz(τ)=hZ(τ)1-mC·tФ·KC1.

Значения параметровKC1иmCдля различных материалов приведены в таблице 1[5].

Таблица 1　Значения параметров KC1 и mCTable 1　 KC1 and mC parameter

3Результаты моделирования динамики

и анализа

Согласно предложенной методике рассчитаем ширину срезаемого слоя и силу резания для алюминиевого сплава (рис.4). Для иллюстрации используем фрезы с числом зубьевzравным 1, 8 и 300, а величину подачиSZна зуб примем постоянной, равной 1 mm.

Рис. 4　Графики зависимостей ширины срезаемого слоя hZ и силы FZ резания, приложенной к одному зубу,при обработке алюминиевогосплава цилиндрической фрезой D=100 mm с различным количеством зубьевFig. 4　Relation curves between cutting force and cutting layer width for cylindrical milling cutter machining aluminum alloy under different cutter teeth

На графиках хорошо заметно, что чем больше оборотная подачаSO(зависящая отzприSZ= const), тем более асимметрично выглядят графики толщинhZи, следовательно, тем сильнее реальные значенияhZотличаются от тех значений, которые бы мы получили аппроксима-

цией трохоидальных траекторий режущих лезвий участками окружностей.

На практике, при высокоскоростном фрезе-

ровании, режимов резания полным диаметром фрезы (B=D) стараются избегать, так как такой режим обработки сильно нагружает инструмент и катастрофически сокращает его ресурс. Для каждого высокоскоростного инструмента суще-

ствуют рекомендуемые значения шириныBфрезерования при обработке различных материа-

лов, превышение которых ведет к изменению теплового режима и, как следствие, к усиленному износу инструмента. Так для инструментов фирмыSandvikCoromantпри обработке алюми-

ниевых сплавов рекомендуется выбиратьB=0.6D, при обработке закаленных сталей -B= 0.2D[5].

Добавим условие обработки неполным диаме-

тром фрезы в выражение (12) в виде дополнительных разрывных зависимостей.Тогда функция мгновенного значения толщины срезаемого слоя при фрезеровании приобретет вид:

гдеyвриyвых-ординаты врезания и выхода соответственно, определяемые в зависимости от способа обработки:

для симметричного фрезерования (рис. 1)yвр=B/2,yвых=-B/2;

для встречного фрезерованияyвр=D/2,yвых=yвр-B;

для попутного фрезерованияyвых=-D/2,yвр=yвых+B.

Рис. 5　Графики изменения проекций вектора F результирующей силы резания всех зубьев цилиндрической фрезы за один её оборотFig. 5　Vector projection F of all blade cutting force when cylindrical milling cutter turning week

Следующим этапом рассмотрим, в какой степени на направление математического ожидания силы резания влияет величина шириныBфре-

зерования. Для этого проведем численные расчеты, результаты которых представлены на рис.6.

Рис. 6Графики зависимости угла наклона (относительно

равнодействующей сил резания от ширины

Bфрезерования

4　Вывод

(1)В соответствии с полученными графиками можно сделать вывод о том, что для проведения экспериментальных исследований динамики сил резания при высокоскоростном фрезеровании целе-

сообразно придерживаться симметричного напра-вления резания, так как в этом случае матема-

трических датчиков также следует ориентировать строго вдоль осиY, что в технологическом плане достаточно удобно. Кроме

материала.

(2)При необходимости экспериментальные исследования можно проводить также для встречного и попутного фрезерования, но в этом случае систему измерительных датчиков необходимо будет ориентировать под существенным углом относите-

льно осиY: 37° для алюминия (рекомендованное значениеB=0.6D) и 61° для закаленных сталей (рекомендованноеB=0.2D).

Список литературы:

[1]Кудинов В А. Динамика станков М. Машиностроение. 1967(3): 356- 360.

[2]Бобров В Ф. Основы теории резания металлов. - М., 1975(6): 340 - 344.

[3]Кабалдин Ю Г, Биленко С В, Серый С В. Исследование детерминированного хаоса в динамике процессов механообработки методом реконструкции аттрактора .Вестник машиностроения. 2003(1): 50-56.

[4]Кабалдин Ю Г, Биленко С В , Саблин П А. Математическое моделирование динамической устойчивости процесса резания в виде нелинейного осциллятора с разрывными характеристиками. Вестник машиностроения. 2006. 10, С. 35-43.

[5]Материалы компании .Sandvik Coromant. Адрес в Интернет. http://www.coromant.sandvik.com.

(编辑李德根)

В настоящей статье рассматривается влияние оборотной подачи на толщину среза, а также способа обработки на направление математического ожидания силы резания. yстановлено целесообразное направление резания и способов ориентации динамометрических датчиков.Cтатья содержит основные выводы зависимостей толщины срезаемого слоя при высокоскоростном фрезеровании с использованием разрывных функций.Излагаются рекомендации по расположению динамометрических датчиков для встречного и попутного фрезерования.

высокоскоростное фрезерование; динамометрические датчики; инструмент; силы резания; толщина срезаемого слоя

Research on dynamic characteristics of high speed milling force based on discontinuous functions

S.Bilenko，PavelA.Sablin，ZHANGDan

(Komsomolsk National University of Technology, Amurskaya Oblast 681000, Russia)

2014-01-03

简介： 萨柏林·巴维尔·阿列克谢耶维奇(1982-)，男，副教授，科学技术副博士，研究方向：切削动力学，E-mail:s.bilenko@knastu.ru。

10.3969/j.issn.2095-7262.2015.01.017